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1、1.2.1 排列(一)探究在1.1节的例9(汽车牌照问题)中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢?探究:问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?上面两个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学模型来刻画?探究:问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?分析:把题目转
2、化为从甲、乙、丙3名同学中选2名,按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的顺序排列,求一共有多少种不同的排法?上午 下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法.第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法根据分步计数原理:32=6 即共6种方法。把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为:从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?从
3、4个不同的元素a,b,c,d中任取3个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数:123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432。基本概念1、排列:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个
4、不同元素中取出m个元素的一个排列。说明:1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。4、mn时的排列叫选排列,mn时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用“树形图法”,“框图法”。例1、下列问题中哪些是排列问题?(1)10名学生中抽2名学生开会(2)10名学生中选2名做正、副组长(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除(5)20位同学互通一次电话(6)2
5、0位同学互通一封信(7)以圆上的10个点为端点作弦(8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另 一个点的射线(9)有10个车站,共需要多少种车票?(10)有10个车站,共需要多少种不同的票价?2、排列数:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。“排列”和“排列数”有什么区别和联系?排列数,而不表示具体的排列。所有排列的个数,是一个数;“排列数”是指从个不同元素中,任取 个元素的所以符号只表示“一个排列”是指:从个不同元素中,任取按照一定的顺序排成一列,不是数;个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数,记为,已经
6、算得问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,记为,已经算出探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少?呢?呢?第1位 第2位 第3位 第m位n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种(1)排列数公式(1):当mn时,正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 表示。n个不同元素的全排列公式:(2)排列数公式(2):说明:1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。为了使当mn时上面的公式也成立,规定:2、对于 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件。数公式 它有三个特点:(1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1(2)最后一个因数是nm1(3)共有m个因
7、数例3求下列各式中的n值:解:由排列数公式可得2n(2n-1)(2n-2)=100n(n-1)n0,n12n-1=25解得n=13。例4证明:。证明:右边例5、求 的值.排列应用题一、无限制条件的排列问题例1:从5种不同的蔬菜种子中选3 种分别种在3 块不同土质的土地上,共有多少种不同的种法?分析:把5个种子分别标上1,2,3,4,5,用123 表示种子1 种在第1 块土地上,种子2 种在第2 块土地上,种子3 种在第3 块土地上,因此3 个数的一个排列就是一种种植方法,从5个不同数中取出3 个数的一个排列就是一种种植方法,多少个排列就有多少种种法。例2:公共汽车上有4 位乘客,其中任何两个人
8、都不在同一车站下车,汽车沿途停靠6 个站,那么这4 位乘客不同的下车方法有多少种?分析:个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246 表示第一位乘客在1 号站下,第二位乘客在2 号站下,第三位乘客在4 号站下,第四位乘客在6 号车站下,不同的排列表示不同的下法,有多少个不同的排列就有多少种不同的下法,共有A46=6543=360 例3 某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,求总共要进行多少场比赛.例4(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?(2)从5种不同类的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?(种)(种)练习2信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信号有()1从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛,并排定他们的出场顺序,有种不同的方法?练习题:排列问题,是取出m个元素后,还要按一定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不同的排列)小结由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列 谢谢观赏勤能补拙,学有成就!2023/6/2 26