《2023年高考数学一轮复习备用题第12单元圆锥曲线的概念与几何性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学一轮复习备用题第12单元圆锥曲线的概念与几何性质.pdf（88页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 十 二 单 元 圆 锥 曲 线 的 概 念 与 几 何 性 质 12.1椭 圆 2 2+=l(0)p1.经 过 椭 圆 b-的 左 焦 点 与 作 倾 斜 角 6 0 为 的 直 线/,直 线/与 椭 圆 相 交 于 两 点 A B,=53,则 椭 圆 的 离 心 率 1e=答 案：2b2=/解 析：1 a-ccos60 5 1 a+ccos60，；3AG=5 8 月 c 1 e1。2,即 2.2 22.(2021.宁 夏 银 川 模 拟)设 A,B 是 椭 圆 C:三+汇=1长 轴 的 两 个 端 点，若 C 上 存 在 点 M3 m满 足/AM8=120。，则 机 的 取 值 范 围
2、是()A.(0,1 B.(0,1 U 3,+oo)C.(0,lU9,+oo)D.9,+oo)答 案：C解 析：若 椭 圆 焦 点 在 x轴 上，即 0?tan 60=/3,解 得()3 时，则 当 M 位 于 短 轴 的 端 点 时，N A M B 取 最 大 值,要 使 椭 圆 上 存 在 点 M 满 足 NAM8=12(r,则 此 时/AMBW120。，则/4 W O W 6 0,则 tan Z A M O=tan 60=G,解 得 m 9；综 上，加 的 取 值 范 围 是(04U9,”).故 选 C.2 23.设 与 E,为 椭 圆 C：工+二=1的 两 个 焦 点，M 为 C 上 一
3、 点 且 在 第 一 象 限.若 加 居 为 36 20等 腰 三 角 形，则 M 的 坐 标 为.答 案：（3,仃）解 析：因 为 Q,尸 2分 别 是 椭 圆 C 的 左，右 焦 点，由 M 点 在 第 一 象 限，MQF2是 等 腰 三 角 2,2形，知|F1M=|F|尸 2|，又 由 椭 圆 方 程 会+为=1，知|尸 国|=8,|FIM+I B M=2 X6=12,所 以 尸 IM=IQ F2|=8,所 以 旧 2 M=4.fxo+42+y864,设 M 5）,y0）（xoO,yoO）,则,.”Uo4-+y6=16,解 得 xo=3,yo=y5f 即 M（3,V15）.4.已 知 点
4、 M（小,0）,椭 圆 了+9=1 与 直 线 y=M x+/）交 于 点 A、8,则 A B M 的 周 长 为.答 案：8解 析：:直 线 y=&（x+小）过 定 点 N（一 小，0）.而 M、N 恰 为 椭 圆，+）2=1 的 两 个 焦 点，由 椭 圆 定 义 知 A B M 的 周 长 为 4a=4x2=8.5.已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 8 U，）,过 F2的 直 线 与 C 交 于 A,B 两 点.若|伍|=2|居 B|,则 c 的 方 程 为（）*1 2 1 九 1 尤;九 1 9+九 1A.2 B.3 2 c.4 3 D.5 4答 案：B解 析：连 接 H L 令 居
5、 3=%则 记=2 也 因=3加 am=由 椭 圆 第 一 定 义 知，4 m=2”，解 得：2.故 A=A=,则 点 A 为 椭 圆 c 的 上 顶 点 或 下 顶 点.令/伍=。，则 s m-.cos 20=3=3a3在 等 腰 三 角 形 K A B 中,2由 解 得：/=3,c=l,=2故 选 B2 26.已 知 经 过 原 点。的 直 线 与 椭 圆+4=（a h 0）相 交 于 M,N 两 点（M在 第 二 象 限），a2 b-A,尸 分 别 是 该 椭 圆 的 右 顶 点 和 右 焦 点，若 直 线 平 分 线 段 A N,且 I 4尸 1=4,则 该 椭 圆 的 方 程 为（）
6、2 2 7 0 2 2A.+=i B.+=i c.+=i D.+=19 5 36 4 36 32 25 24答 案：c解 析：由|A F|=4,得 a-c=4,设 线 段 A N的 中 点 为 P,则 M-八-）,点”、F、P在 同 一 直 线 上，即 n-0/n-(a-4)-02 m/八-(-4)化 简 即 可 求 得 a=6,.=2,则 k-c?=32.故 椭 圆 方 程 为 芍+=1.故 选 C.7.（2021 潍 坊 三 模）已 知 椭 圆 C：的 左，右 焦 点 分 别 为，点 A,8 在 椭 圆 上，且 满 足 丽=24分，*=（）,则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 答 案:手
7、解 析：设|翅|=2根（加 0）,因 为 福=2用，所 以 忸 用=加，又 因 为 而 祈=0,内 用=2c,所 以 卜 周=而 用 2 河=2 ylc2-m2，又 因 为 忸 周=J|A砰+M 可 2=”2+5/，且 跖|+忸 闾 二 勿,所 以 2m+2yle2 一=m+14cl+5*，所 以 m+2-/c2-/n2=JAC1+5，所 以“2+4c?-462+4加，。2 一 小 2=402+5n?,所 以 C,2=5/，所 以。=有 加，又 因 为 2a=2 m+2,c1 M=6m 所 以。=3 m,所 以 e=-=a 3/32 28.（2021 浙 江）已 知 椭 圆，+方=1（0）,焦
8、 点 6（-。，0），入(c,0)(c0),若 过 G 的 直 线 和 圆（x gc）+y2=c2相 切，与 椭 圆 在 第 一 象 限 交 于 点 P,且 PJ_x轴，则 该 直 线 的 斜 率 是,椭 圆 的 离 心 率 是.答 案：.迪.坦 5 5sin 6 后=sin N86 A=既 AB=2,tan N/PrF 2 2/r2=-j=-5所 以 女=述，由 忻 用=2c=4,所 以 田 用=述，5 仍 也|5|p耳|=|PK|x.1=噌,sinZPfj/s 5于 2a=|产 用+|用=46，即。=2 6，所 以 e=3=2=与.9.（2021兰 州 检 测）若 直 线 川+砂=4 和
9、圆。：/+寸=4 没 有 交 点，则 过 点（?，）的 直 线 与 椭 圆 方+：=1的 交 点 个 数 为（）A.至 多 一 个 B.2 C.1 D.0答 案：B解 析:（1）.直 线 fwc+ny=4和 圆。：/+产=4 没 有 交 点,4yjm2+n2fYl22,苏+2V4.，豆 ITT 4 tn S Y*v+V g+-=1 一 石 V 1,点(3)在 椭 圆+彳=1 的 内 部，过 点(2,)的 直 线 与 椭 圆 5+亍=1的 交 点 有 2 个.故 选 B.a1 h1 r2 210.（2021.北 京 海 淀 模 拟）定 义 曲 线 r+r=l为 椭 圆 之+斗=1的“倒 椭 圆”
10、，已 知 椭 圆 X y 6r b2r2 4 1（；:?+丁=1,它 的 倒 椭 圆 为 02：下+了=1,过 G 上 任 意 一 点 P 做 直 线 9 垂 直 龙 轴 于 点 A,作 直 线 总 垂 直 y 轴 于 点 B,则 直 线 与 椭 圆 G 的 公 共 点 个 数 为 A.0 B.1 C.2 D.与 点 尸 的 位 置 关 系 答 案：B解 析：设 点 P（，），（，0，0）厕 A（机 0）,B（0,）,3+4=l,所 以 直 线 4 3 的 方 程 为 m n2+=1,进 而 与 椭 圆 G：?+y 2=i联 立 方 程 得：（4/+加 2）*2-8加 4+4 加 2（2-1）
11、=0,所 以=（Anrrii 16?2（4,+，）（1 1）=64M Z2/J4 I6x.m2n2 x4n2=0,所 以 方 程 有 且 只 有 一 个 实 数 根，故 直 线 A B 与 椭 圆 G 的 公 共 点 个 数 为 1个.故 选 B.3 兀 X2 y211.（2021湖 北 宜 昌 调 研）过 点 尸（3,1）且 倾 斜 角 为 彳 的 直 线 与 椭 圆/+京=l（a60）相 交 于 A,8 两 点，若#=或，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为（）A.|B.乎 C.乎 D.乎 答 案：Cy 2 9解 析：由 题 意 可 知 P 为 A B 的 中 点，且 勖=1,设 A（x”y
12、i）,8（X2，），则%+及=1，%,（内 一）（3+超）；（M-%）（/+必）+m=1，两 式 相 减 得 片 1一”X X2b2x+x2 3b2cy+yi/1，即，C=N 1-生=坐，故 选 C.12.（2021广 东 珠 海 期 末）已 知 椭 圆，+方=1（4 匕 0）的 右 焦 点 为 F,离 心 率 坐，过 点 尸 的 直 线/交 椭 圆 于 A,B 两 点，若 A B中 点 为（1,1）,则 直 线/的 斜 率 为（）A.2 B.2 C.3 D.-3答 案：Dc 啦 解 析：因 为；=2，4 c2=2a2f.4（a2b2）=2a2f：.a2=2b2,设 A（xi,yi）,8（及，
13、”），且 f b2x+a2y i=cb2X1+X2=2,y i+”=2,人 2+2）6=2按，相 减 得 左。|+12）（X2）+a2（j|+”）（y i-）=0,6 一 j_所 以 2按（XIX2）+2 a 2 0“一”）=0,所 以 2按+4-X X 2=O,所 以 1+2-0,二 人 一.故 选 D.13.（多 选 题）（2021 青 岛 质 检）已 知 椭 圆 C：j+方=1的 左、右 两 个 焦 点 分 别 为 Q,尸 2,直 线 y=履（原 0）与 C 交 于 A,B两 点，4E_Lx轴，垂 足 为 E,直 线 8 E 与 C 的 另 一 个 交 点 为 P,则 下 列 结 论 正
14、 确 的 是（）A.四 边 形 为 平 行 四 边 形 B.ZFIPF2 90C.直 线 8 E 的 斜 率 为 夕 D.S 四 边 形 A Q 8 F 2 e（0,4答 案 ABC解 析 对 A,根 据 椭 圆 的 对 称 性 可 知，。尸|=。尸 2,OA=O B,故 四 边 形 AQBF2为 平 行 四 边 形.故 A 正 确；对 B,根 据 椭 圆 的 性 质，当 P 在 上 下 顶 点 时，0 P=Z?=6=c.此 时/F|P F 2=9 0。.由 题 意 可 知 P 不 可 能 在 上 下 顶 点，故 N P P巳 90。，故 B 正 确；对 C,如 图，不 妨 设 B在 第 一
15、象 限，则 直 线 8 E 的 斜 率 为 第=疑=与，故 C 正 确；对 D,S 四 边 形 A F IBF2=2S4 8 Q F 2=|F I3|X|B D|=2也 由。.又 0 山）|啦，故 S 四 边 形 AFtBF2G（Q,4）.故 D 错 误.故 选 ABC.?214.(2021四 省 八 校 质 检)已 知 椭 圆 C：3+卓=1(。0)的 左 焦 点 为 F(-l,0),且 点 在 椭 圆 C 上.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)设 过 点 尸 的 直 线/与 C 相 交 于 A,8 两 点，直 线 优：方=-2,过 F 作 垂 直 于/的 直 线 与 直 线，”交 于
16、 点 T,求 胎 的 最 小 值 和 此 时/的 方 程.M l答 案：(1)，+丁=1.(2)乎，x=解 析:由 题 意 可 得:、点+表=1a=pb=l所 以 椭 圆 的 方 程 为：f+y2=l.(2)当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，/：x-l,7(2,0),此 时 TF_y2AB 2当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设/：y=%(x+l)(原 0),且 A(,yi),3(X2，丫 2)，y=kx+由 j)+2.J 2Q 虫 1+23)/+4&2工+2 3-2=0,4 3 2a2则 X|+X2=-+2解，XlX 2+2/c1=8(9+1)，所 以 AB=y 1+如 团 x2=1
17、 4 后 厂 以 I 阴 1t2必 1+1 2-1+好 标 也 1 H E 2小 7 超 层+1 2吸 F 1+1 2y2-k1l+1 2(V l+,所 以 无 法 取 等 号)所 以 需 的 最 小 值 为 坐 此 时，的 方 程 沏 X=T15.（2021.广 西 桂 林 模 拟）椭 圆 M-.，+方=1 3 人 0）的 离 心 率 e=坐 过 点 A（一。,0）和 8（0,加 的 直 线 与 原 点 间 的 距 离 为 坐.求 椭 圆 的 方 程；（2）过 点 E（l,0）的 直 线 I 与 椭 圆 M 交 于 C、D 两 点,且 点 D 位 于 第 一 象 限，当 窿=3 时，求 直
18、线/的 方 程.ab 6ylcP+b2*432 216.（2021山 东）已 知 椭 圆 C：三+汇=1的 左、右 焦 点 分 别 为,工，M 为 椭 圆 C 上 任 意 一 4 3点，N 为 圆 E：（x-4）2+（-3）2=1上 任 意 一 点，贝 IJIMTVI-明 用 的 最 小 值 为 答 案：3 7 2-5解 析：如 图，解 析：（1）据 题 知，直 线 A B的 方 程 为 笈 一 缈+时=0.依 题 意 得 1_，卡 邛 解 得 片=2,=i,所 以 椭 圆 M 的 方 程 为 弓+丁=1.（2）设 C（x i，y）,y2）（x2 0,0），设 直 线/的 方 程 为 x=/n
19、 y+l（，”GR）.代 入 椭 圆 方 程 整 理 得：（血 2+2）y2+2m y 1=0.J=8z?2+8 0,5+）L M）L 人 由 C釜 F=3,依 题 意 可 得：尸-3处/m 机 2+2结 合 得 j,?，1=+2消 去 N2解 得 7=1，?=-1（不 合 题 意）.所 以 直 线/的 方 程 为 y=x 1.M 为 椭 圆 C 上 任 意 一 点，N 为 圆 E：（x-4）2+（y-3）2=l上 任 意 一 点，则 必|+|四=4,|M V|.M E|T（当 且 仅 当 M、N、E 共 线 时 取 等 号）,：.MN-MFtMN-（4-MF2）=MN+MF2-4ME+MF2
20、-5.EF2-5,当 且 仅 当 M、N、E、尸 2共 线 时 等 号 成 立.V/（l,0）,（4,3）,则|=J（4-1）?+（3-0）2=3夜,；1的 1一 耳|的 最 小 值 为 3五 一 5.故 答 案 为：3应-5.1 7.（多 选 题）（2021广 东 模 拟）画 法 几 何 的 创 始 人 一 法 国 数 学 家 加 斯 帕 尔 蒙 日 发 现：与 椭 圆 相 切 的 两 条 垂 直 切 线 的 交 点 的 轨 迹 是 以 椭 圆 中 心 为 圆 心 的 圆，我 们 通 常 把 这 个 圆 称 该 椭 圆 2 2/T-的 蒙 日 圆.若 椭 圆+*=1（。万 0）的 离 心 率
21、 为 兽,片，工 分 别 为 椭 圆 的 左、右 焦 点,A,5 为 椭 圆 上 两 个 动 点.直 线/的 方 程 为 汝+砂-4=0 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.C 的 蒙 日 圆 的 方 程 为 V+y 2=3/B.对 直 线/上 任 意 点 P,PA P B 0C.记 点 A 到 直 线/的 距 离 为 d，则 d|A E|的 最 小 值 为 竽 人 D.若 矩 形 MNG”的 四 条 边 均 与 C 相 切，则 矩 形 MNG”面 积 的 最 大 值 为 6/答 案：AD解 析：对 于 A,过。（。力）可 作 椭 圆 的 两 条 互 相 垂 直 的 切 线：x=a,y=b,
22、，Q（a,b）在 蒙 日 圆 上，二 蒙 日 圆 方 程 为：x2+y2=a2+b2；由 e=J1 与=得：cr=2b2 a a2 2的 蒙 日 圆 方 程 为：x2+y2=3h2,A 正 确；对 于 B,由/方 程 知：/过 尸 他,a）,又 尸 满 足 蒙 日 圆 方 程，；.P（a）在 圆 f+y2=3 上,过 P0,a）,当 A,8 恰 为 过 P作 椭 圆 两 条 互 相 垂 直 切 线 的 切 点 时，丽.丽=0,B 错 误；对 于 C,.A在 椭 圆 上，.|曲|+|凡 乙|=2。，:.d-AF:=d-2a-AF=d+AF-2a-当 月 A，/时，d+|A制 取 得 最 小 值，
23、最 小 值 为 到 直 线/的 距 离，-hc-cr-b2-kr-2b1-lr 4J3又 F1到 直 线 l的 距 离 d=J,-=J-尸-=-b,y/a2+b2 屉 3=生 8 b-2a，C 错 误；对 于 D,当 矩 形 M/VGH的 四 条 边 均 与。相 切 时，蒙 日 圆 为 矩 形 M/VGH的 外 接 圆，矩 形 M N G H 的 对 角 线 为 蒙 日 圆 的 直 径，设 矩 形 M N G H 的 长 和 宽 分 别 为 x，V,则%2+丁=12，2 2矩 形 M N G H 的 面 积 S=xy%0）的 离 心 率 为 当（1）证 明：a=勒 9(2)若 点 M 在 椭
24、圆 C 的 内 部，过 点 M 的 直 线/交 椭 圆 C 于 P、。两 点，M 为 线 段 尸。的 中 点，且 OP_LOQ.求 直 线/的 方 程；求 椭 圆 C 的 标 准 方 程.【解 析】（1）邛，-r f（因 此，加（2）由（1）知，椭 圆 C 的 方 程 为 方+万=1,即/+3/=3 尸,当 得 一 的 在 椭 圆 C 的 内 部 时,I+3.10/地.10设 点 尸（石,凶）、Q（孙），则，x+x22）1+%二 29历 所 以，江&二 邛 由 已 知 可 得，%2+22 2，两 式 作 差 得（百+）（七 一 工 2）+3（弘+%）（%-%）=，+3y=3所 以，直 线/的
25、方 程 为 限-y-6=0；x2+3y2=3h2 联 立 r-.,消 去 丁 可 得 10X2_8X+9 3从=0.y=V3（x-1）A=182-4 0（9-3 ft2）=120/?2-3 6 0,由 韦 达 定 理 可 得 X 1+X 29=g,再 当=0逐-3幺 b2，又,O P J.O Q,而 而=（%/）,诙=伍,力）,/.OP-OQ=x,x2+y,y2=xix2+Z3（x,-1）-/3（X2-1）=4%,-3（%+）+32（9-3加）-2 7+15 6-6后 八=-=-=（）5 5解 得=1合 乎 题 意，故 2=3=3,因 此，椭 圆 C 的 方 程 为 二+产=1.319.（20
26、21重 庆 调 研）已 知 椭 圆 E：今+=1 的 一 个 顶 点 C（0,-2）,直 线/与 椭 圆 E 交 于 A,B两 点，若 E 的 左 焦 点 月 为 ABC的 重 心，则 直 线/的 方 程 为（）A.6x 5y14=0C.6x+5y+14=0答 案 BB.6x-5y+14=0D.6x+5y14=0解 析 由 题 意 知 Fi(1,0),设 A(xt,yt),8(X2,”)，解+1 2+0=1 3,C A 所 以 b i+y 2 2=0,X|+x 2=-3,)1+2=2.设 M为 AB的 中 点，则 M由 作 差 得，（X L X 2）（制+及）5=。，将 代 入 上 式 得 咛
27、 三%即 由 点 斜 式，得 直 线 方 程 为 厂 1=X X 2，D3x+一 2,即 6X 5），+14=0.故 选 巳 工 2 2F r+77=1（/?0）pF20.已 知 椭 圆。夕 的 左 右 焦 点，点 P 在 椭 圆 上，线 段 的 中 点 在 圆 心 为,半 径 为 的 圆 上，直 线 尸 耳 的 斜 率 是 后，P F2=6,则 椭 圆 标 准 方 程-1-=1答 案：16 7解 析：如 图 所 示，设 线 段 P K的 中 点 为 知,连 接 M8.二/名/耳=90,片 名=入=6,在 直 角 三 角 形 心 M片 中,tan NF,FM=屈 MFXF2M=,MF2=435
28、 PF2+PFl=2a=8,a=42 9厂+I*.142=7 椭 圆 标 准 方 程 16 7C+F=1（。/7（）21.（2021湖 南 长 沙 模 拟）已 知 椭 圆 b-的 上 顶 点 为 M、右 顶 点 为 N.AOMN（点 0 为 坐 标 原 点）的 面 积 为 1,直 线 丁=被 椭 圆 C所 截 得 的 线 段 长 度 为 丁.（I）椭 圆 c 的 标 准 方 程；（2）试 判 断 椭 圆 C 内 是 否 存 在 圆 0：/+产=/（厂 0）,使 得 圆。的 任 意 一 条 切 线 与 椭 圆 C交 于 A,B 两 点 时，满 足 丽.丽 为 定 值？若 存 在，求 出 圆。的
29、方 程；若 不 存 在，请 说 明 理 由.解 析：（1）由 题 意 知 闻（0力），N（a,0）,由 g 曲=1,得 必=2.设 直 线 y=x 与 桶 圆 C 交 于 点 尸 伍,修），Q（F，T）,则|PQf=8X.把 P（毛,毛）代 入 桶 圆 方 程，得 片=#记，故 IPQI当 笔=（增,即 普 7=金.+b-I 5 J a2+b 5a2=4 QJ I由 解 得 严 心 4（舍 去）所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 小（2）假 设 存 在 这 样 的 圆。，设 丽.丽=、当 直 线 A B 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 A B 的 方 程 为 丫=去+，”.1y=k
30、x+mx2 2 j 得（1+4公 卜 2+8机 r+4m 24=0.设 A（5，X）,则 占+刍=-笆 卜,玉 七=普 二.*-K 1 十 故 OA-OB=XjX2+yy2=（1+犬 卜/+kmx 4-x2）+w2=（1+Z:2）；4 J+左?（一 1 8：；二）+/n2=5m 2 4攵 2_4l+4k2=2.I m I、加 2由 得 心 金.由 得 般 片 尹,当 与 无 关 时 肛 I，即 圆 o 的 半 径 为 乎.当 直 线 4 B 的 斜 率 不 存 在 时，若 直 线 4 8 的 方 程 为 x=2 叵,5将 其 代 入 桶 圆 C 的 方 程，得 A 竽，竽，“手,-亭 此 时
31、方.诙=0.若 直 线 A B 的 方 程 为 x=-*,同 理 可 得 次 丽=0.54综 上，存 在 满 足 题 意 的 圆 O,其 方 程 为 d+y2=.2 2F F C：+-yy=1（b 0）22.已 知,1/2 分 别 是 椭 圆 h 的 左 右 焦 点，椭 圆 的 上 顶 点 为 B,且 满 足”4 B F?，三 角 形 H 的 面 积 为 2.（1）求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；（2）已 知 直 线 上 9=岫 6）与 椭 圆 交 于 A,B两 点，点 A 位 于 第 一 象 限.直 线,与 直 线”=2V伤 交 于 c 点.过 A点 作。轴 的 垂 线，垂 线 与 椭
32、圆 的 另 一 交 点 为 D.点 E 是 线 段 C D 的 四 等 分 点,且 靠 近 D 点.直 线 B E 与 直 线 立=他 交 于 F 点.若。歹=2 A E，则”的 值.【解 析】设 因 为 B F J B P 2,所 以 丽 就=0,即 6=c因 为 SM K=2,所 以 儿=2,解 得：b=c=能 又 因 为 屋=+*=4,所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为（2）如 图 所 示：4 Q 1,阴）,8（一 处,-%）,后（2 1,一 咨）设 y kx 2+2/=4咻 工 且 尔 他 佃 国 刀 住/初 俎 k y i+2 p,y i+2 p y直 线 BE的 斜 率 为-X
33、 i-X I 4 电 4y k l x-所 以 B E 的 直 线 方 程 为：,2，1+2 比 2k,1+2/直 线 A B 和 B D 与”=2V欠 的 交 点 分 别 为。（2俏 2 V 2 k y F（2 V 2,k-1 7=/VI+24e 372,3 k 3 _ 3 2k因 为 C F=亍+彳 声 声 型=”=2 后 而 k=圆 又 因 为 CF=2 A E,解 得 2M:-+=l（4Z/0）23.（2021 四 川 成 都 模 拟）已 知 椭 圆 b-离 心 率 为 2，点 在 椭 圆 何 上.（1）求 椭 圆 用 的 方 程;（2）设 0 为 坐 标 原 点，AB,。是 椭 圆
34、M 上 不 同 的 三 点，且。为 AM C 的 重 心，探 究 AM C面 积 是 否 为 定 值，若 是 求 出 这 个 定 值：若 不 是，说 明 理 由 解 析：（1）由 题 知：,M=1a2 h2=解 得 a=2,b=,a 2a2=b2+c2所 以 椭 圆 的 方 程 为 A，一；（2）当 直 线 A 3 的 斜 率 不 存 在 时，AB_Lx轴，点 C 在 x 轴 上，4 3|=6.点 C 到 A 3 的 距 离 为 d=3,S ARC=-ABd=ZiAZJL I I 2当 直 线 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 人 史=履+加 由,X2,2 一 14+）一 消 去 工,整 理
35、（4公+1*+8切?y+4（/-1）=0,y=kx+m设 4（演,乂），网 程），则 有=16（4公+1-评）0,8km 4/n2 一 4怎+三=一 许，2=不。所 以 7+%=后(玉+W)+2m=|AB|=J1+公,-XA=J l+公/-讨 一，4 K-4-1 1 1 1 1 4K+1u in n zuur util、(xkm 2/w、因 为。为 的 重 心，则 由。C=-0 4+0 3=，-亍 一,f(4 Z r+l 4k+1)点 C(黑 7，-言 7)在 椭 圆 上，贝 1(改 驾)(2相 Y 1得 4?2=4公+1,14攵+1 4 K+1 J-+-=14 I 4k2+)点。到 直 线
36、A 3的 距 离 为 4=所 以 S A B C=3SV AB。=|d=刎 富 二 m6同，3 624m23 G.综 上：S&=岁 为 定 值.24.（2021福 建 龙 岩 质 检）已 知 椭 圆 E 的 方 程 为 了+产=1,点 A 为 长 轴 的 右 端 点.B,C 为 椭 圆 E 上 关 于 原 点 对 称 的 两 点.直 线 AB与 直 线 4 C 的 斜 率 以 B和 正 满 足：加 心。=一 今（1）求 桶 圆 E 的 标 准 方 程；（2）若 直 线/：y=fc v+f与 圆 片+丁=相 切，且 与 椭 圆 E 相 交 于 M,N 两 点，求 证：以 线 段 M N为 直 径
37、 的 圆 恒 过 原 点.解 析：（1）设 8（如 泗），则 C（一 如 yo）由 g+y 8=l得，4=一%=。层 沏,由 如 叱=二，即 得，上 甲，所 以 宁=宁，所 以 小 2,2 xa x a 乙 L ci 2即 椭 圆 E 的 标 准 方 程 为：f+y2=l.(2)设 M(xi，yD，N g 丁 2)，由 2)1 得：(1+2*2)x2+4 to+2 z2-2=0,y=kx+t4kt 2 3一 2M+X2=T T,笛 检=定 诂 后 2尸 一 2 一 4斤 尸 产 一 2 A2yyz=kx+r)(te+t)=x x z+kt(x+12)+=不 用 3+百 万 3+尸=立 系，又/
38、与 圆 c 相 切，所 以 坐=研 招 即 尹 黄 正2尸 一 2+P 2攵 2所 以 况 7 0 N=X X2+yyi-1-3 户 一 2 1+3 2 1+F 2 1+F=1+2 F=1+2 P=0,所 以，成 _L或，即 NM ON=90。，所 以，以 线 段 M N为 直 径 的 圆 经 过 原 点.25。21四 川 成 都 三 诊 汨 知 椭 圆 C：小。）的 四 个 顶 点 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为 2也,右 焦 点 乃 到 直 线 x-y+2=0的 距 离 为（I）求 椭 圆 C 的 方 程；（I I）过 点 历（-3,0）的 直 线/与 椭 圆 C 相 交 于 A,
39、B 两 点，过 点 尸 2作 直 线/的 垂 线，垂 足 为 N（点 A,8 在 点 M,N 之 间）.若 AF2M与 A B E N面 积 相 等，求 直 线/的 方 程.解：（I）设 右 焦 点 B（c,0）,四 个 顶 点 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为 2指，可 得 2ab=2 6，即 a b=6,右 焦 点 F2到 直 线 x-y+2=0的 距 离 为 2&，可 得%=2近,即 C=2,又 2-=C2,所 以。=右，b=l,可 得 椭 圆 的 方 程 为:+/=1；（II）设 直 线/的 方 程 为=/（x+3）,A（xi,y i）,B（及，”），与 直 线/垂 直 且 过
40、B（2,0）的 直 线 为 y=-,（x-2）,k由，由 y-k(x+3)2 5k1,、，解 得 N(工-,一 y),y=(x-2)1+k2 1+kKy=k(x+3)9，可 得(1+5N)N+30N X+45N-5=0,tx2+5y=5=(3 0 F)2-4(1+5R)(45炉-5)0,解 得-A:,2 21+5k l+5k入 到 直 线/的 距 离 为 科 疝”*+3,善）3 上)1+/1+15MN=i-5ABNF.=SAMNF,-5 ABMF,=SAAM F,Vi+k21 5|NF2|1 1W,I-MF2*y2=M F2*yi,2 Vl+k2 2 2由 题 意 可 得 A,B,。同 时 在
41、 x 轴 的 上 方 或 下 方,5 15kl(M+M D，则 一 I=51 y.+%I,y i+v2(xi+3)+k(X2+3)k(X1+X2)+6k=-rV i T F 1 1-1+5 公 所 以 瞥!=需 区 解 得 人=士 日 则 直 线 的 方 程 为 y=(x+3).26.（2021河 北 衡 水 模 拟）如 图，已 知 水 平 地 面 上 有 一 半 径 为 3 的 球，球 心 为 0,在 平 行 光 线 的 照 射 下，其 投 影 的 边 缘 轨 迹 为 椭 圆 C.如 图，椭 圆 中 心 为。，球 与 地 面 的 接 触 点 为 E,OE=4.若 光 线 与 地 面 所 成
42、角 为 仇 椭 圆 的 离 心 率 e=.答 案？4解 析：连 接 O O,则 NOOE=e,因 为 OE=3,OE=4,如 图:所 以。=+。；2=旧+4?=5,所 以 sin0=3/=g在 照 射 过 程 中，椭 圆 的 短 半 轴 长 6 是 球 的 半 径 R,即 6=3,过 球 心 与 椭 圆 长 轴 所 在 直 线 确 定 的 平 面 截 球 面 所 得 大 圆 及 对 应 光 线，如 图:椭 圆 的 长 轴 长 久 是 A C,过 A 向 3 c 做 垂 线，垂 足 是 8,则 A 3,0 0,O Z _ L A C,3 AR由 题 意 得：A3=2R=6,sinZAC8=sin
43、e=,X sinZACB=,5 A L C则-=,AC=1 0,即 2a=10,a=5,AC 5所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 e=亚 王=亘 45 527.第 2 4届 冬 季 奥 林 匹 克 运 动 会，将 在 2022年 2 月 4 日 在 中 华 人 民 共 和 国 北 京 市 和 张 家 口 市 联 合 举 行.这 是 中 国 历 史 上 第 一 次 举 办 冬 季 奥 运 会，北 京 成 为 奥 运 史 上 第 一 个 举 办 夏 季 奥 林 匹 克 运 动 会 和 冬 季 奥 林 匹 克 运 动 会 的 城 市.同 时 中 国 也 成 为 第 一 个 实 现 奥 运“全 满
44、贯”（先 后 举 办 奥 运 会、残 奥 会、青 奥 会、冬 奥 会、冬 残 奥 会）国 家.根 据 规 划，国 家 体 育 场（鸟 巢）成 为 北 京 冬 奥 会 开、闭 幕 式 的 场 馆.国 家 体 育 场 鸟 巢”的 钢 结 构 鸟 瞰 图 如 图 所 示，内 外 两 圈 的 钢 骨 架 是 离 心 率 相 同 的 椭 圆，若 由 外 层 椭 圆 长 轴 一 端 点 A和 短 轴 一 端 点 8 分 别 向 内 层 椭 圆 9引 切 线 A C,BD（如 图），且 两 切 线 斜 率 之 积 等 于-7 7,则 椭 圆 的 离 心 率 为（）答 案：B解 析：若 内 层 椭 圆 方 程
45、 为%/叱 人。），由 离 心 率 相 同，可 设 外 层 椭 圆 方 程 为 二 A（-切,0）,8（0,站），设 切 线 A C为 y=勺（元+），切 线 B D为 y=mb,y=4（x+ma）.2 2,整 理 得（不 6+6 2）x 2+2m 3&5+加 2 a 442 一=0,由=（）知:b v=1（2/M,2）2-4（2,2+h2 m1aAk；-a2h2）=0,整 理 得 片=二，a-1-nvy=k.x+mb同 理，x2 y2，可 得 后=勺 h1（疗-1）,a2 b2，（他）2=与=（-2）2,即:=2,故=匹 史=也.故 选 B.a 16 a 16 a a 428.已 知 圆 加
46、:（+根）2+,2=?250）在 椭 圆（7：*+*.=1（4 6 0）的 内 部，点 人 为（7上 一 动 点.过 A 作 圆 M 的 一 条 切 线，交 C 于 另 一 点 B,切 点 为 D,当。为 A 8 的 中 点 时，直 线 M D的 斜 率 为 _2/2，则 C 的 离 心 率 为（）A.1 B.也 C.B D.国 22 2 4答 案：C解 析：设 A（x,yJ,B（x,y2）,（如%）,则 2%=国+,2%=y+%.#+y-1将 A,B 的 坐 标 分 别 代 入 C 的 方 程，得;,，4+=1,a1 b2两 式 相 减，得-V（x；-x；）=-（；-y；）,所 以（差%）=
47、_/2,则 原 8=；-故）一 7L 4 x,-x2 4如 图，设 E 为 C 的 左 顶 点，连 接。，则=所 以 tan N D M E=tan 2 N D O M=1绮=272,整 理 得-tan-ZDOMV2 tan2 Z D O M+tan Z D O M-=0.解 得 tan Z O O M=也 或 tan Z O O M=（舍 去）,2则%=-tan/OM=-堂=&，所 以 坐 x-坐=一 与，所 以 乂=1，故 C 的 离 心 率 2 x0 4（2 J 矿 a-412.2双 曲 线 2 21.(2021 全 国 乙 卷)已 知 尸 为 双 曲 线(7:，-与=1(0,60)的
48、右 焦 点，A 为 C 的 右 顶 点，Ba2 b 为 C 上 的 点，且 B F 垂 直 于 x 轴.若 A B的 斜 率 为 3,则 C 的 离 心 率 为.答 案：2(从)G 解 析：点 8 为 双 曲 线 的 通 径 位 于 第 一 象 限 的 端 点，其 坐 标 为 I“人 点 A 的 坐 标 为，0),h2 AB 的 斜 率 为 3,ci=3,即 r士 r-c*r=3c=cei+l=3,，e=2.c a a c a)a4=1(a 0)2.双 曲 线-u 的 两 个 焦 点 分 别 是 B,F2,焦 距 为 8,M 是 双 曲 线 上 的 一 点，且|MB|=5,贝 I|M F 2|
49、=.答 案 1或 9解 析 由 已 知 得 c=4,b=2v,.力=16-12=4,BP a=2.V|MFi|-|MF2|=2a,/.|5-|MF2|=4解 之，得|MF1=1 或|MF2|=9.3.已 知 双 曲 线 的 焦 点 与 椭 圆 4 9+24 的 焦 点 相 同，且 经 过 点(3夜，4),则 双 曲 线 的 标 准 方 程.2 2工-J答 案：9 16解 析：由 题 意 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 为(-5,)，(5,).双 曲 线 的 焦 点 为(-5,0),(5,0)由 双 曲 线 定 义 得：2a=7(372+5)2+42-7(372-5)2+42=J(5夜+3尸-7
50、(572-3)22 2_ _ 土-匕=1.解 得 a=3,=4.双 曲 线 的 标 准 方 程 9 16.2 24.（2021河 北 邯 郸 模 拟）已 知 双 曲 线 a-16 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 2 x 7=（）,入 鸟 分 别 是 双 曲 线 C 的 左、右 焦 点，P 为 双 曲 线 C 上 一 点，若 电 仁 5,则 附|=（）A.1 B.1 或 9 C.3 或 9 D.9答 案：D解 析：由 题 意 知 3=2,所 以。=2,所 以 c=记=2百，所 以 aPF=5=口解 析：,双 曲 线 c 的 离 心 率 6=2 叵，.”=型。：.“2=/+=。/,.方 a 3