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1、第七章三角函数7.1 角与弧度.17.1.1 任意角.17.1.2 弧度制.87.2 三角函数概念.127.2.1 任意角的三角函数.127.2.2 同角三角函数关系.187.2.3 三角函数的诱导公式.23第 1 课时 三角函数的诱导公式(一 四).23第 2 课时 三角函数的诱导公式(五 六).277.3 三角函数的图象和性质.317.3.1 三角函数的周期性.317.3.2 三角函数的图象与性质.34第 1 课时 正弦、余弦函数的图象.34第 2 课时 正弦、余弦函数的图象与性质.38第 3 课时 正切函数的图象与性质.447.3.3 函数 y=Asin(3x+(p).507.4 三角函
2、数应用.557.1 角与弧度7.1.1 任意角知 识 点 1任意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角0A思 考1.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？提示 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对
3、于两个任意角a,B，将角a的终边旋转角伙当B是正角时，按逆时针方向旋转；当口是负角时，按顺时针方向旋转；当夕是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为a 与8的和，记作a+6.射线0 A绕端点0分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角a的相反角记为二攵，于是有 a8=a+(/3).知识点2象限角与轴线角(1)象限角：以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.(2)轴线角：终边在坐标轴上的角.知识点3终边相同的角与角a终边相同的角的集合为 用.=%3 6 0。+匾Z G Z .思 考
4、2.终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？提示 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角的表示方法不唯一.考点D类型1角的概念辨析【例1】(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小 于1 8 0。的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角.其中正确说法的序号为(把正确说法的序号都写上).(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.4 2 0 .8 5 5 .一5 1 0 .(1)锐角是大于0。且小于9 0。的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；一3 5 0。角是第一象限角，但它是
5、负角，所以错误;0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误;360。角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误.(2)解 作出各角的终边，如图所示：由图可知：420。是第一象限角.855。是第二象限角.一510。是第三象限角.1.成 思 领 悟.1.理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.象限角的判定方法(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.(2)第一步，将a写成a=k36(T+伙女W Z Q O W.360。)的形式；第二步，判断用的终
6、边所在的象限；第三步，根据夕的终边所在的象限，即可确定a 的终边所在的象限.提醒：理解任意角这一概念时，要 注 意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.D类型2终边相同的角与象限角【例 2】已知a=1910。.(1)把 a 写成夕+匕360。(正 2,0嚏夕360。)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求仇 使。与 a 的终边相同，且一720。或。0。；(3)若 与 a 终边相同的最大负角、最小正角分别为行，仇，求夕十仇.思路点拨(1)把 a 写成夕+/360。(人 昼 2,0。或 夕 360。)的形式后，判断夕所在的象限即可.(2)将。写成。=4+攵S60。伏2,
7、0。夕360。)的形式，用观察法验证女的不同取值即可.解(1)法一：；一1 910。=-6*360。+250。，A-1 910。角与250。角终边相同，.,.a=-6X 360+250,它是第三象限角.法二：设 6(=夕+攵.360。(攵6 2),则尸=一1 910上360eWZ).令一1 9100上360020,解得ZW粤 书=-5以.JOU 30攵的最大整数解为左=-6,相应的夕=250。，于是a=250 6X 360,它是第三象限角.(2)由(1)知令 e=250+A?360(ZWZ),取 =1,-2 就得到符合一720W80的角：250。-360。=一 110。，250。-720。=-
8、470.故。=一110或一470.(3)因为与a终边相同的角为=。36同+250/=Z).所以取女=-1,0得 与a终边相同的最大负角为6 1 i=-1 1 0 ,最小正角为仇=2 5 0,所 以8+仍=140.厂.成思领悟.1.把任意角化为Jt-360+a(A：e z且(rW a360。)的形式，关键是确定k,可以用观察法(a的绝对值较小)，也可用除法.2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出上的值.3.终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360。的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180。的整
9、数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90。的整数倍.提醒：k e z,即为整数这一条件不可少.I I类 型3区域角的表示【例3】已知，如图所示.分 别 写 出 终 边 落 在。8位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.解 终边落在0 A位置上的角的集合为 砒7=90+45。+%-360。，ZWZ=a|a=135+k360,kG Z；终边落在0 8位置上的角的集合为 砒/=-30。+/360。，kGZ.由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于 一30。，135之 间 的 与 之 终 边 相 同 的 角 组 成 的 集 合，故 该 区 域 可 表
10、示 为-30。+/360WaW135+匕360,RGZ.母题探究1.（变条件）若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在 阴影部分（包括边界）的角的集合如何表示？挈 解 在0。360。范围内，终边落在阴影部分（包括边界）75端0。的角为60。忘6105。与240。285。，所以所有满足题意的角P 为伊体360。+60 W夕/360。+1 0 5 ,攵 G Z U 夕 的360。+令 B240。忘夕 心360。+285。，kGZ=用2kl 800+60。180。+105。，ZW Z U 川（2Z+1 ）-180+60。0 Q k+l）-180o+105o,kG Z）=9 1 8 0。+60q 48
11、0+105。,nEZ）.故角，的取值集合为 180。+60。或或 180+105,”WZ.2.（变条件）若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部 y分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？、6。解 在0。360。范围内，阴影部分（包括边界）表示的-x范围可表示为：150。忘夕或225。，则所有满足条件的角夕为 用k360+150WQWA?360+225,k Z.JK思领悟 ”表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。360。范围内的角a和夕，写出最简区间 x a x/3,其中夕 一a360。；第三步：起始
12、、终止边界对应角a,夕再加上360。的整数倍，即得区间角集合.类型4角 半 如WN*)所在象限的确定【例4】已知a是第二象限角，求角卷所在的象限.解 法一：Y a是第二象限角，二匕360+90a%360。+180 伙 G Z).k a k二 2-360+4522-360+90(Z G Z).当上为偶数时，令女=2(e z),得“360+45发360+90。，这表明与是第一象限角；当上为奇数时，令&=2+l(W Z),得a S60+225q-360+270。，这表明今是第三象限角.皮为第一或第三象限角.法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区a C t域标上一、二、三、
13、四，则标有二的区域即为5的终边所在的区域，故 为第一或第三象限角.母题探究在本例条件下，求角2 a的终边的位置.解:a 是第二象限角，/360。+90。小 360。+180。(攵 G Z).二 七 720。+1802a0,y0)根据直角三角形中锐角 的邻边是斜边的一半，得x=g,由勾股定理得g j+y2=l,y cos a=I=/，tan a=j-=一43.母题探究1.将本例的条件“y=2x”改 为“/x+y=0”其他条件不变，结果又如何？解 直线小x+y=0,即 =一 小 ，当a的终边在第二象限时，在a的终边上取一点尸(一1,小)，则r=2,r I所以 sin a=cosa=tan a=y3
14、;当a的终边在第四象限时，在a终边上取一点尸(1,一小),贝 U r=2,所以 sin a=苧，cosa=/,tana=一小.2.将本例的条件“在直线y=-2 x 上”，改为“过点P(3 4a)(aW0)”，求 2sin a+cos a.解 因为r=4(3a)2+(甸2=5间,若 0,则尸=5。，角a 在第二象限，y 4a 4 光 一 3a 3sin a=T-=7,COS a=-=7,r 5a 59 r 5a 58 3所 以 2sin a+cos 1.若a 0),则sin a=夕 co sa=*当已知a 的终边上一点求a 的三角函数值时，用该方法更方便.2.已知特殊角a,求三角函数值的方法(1
15、)先设出角a 的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标.(2)利用三角函数的定义，求出a 的三角函数值.(此时尸到原点的距离=1)3.当角a 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.D 类型2三角函数值的符号【例2】(1)若角。同时满足sin90且tan00,则角。的终边一定位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)判断下列各式的符号.sin 2 015 cos 2 016 tan 2 017；tan 1910-cos 190；sin 2 cos 3 tan 4.(1)D 由sin。0,可知。的终边可能位于第
16、三或第四象限，也可能与y轴的负半轴 重合.由tan。0,可 知。的终边可能位于第二象限或第四象限，故。的终边只能位于第四象限.解.，2015。=1 800o+215o=5X360o+215,2 016o=5X360+216,2 017=5X360+217,.它们都是第三象限角，.,.sin2 0150,cos 2 0160,Asin 2 015 cos 2 016 tan 2 0170.T%。角是第三象限角,A tan 1910,cos 1910.,JI 兀 3T T 22无，,3兀，兀0,cos 30,sin 2 cos 3 tan 40.厂.废 思领悟.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1
17、)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限.(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号.(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误.类型3应用三角函数线解三角不等式【例3 在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出角a的集合：(l)sin 心 乎;(2)cos aW；.尝 试 与 发 现1.在单位圆中，满 足sin a=坐的正弦线有几条？试在图中明确.提示两 条,如 图1所示，MPi与NP2都等于2.在单位圆中，满足c o sa=-g的余弦线有几条？在图中明确.提示一 条,如 图2所示，0M=一/解(1)作直线y=坐交单位圆于A,B 两点、,连 接0
18、4,0 B,则0 A与0B围成的区域(图阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a的集合为兀 2兀a 2攵 兀+W a W 2 E+k e Z p(2)作直线x=-3交单位圆于。，。两点，连 接OC,0 D,则0 C与。围成的区域(图阴影部分)即为角a终边的范围，故满足条件的角a的集合为2攵兀+兀.02+%,k G Z L1.tS思领悟.利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sinx2b,cosxa(sinxWb,cosxW a),求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y=b或x=a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的
19、范围.(2)正切型不等式的解法对 于ta n x c,取点(1,c),连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围.7.2.2同角三角函数关系知识点同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2a+cos?a=l.(2)商数关系：ta n a=n a W E+5,ZGZ).Ll.sin2a+cos2y?=1 恒成立吗？提示 不一定.思考葭2.对任意角a，sin2 2a+cos2 2a=1是否成立.提示 成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关.考点I I类 型1利用同角三角函数基本关系式求值3【例1】(1)已知sin。=亍 求cos a,tan
20、。的值；(2)已知 sin a+2cos a=0,求 2sin acos acos2a 的值.解(1)因为sinaVO,sinaW-1,所 以a是第三或第四象限角.由 sin2a+cos2a=1 得 cos2q=1 -sin2a=1 三 =充.如 果a是第三象限角，那么cos a0.于是cos4于“-r-sin a从而tan a=cos aX34,4 3如 果a是第四象限角，那么cosa=m，tan a=.(2)法一：由 sin a+2cos 0,cos a0,所以原式=*用4=x=1.cos a|sin a|cos a sin a厂.成思领悟.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦，即把非正弦
21、、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或 用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin a或cos a时，其正负号是由角a所在的象限决定，不可凭空想象.D类 型3三角函数式的证明 tan a-sin a tan a+sin a【例 3】求证：-:=-：-.tana-sin a tan a-sin a 证明口 口 i 法、土一:左人边W sm：a=；sin,sin asin acos a 1 cos asin tx+s
22、in a c os a 1 +c os a右边=sin2 asin a 因 为 sin2 z=lc os2 a=(l+c os a)(lc os a),z t sin a 1 +c os a _ ,.所以-=：-,所以左边=右边,1 c os a sma 所以原等式成立.一 ,t.a n-2 a-si n2z a法二：因为右边二7;-：-：(ta n a sin a)ta n a sm ata n?a-ta nt a c os?a(ta n asin a)ta n a sin ata n?a(l-c os?c)(ta n a-sin a)ta n a-sin ata n2 a sin2 a(t
23、a n a-sin a)ta n a sin ata n a sin ata n a sin a=左边.所以原等式成立.(-.应思领悟 .、1 .在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数,或化切为弦，或化弦为切(如：已知ta n a,求关于sin a,c os a的齐次式的问题)；“1”的代换(I =sin2 a+c os2 a)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.2.利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简
24、.(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子.(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.(4)变更命题法，如要证明怖=力 可证a d=/?c或 证 等.左边(5)比较法，即设法证明“左边一右边=0或“不=1”.类型4 sin acos夕”同“sin acos a”间的关系【例 4】已知sin a+cos a=,且 OVaVm求：(l)sin acos1 的值；(2)求 sin acos a 的值.解(l);sin a+cos。=予，(sin a+cos a)2=,，1 +2sin acos a=去,丽 1 2即 sin acos c(=(2)*/(sin a-c
25、os a)2=1 2sin acos a又 OVaVTi,且 sin acos a0,cos a0,.7.sm a-cos。=亍厂.J5思领悟.1.已知sin夕 土 cos。求 sin Ocos仇 只需平方便可.2.已知sin 8cos。求 sin先cos夕时需开方，此时要根据已知角。的范围，确定 sin fttcos 0 的正负.7.2.3三角函数的诱导公式第1课时 三角函数的诱导公式（一 四）知识点1诱导公式（一）终边相同的角的诱导公式（公式一）：sin（a+2kn）=sin a（k Z）；cos（a+2kn）=cos a（k Z）；tan（a+2E）=tan a（k Z）.用道k l.终
26、边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？提示 相等.知识点2诱导公式（二）终边关于x 轴对称的角的诱导公式（公式二）：sin（g）=sin g；cos（-a）=cos a；tan（a）=-tan a.思考12.角一a 的终边与单位圆的交点与角a 的终边与单位圆的交点有何关系？提示 关于x 轴对称.知识点3诱导公式（三）终边关于y 轴对称的角的诱导公式（公式三）：sin（兀 a）=sin a；cos（7t-a）=cos a；tan（7c-a）=tan a.思 考 3.兀 一 a 与a 的终边什么关系？提示 关于y 轴对称.知识点4诱导公式（四）终边关于原点对称的角的诱导公式（公式四）：sin（
27、7i+a）=sin a；cos（兀+a）=-cos a；tan(兀+)=tan a.思 考4.兀+a与a的终边有什么关系？提示 终边在同一条直线上.考点类 型1给角求值 例 I 求下列各三角函数式的值:(l)sin(660)；(2)cos(3)2cos 660+sin 630；(4)tan.sinl 解 因为一 660=2*360。+60。,所以 sin(-660)=sin 60。=与小 m O 27T T,.3兀 因 为 丁=6兀+彳,所以cos27兀3兀不=3 李(3)原式=2cos(720-60)+sin(720-90)=2cos 60 sin 90=2 X-1 =0.37兀(4)tan
28、 二-finl5兀、=tan(6兀+571 sin(-2兀+三6n.n A/3_V3 1=tan g-sin 3=3 X 2=,1.泼现规律.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤是什么？提示卜负化正”1 用公式一或二来赢f）广大化小”1 用公式一将角化为0。到360。间前面）广小化锐”卜包公式三或四将大于90的角转化为锐角）卜锐求值”1 得到锐角的三角函数后求值）类型2化简求值【例2】化简下列各式.cos(o+a)sin(27i+a)“)sin(a-T TCOS(一兀-a)cos 190-sin(-210)(2)cos(-350)-tan(-585)-.、日 cos a-sin a cos
29、a-sin a 斛 (1)原式=：=1.sin(7t+a)-cos(7i+a)sin a-cos acos(180+10)-sin(180+30)原式=cos(360+10)tan(360。+225。)_cos 10 sin 30_2_=cos 10o-tan(180o+45)=-tan45o=2-厂.国 思领悟.x三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意 1 的变式应用：如 1 =sin2a+cos2a=tan 类型3给值求值问题【例3】求值.(1)已知sing+a)=3 求 sin(
30、a一等 的值；(2)已知坐，求c o sd+a)的值.尝 试 与 发 现1.喘+a”与竽”间存在怎样的关系？你能用a+铲 表示节5 7 1”吗?提示 住+a)(a号)=2兀,即。_|兀=,+m _2兀.2.a”与 看+a”间有怎样的关系？你 能 用“京。”表示 解(DV=sin(a+*=I2-(a+裔-(a+(|=兀，cosly+aj=co s 7i+(a+*7兀6=cos|fi+ar-3.母题探究1.（变条件）本例条件变为“已知sin W+a）=T ，求 sin（a引 的值.2.（变结论）本例已知条件不变，求 cos a5兀、的值.成 思 领 悟 .解决给值求值问题的技巧（1）寻找差异：解决
31、条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.（2）转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.第2课时 三角函数的诱导公式（五六）知识点1诱导公式五终边关于直线y=x对称的角的诱导公式（公式五）:s in -a W cos a；cos1一 G)=sin a.皿1艘与角斜三角函数值有什么关系?坦一.冗 n 1 兀.冗 d lLIAEZFJ sin%=cos 2=2 c o s a=sin思 考2.角a的终边与角，一a的终边有怎样的对称关系？提示 关于直线y=x对称.知识点2诱导公式六1+a型诱导公式（公式六）：sinl 2 Ic
32、os a；cosl 2 I sm a.思 考3.如何由公式四及公式五推导公式六？提示s i n +0：l=s i nc o s g+a产 c o s考点类型1利用诱导公式给值求值【例1】已知s i n停一a)=g,则c o s e+a)的值是已知s i n(a/)=；,则c o s售+a)的值是_ _ _ _ _.(3)已知s i n(兀+A)=3，则c o s停 兀 一A)的值是(读(2)-|(3)-|陪-力+5+a居，又；（3）s i n（兀+A）=-s i n A =一1=C O S（7I+-A）=COS.思领悟.1.给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，
33、再确定相关的值.2.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关 系*-a,1+；a,a；+a,彳 一 a 等.常见的互补关系有胃+仇牛一。；十仇手一。等.类型2利用诱导公式化简求值【例 2】已知a 是第三象限角，且(.3无 sin(兀-a)cos(2 兀-asin11a 十受.穴 a)=一sin(一 兀 一a)sin3兀 化简加)；若cos(a求.*a).解 QA)=3 7 1sin(na)-cos(27t-a)sin(a+-)sin(ot)-sin(asin acos a(cos a)=：=cos a.sin acos a因为 cosa所以sina=一 又a 是第三象限角.所以 cos a
34、=1 -I T)J 一，U L r、l 2A/6所以/(a)=-cos a=s.母题探究1.本例(1)中条件变为sin($a)=g,问题不变.5 .(4兀 、，(兀 、3兀 (it.3无(4兀 解 .I-Ja I +15+I=2 cos(d+aj=cos 了工亍(4 兀 1 j-ar 2-2.本例(1)条件不变，求 cos信ia)的值.1.成思领悟 .用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.7 T(2)对于E土a和F土a这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式
35、必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.I I类型3诱导公式在三角形中的应用4 4-R C A R4-C【例3】在 A 3 C中，s i n=sin2，试判断 A B C的形状.r 田收=锂 1 .A +B-C.A B+c A+B+C=n 思路点拨s i n 2 =s m 豆 -得8,C关系|一|A 3 C的祈 解A+B+C=n,：.A+BC=n-2C,A-B+C=it-2B.A+B-C A-B+C又 s i n 2 =s i n ),n2 C 7i-2Bs i n-2-=sin,/.s i n e _ c j=s i n 仔8),c o s C=c o s B.又8,C为aABC的内角，:,
36、C=B,：.A B C为等腰三角形.,应思领悟.1 .涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以aA+B+C=n9 f为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解.2 .在 A 3 C 中，s i n(A+B)=s i n C；c o s(A+B)=c o s C；t a n(A+B)=t a n C；.B+C A A+C.Bsin-2-=c o s/；cos-=s in.7.3三角函数的图象和性质7.3.1 三角函数的周期性知 识 点1周期函数的定义(1)设函数y=/U)的定义域为A,如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x G A,都有x+T G A,并 且/U+Q=/U),那么函数/U)就叫作
37、周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.(2)对于一个周期函数7U),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么，这个最小的正数就叫作/U)的最小正周期.(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2伏 Z且ZW0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2a.思考kl.单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.提示 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2兀，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相 同.即 有
38、sin(27t+=sin x.故正弦函数、余弦函数也具有周期性.思考，2.所有的周期函数都有最小正周期吗？提示 并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数加)=C,任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.知识点2正弦函数 余弦函数 正切函数的周期一般地，函数 y=Asin(x+s)&y=Acos(cyx+g)(其中 A,co,夕为常数，且AW 0,o0)的周期T=1.函数y=Atan(cox+8)(其中A,co,(p为常数，且AWO,0 0)的周期为今思 考3.6兀是函数y=sinx(xR)的一个周期吗？提不 是.考点D类 型1求三角函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期.(
39、l.x)=2sin|j+J；(2)y(x)=2tan(3尤+；)；(3)y=|sin A-|；(4)/(x)=-2cos(2ox+j)(aWO).2兀 解(1)7=丁=6兀，.,.最小正周期为6Tl.3(2)T=_重=辛.,.最小正周期为不 由y=sinx的周期为2兀，可猜想y=|sin x|的周期应为兀.验证：V|sin(x+7c)|=|-sin x|=|sin x|,由周期函数的定义知y=|sin川的最小正周期是7 1.2 兀 7 T 7 T(4)7=两=而，二 最 小 正 周 期 辐.成 思 领悟.S利用公式求y=Asin(4+9)或y=Acos(cox+9)的最小正周期时，要注意co的
40、正负，公式可记为了=含.口 类 型2周期性的应用【例2】定义在R上的函数_/U)既是偶函数又是周期函数，若凡r)的最小正周期是兀，且当x G 0,3时，fix）=sin X,求 的 值.解:/U）的最小正周期是兀,/曾 可 停 一2兀）=/（司.又,./（X）是R上的偶函数，（一*晤b s i导 乎,母题探究1.（变条件）将本例中的条件“偶函数”改 为“奇函数”，其余不变，求 了 闺的值.解:/U）的最小正周期为兀,。曾 可 停 一2兀.（X）是R上的奇函数，/（_*-/倒=-s i n 1翦.府 一 笔2.（变结论）本例条件不变，求/（一 詈）的值.解:/U）的最小正周期为兀,1 9兀)6)
41、x）是R上的偶函数，,/_!1=周=疝 l=.THr.辰思领悟.函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.7.3.2三角函数的图象与性质第1课时 正弦、余弦函数的图象知 识 点1正弦曲线、余弦曲线正弦函数y=sin x(xdR)和余弦函数y=cos x(xGR)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图).思 考1.为什么把y=sin%,y=cosx,0,2兀 的图象向左、向右平移2兀的整数倍个单位长度后图象形状不变？提示 由公式 sin(x+2E)=sinx,cos(x+2E)=cosx,ZWZ 可得.知识点2“五点法”
42、画图画正弦函数y=sinx,0,2兀 的图象，五个关键点是(0,0),(兀，。)，性 -1)，&兀,。)画余弦函数y=cos x,%0,2无 的图象，五个关键点是(0,1),住0),(兀，知识点3正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx=sin(x+,要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平若个单位长度即可.思 考2.作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？提示 作图象时，函数自变量栗用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用.考点D类 型1利 用“五点法”作简图【例1】用“五点法”作出下列函数的图象.(l)y=sinx
43、-1,尤 0,2兀 ；(2)y=2+cosx,0,2K.解 列表如下：描点连线，如图所示:X0X2713呼2兀sin x010-10sin x-1-10-1-2-1(2)列表如下:描点连线，如图所示:X07 C27132712兀COSX10-1012+cosx32123 母题探究将本例(2)函数改为“y=-l cosx,x e 0,271 试画出函数的图象.解 列表如下：描点连线，如图所示:X0三2713兀T2兀COS X10-1011cosx-2-10-1-2厂.成思领悟.作形如y=asin x+仪或y=acos x+b),xW 0,2兀 的图象的三个步骤是什么？列表：(2)描点：在平面直角
44、坐标系中描出下列五个点：(0,y),仔，y),(兀,y),仔，y),(2兀，y),这里的y是通过函数式计算得到的.X0工2713兀T2兀sinx（或 cosx）y(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接.提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.类型2利用正 余弦曲线解三角不等式【例2 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合.(l)sin(2)cos xwg.解(1)作出正弦函数y=sin x,xW 0,2兀 的图象，如图所示，由图象可以T T 5兀得到满足条件
45、的x的集合为5+2攵 兀，,kGZ.y=sinz,x E 0,21r y0 工 生 5 i r 31r-1.6 2 6(2)作出余弦函数y=co sx,6 0,2兀 的图象，如图所示，由图象可以得到满兀 57r足条件的尤的集合为g+2 E,至+2&兀，kGZ.领悟.用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在 0,2句上的图象;写出不等式在区间 0,2用上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集.1 3类 型3正 余弦函数图象的应用【例3】在同一坐标系中，作函数y=sinx和y=lgx的图象，根据图象判断出两函数图象交点的个数.思路点拨 丽 一画一|交点个数 解 建立
46、直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,xC 0,2幻的图象，再依次向右连续平移2兀个单位，得到y=sin x的图象.描 出 点 缶，-1),(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到)，=lg x的图象，如图所示.由图象可知两函数图象的交点有3个.厂.成 思 领 悟.1.利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题.2.常见的函数图象变换(D y=/(x)的图象向左(右)平移。个单位,得到函数丁=/口+。)=7(%。)的图象；(2)y=7 U)的图象向上(下)平移b个单位，得到函数y=/(x)+卅 y=y(x)一切的图
47、象；(3)y=/(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y =一*x)的图象；(4)y=r)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y=/(幻的图象；(5)y=/(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y=火一x)的图象；(6)y=/(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y=l/(x)|的图象；(7)y=/U)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数 =*的图象.第2课时 正弦、余弦函数的图象与性质知 识 点 正 弦 函 数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数丁=也工，x R余弦函数=馍 5%
48、,%G R图象-ZP1 TJy0JT T _ITy1卫x定义域RR值域-1,1 -M 最值当%=2 3 兀+，攵 2)时,取得最大值1;J T当 x=2E2(A Z)时,当 x=2E仅G Z)时,取得最大值1；当 X=2 E+TI(ZZ)时,取得最小值二1思 考 1.正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数,取得最小值二1周期性周期函数，T=2 n周期函数，T=2K奇偶性佥函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称单调性在是在上2 1 兀2 1 兀+J增函数；2E+J 2E+芈是减函数A e Z)上在 2E一兀，2 而1 仅ez）上是增函数；在 2 E,（2 4+1）兀
49、优金2）上是减函数伏GZ)对称性J T关于x=E+（%e z）成轴对称，关于（E，0）（无 G Z）成中心对称关于x=E（%e z）成轴对称，关于（E+冬 0）（%W Z）成中心对称这种说法对吗？TT J I 提示 不正确.正弦函数在每个闭区间 2 也一2E+祁:WZ）上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间 2 E,2 H+汨伏WZ）上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数.思考4 2.y=s i n x 和 y=c o s x在区间（/,）（其中0 根 2 兀）上都是减函数，你能确定m的最小值、的最大值吗？TT 提示 由正弦函数和余弦函数的单调性可知机=1,n
50、=n.考点 类 型 1 求正弦 余弦函数的单调区间【例 1】求函数y=2 s i nx一向的单调区间.兀 解 令 z=x 则 y=2 s i n z.TT,.,z=x-W 是增函数，.,.y=2 s i n z 单调递增（减）时，函数y=2 s i n （x一2也单调递增（减）.兀 Tl由 z 2E 2，2&兀+(AZ),得x一鼻 24兀一看2 E+；(%Z),即 x 2也一看，2 E+牛 伏WZ),HTT S 71的单调递增区间为2 E 不2也+不(kWZ).同理可求函数y=2sin Q 的单调递减区间为2 E+普，2%1+卷兀伏6Z).母题探究求函数y=2sin停-x)的单调减区间.解J