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1、学习目标1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）第1 页/共38 页导入新课情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？第2 页/共38 页讲授新课切线长定理及应用一互动探究问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PA B 第3 页/共38 页P1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长AO切线是直线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
2、圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？知识要点第4 页/共38 页问题2 P A为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）P A、PB有何关系？APO和BPO有何关系？O.PAB第5 页/共38 页B BPOA A切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切O于A、BP A=PBOP A=OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点第6 页/共38 页O.P已知，如图P A、PB是O的两条切线，A、B为
3、切点.求证：P A=PB，APO=BPO.证明：PA切O于点A，OA PA.同理可得OB PB.OA=OB，OP=OP，Rt OAPRt OBP，P A=PB，APO=BPO.推理验证AB第7 页/共38 页想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB.证明：P A，PB是O的切线,点A，B是切点 P A=PB，OP A=OPB P AB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB.O.PABM第8 页/共38 页想一想：若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明：P A，PB是O的切线,点A，B是
4、切点，P A=PB，OP A=OPB.PC=PC.PCA PCB，AC=BC.CA=CBO.PABC第9 页/共38 页典例精析例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.A BCDO证明：AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H，EFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.第10 页/共38 页例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示
5、的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知OPA为直角三角形，从而在Rt OPA中由勾股定理易求得半径O第11 页/共38 页在Rt OP A中，P A5，POA30，OQ解：过O作OQ AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.AP、AQ为O的切线，AO为P AQ的平分线，即P AOQAO.又BAC60，P AOQAOBAC180，P AOQAO60.即铁环的半径为第12 页/共38 页B BPO OA AP A、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP
6、=;（2）若BP A=60,则OP=.56练一练第13 页/共38 页 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆及作法二互动探究第14 页/共38 页问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？OOOO最大的圆与三角形三边都相切第15 页/共38 页三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？圆心I到三角形三边的距离相等，都等于
7、r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？第16 页/共38 页已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作B 和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.做一做第17 页/共38 页1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.知识要点第18 页/共38 页三角形的内心的性质三B
8、ACI问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB,OC 分别是A，B，C的平分线.第19 页/共38 页BACI问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG第20 页/共38 页知识要点u 三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.第21 页/共38 页例3 如图，ABC中，B=43，C=61，点I是ABC的内心，求 BIC的度数.解：连接IB，
9、IC.ABCI点I是ABC的内心，IB，IC分别是 B，C的平分线，在IBC中，第22 页/共38 页例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.第23 页/共38 页CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形,OAB=OBA=30oOD AB，AB=3cm，AD=BD=AB=1.5(cm)OD=AD tan30o=(cm)答
10、:圆柱底面圆的半径为 cm.第24 页/共38 页例5 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO第25 页/共38 页解:设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.ACE
11、DFO第26 页/共38 页比一比名称 确定方法 图形 性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO第27 页/共38 页C CA AB BO OD D1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，OD BC，OB平分ABC.OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.内切圆半径外接圆半径练一练第28 页/共38 页变式：求边
12、长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sin OBD=sin30=C CA AB BR Rr rO OD D第29 页/共38 页ABCODEFABCDEFO2.设ABC的面积为S，周长为L，ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？第30 页/共38 页ABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c
13、,所以第31 页/共38 页AA2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC=60,ACB=80,则BOC=.1.如图，P A、PB是O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,APB=40,则APO=,PB=.BBPOOAA第1题BBCCOO第2题当堂练习20 4110 第32 页/共38 页（3）若BIC=100，则A=度.（2）若A=80，则BIC=度.130203.如图，在ABC中，点I是内心，（1）若ABC=50，ACB=70，BIC=_.ABCI（4）试探索：A与BIC之间存在怎样的数量关系？120第33 页/共38 页4.如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为
14、圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE OC.证明：连接OD，AC切O点D，OD AC，ODC=B=90.在Rt OCD和Rt OCB中，ODOB，OCOC Rt ODCRt OBC（HL），DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED，DOB=ODE+OED，BOC=OED，DE OC第34 页/共38 页方法二：证明：连接BD，AC切O于点D，AC切O于点B，DC=BC，OC平分DCB.OC BD.BE为O的直径，DE BD.DE OC第35 页/共38 页5.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DIDB.证明：连接BI.I是ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID第36 页/共38 页切线长切线长定 理作 用图形的轴对称性原 理提供了证线段和角相等的新方法辅助线 分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念 内心概念及性质应 用课堂小结第37 页/共38 页感谢您的欣赏第38 页/共38 页