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1、 排 列1.2.1 排排 列列（1）1.1.分类加法计数原理分类加法计数原理 如果完成如果完成一件事情有一件事情有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中类办法中有有m m1 1种种不同不同的方法，在第的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种种不同不同的方法，的方法，在第，在第n n类办法中类办法中有有m mn n种种不同不同的方法，那么完成这件事的方法，那么完成这件事共有：共有：种种不同不同的方法。的方法。一、复习回顾：一、复习回顾：2.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事情完成一件事情需要有需要有n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方
2、法，种不同的方法，做第做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步步时有时有m mn n种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。3.3.分类加法原理和分布乘法原理的分类加法原理和分布乘法原理的主要区别是？主要区别是？加法原理加法原理 乘法原理乘法原理区别一区别一完成一件事有不完成一件事有不同的方案关键是同的方案关键是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个步骤，关键是个步骤，关键是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立独立完成完成这件事情。这件事情。任何一步都任何一步都不能独立不能独
3、立完成这件事情完成这件事情，只有，只有每个步骤完成了，才每个步骤完成了，才能完成这件事情。能完成这件事情。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：问题问题1：从陶其满、王寅瑜、徐鸿飞从陶其满、王寅瑜、徐鸿飞3名同名同学中选出学中选出2名参加娱乐比赛，其中名参加娱乐比赛，其中1名同学名同学参加上午的唱歌比赛，另参加上午的唱歌比赛，另1名同学参加下午名同学参加下午的扎金花比赛，有多少种不同的选法？分的扎金花比赛，有多少种不同的选法？分别是什么？别是什么？二
4、、探究新知：二、探究新知：上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲丙甲丙甲乙甲乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参名参加娱乐比赛，其中加娱乐比赛，其中1名同学参加上午唱歌比名同学参加上午唱歌比赛，另赛，另1名同学参加下午的扎金花比赛，有名同学参加下午的扎金花比赛，有多少种不同的选法？分别是什么？多少种不同的选法？分别是什么？二、探究新知：二、探究新知：把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于于是问题就可以叙述为：是问题就可以叙述为：从从3个不同的元素个不同的元素 a,b,
5、c中任取中任取2个，然后个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数字中，每次取出个数字中，每次取出3个个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分别是什么？分别是什么？叙述为叙述为:从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后个，然后按按 照一定的照一定的顺序排成一列顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;b
6、ac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名名参加某天的一项活动参加某天的一项活动,其中其中1名参名参加上午的活动加上午的活动,1名参加下午的活动名参加下午的活动,有多少不同的排法有多少不同的排法
7、?原问题即：原问题即：从从3名同学中名同学中,任取任取2名名,按参加上午的活动在前按参加上午的活动在前,下午的下午的 活动在后的顺序排成一列活动在后的顺序排成一列,有哪有哪 些不同的排法？些不同的排法？实质是：实质是：从从3个不同的元素中个不同的元素中,任任 取取2 2个个,按按一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？有哪些不同的排法？问题问题2 从从1，2，3，4这这4个数中，每个数中，每次取出次取出3个排成一个三位数，个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数共可得到多少个不同的三位数？原问题即：原问题即：从从4个不同的数字中个不同的数字中,任取任取3个个,按照左边按照左
8、边,中间中间,右边右边 的的 顺序排成一列顺序排成一列,写出所有不写出所有不 同的排法同的排法.实质是：实质是：从从4个不同的元素中个不同的元素中,任取任取3个个,按照按照一定的顺序排成一定的顺序排成 一列一列,写出所有不同的排法写出所有不同的排法.定义：一般地说定义：一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列.(一取二排一取二排)基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(m
9、n)个元个元素，按照素，按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从 n 个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列时的排列叫全排列。1 1、“不同不同”：元素不能重复。：元素不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置就是与位置有关有关,这是判断一个问题是否是排这是判断一个问题是否是排列问题的关键。列问题的关键。排列的特征排列的特征注意：注意：两个排列相同，当且仅当这两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且两个排列中的元素完全相同，而且元素的排
10、列顺序也完全相同。元素的排列顺序也完全相同。你认为哪些关键词比较重要吗？你认为哪些关键词比较重要吗？思考思考:下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）有）有2 2个车站个车站,共需要多少种车票？共需要多少种车票？（6 6）有）有2 2个车站个车站,共需要多少种不同共
11、需要多少种不同 的票价的票价?2、排列数：、排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有不同排列的个数，叫做从的所有不同排列的个数，叫做从n n个不同的元个不同的元素中取出素中取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。排列数。所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所以符号只表示 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有不同排列的个数，叫做从的所有不同排列的个数，叫做从n n个不同的元个不同的元素中取出素中取出m m个元素的排列数。用符号个元素
12、的排列数。用符号 表示。表示。“排列排列”是指元素按顺序的组合问题问题中是求从个不同元素中取出个元素的中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？第第2位位第第1位位nn-1探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的个元素的排列数排列数 是多少？是多少？第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第
13、2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第m位位n-m+1(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：(2)(2)规定：规定：练习练习1.1.计算：计算：变式：变式：练习练习2.2.求证：求证：例例1 1、某年全国足球甲级、某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？赛一次，共进行多少场比赛？解：解：
14、14个队中任意两队进行个队中任意两队进行1次主场比赛与次主场比赛与1次客场比赛，对应于从次客场比赛，对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的一个排列，因此，个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是比赛的总场次是练习练习2：课本：课本P20：4,5,6 例例2 2（1 1）从）从5 5本不同的书中选本不同的书中选3 3本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各1 1本，共有多少种不同本，共有多少种不同的送法？的送法？（2 2）从）从5 5种不同的书中买种不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同名同学，每人各学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法本，共有多少种不同的送法？(种种)(种种)
15、排列数分步乘法计数原理四、课堂小结四、课堂小结今天我们收获了什么？今天我们收获了什么？五、布置作业五、布置作业第二课时：第二课时：排列（排列（2）复习：复习：1.1.什么排列什么排列?2.?2.排列数公式是？排列数公式是？课前练习课前练习1.1.计算：计算：题型一：排列数的应用题型一：排列数的应用2730例例2：用：用0到到9这这10个数字，可以组成多少个个数字，可以组成多少个三位数？三位数？百位十位个位解法一：对排列方法分步思考。解法一：对排列方法分步思考。从位置出发从位置出发题型二：数字排列问题题型二：数字排列问题或：或：能分成能分成2步吗步吗?2)可以组成多少个没有重复数字的三位数？可以
16、组成多少个没有重复数字的三位数？9x10 x10 =900解法二：间接法解法二：间接法.从从0到到9这十个数字中任取三个数字的排列数这十个数字中任取三个数字的排列数为为;所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是:其中以其中以0为排头的排列数为为排头的排列数为:逆向思维法逆向思维法解法三：对排列方法分类思考。符合条件的解法三：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：三位数可分为两类：百位百位 十位十位 个位个位0百位百位 十位十位 个位个位0百位百位 十位十位 个位个位根据加法原理根据加法原理从元素出发分析从元素出发分析+变式变式1：用：用0到到9这这10个数字，可以组成多少个数字，可以
17、组成多少个可以重复的三位奇数？个可以重复的三位奇数？百位十位个位变式变式2：用：用0到到9这这10个数字，可以组成多少个数字，可以组成多少个不重复的三位奇数？个不重复的三位奇数？从百位或个位开始从百位或个位开始百位十位个位从个位开始从个位开始百百十十总结：排列问题的本质是总结：排列问题的本质是“元素元素”占占“位置位置”问题，带有限制条件的排列问题主要是某问题，带有限制条件的排列问题主要是某元素不排在某位置上，或者某位置不排某元元素不排在某位置上，或者某位置不排某元素。素。方法：方法：“优先优先”原则，优先考虑特殊元原则，优先考虑特殊元素或优先考虑特殊位置。当一个位置的素或优先考虑特殊位置。当
18、一个位置的元素影响其他位置元素的个数时，应该元素影响其他位置元素的个数时，应该分类讨论。分类讨论。练习：用0，1，2，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数题型三：排队问题题型三：排队问题例例2：3名男生，名男生，4名女生，按照不同的要求名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选选5名同学排成一行；名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，全体站成一排，男生必须排在一起；男生必须排在一起；(4)全体
19、站成一排，全体站成一排，男、女各站在一起；男、女各站在一起；(5)全体站成一排，全体站成一排，男生不能相邻；男生不能相邻；无限制条件排列无限制条件排列直接分步法：直接分步法：相邻问题（捆绑法）相邻问题（捆绑法）（捆绑法）（捆绑法）不相邻问题（插空法）不相邻问题（插空法）(6)全体站成一排，全体站成一排，甲必须在乙的右边；甲必须在乙的右边；(7)全体站成一排，全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；顺序不变；定序问题（除阶乘法）定序问题（除阶乘法）规律方法规律方法排队问题的解题策略排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外
20、，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题(1)对于相邻问题，可采用对于相邻问题，可采用“捆绑法捆绑法”解决解决即将相邻的元素视为一个整体进行排列即将相邻的元素视为一个整体进行排列(2)对于不相邻问题，可采用对于不相邻问题，可采用“插空法插空法”解解决即先排其余的元素，再将不相邻的元素决即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中插入空中(3)对于定序问题，可采用对于定序问题，可采用“除阶乘法除阶乘法”解解决即用不限制的排列数除以顺序一定元素决即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数的全排列数规律方法规律方法排队问题的解题策略排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元
21、素、特殊位置外，排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题(1)对于相邻问题，可采用对于相邻问题，可采用“捆绑法捆绑法”解决解决即将相邻的元素视为一个整体进行排列即将相邻的元素视为一个整体进行排列(2)对于不相邻问题，可采用对于不相邻问题，可采用“插空法插空法”解解决即先排其余的元素，再将不相邻的元素决即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中插入空中(3)对于定序问题，可采用对于定序问题，可采用“除阶乘法除阶乘法”解解决即用不限制的排列数除以顺序一定元素决即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数的全排列数小结小结排列问题：排列
22、问题：“优先优先”原则，优先考虑特原则，优先考虑特殊元素或优先考虑特殊位置。当一个位殊元素或优先考虑特殊位置。当一个位置的元素影响其他位置元素的个数时，置的元素影响其他位置元素的个数时，应该分类讨论。应该分类讨论。排队问题的解题策略：排队问题的解题策略：(1)对于相邻问题，可采用对于相邻问题，可采用“捆绑法捆绑法”解决解决即将相邻的元素视为一个整体进行排列即将相邻的元素视为一个整体进行排列(2)对于不相邻问题，可采用对于不相邻问题，可采用“插空法插空法”解解决即先排其余的元素，再将不相邻的元素决即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中插入空中(3)对于定序问题，可采用对于定序问题，可采用“除阶乘法除阶乘法”解解决即用不限制的排列数除以顺序一定元素决即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数的全排列数谢谢观赏勤能补拙，学有成就！2023/2/1038