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1、栏目索引1 反比例函数第六章 反比例函数 初中数学（北师大版）九年级 上册栏目索引1 反比例函数第六章反比例函数栏目索引1 反比例函数知识点一 反比例函数定义一般地,形如y=(k 为常数,k0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数解析式y=或y=kx-1或xy=k(k0)比例系数在反比例函数y=(k0)中,为了方便,k 通常叫做比例系数注意反比例函数中,三个量x,y,k 均不为零,比例系数k0是反比例函数定义的一个重要组成部分栏目索引1 反比例函数拓展反比例关系与反比例函数的区别和联系 在小学时,我们学过反比例关系.如果 xy=k(k 是常数,k0),那么 x 与 y这两个量成
2、反比例关系,这里 x、y 既可以代表单独的一个字母,也可以代表多项式或单项式,若 y+3 与 x-1 成反比例,则 y+3=(k 为常数,k0);若 y与 x2成反比例,则 y=(k 为常数,k0).反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数 y=(k 为常数,k0)的两个变量必成反比例关系.栏目索引1 反比例函数例1 下列关系式中,y 是 x 的反比例函数的是(填序号).y=2 x-1;y=-;y=x2+8 x-2;y=;y=;y=.解析 根据反比例函数的定义进行判断,看它是否满足反比例函数的三种表示形式.y=2 x-1 是一次函数;y=-是反比例函数;y=x2+8 x-2 不符合反比例函数
3、的定义,不是反比例函数;y=,y 与 x2成反比例,但 y 与 x 不是反比例函数关系;y=是反比例函数,可以写成 y=;y=,当 a0 时是反比例函数,没有此条件则不一定是反比例函数.栏目索引1 反比例函数答案 温馨提示 判断一个函数是不是反比例函数的方法:先看它是否能写成反比例函数的三种表示形式中的一种;再看 k 是不是常数且 k0.警示:形如 y=的式子中,y 是 x2的反比例函数,不要误认为 y 是 x 的反比例函数.栏目索引1 反比例函数知识点二 反比例函数表达式的确定由于反比例函数 y=(k0)只有一个待定系数,因此只需要一组对应值,即可求出 k 的值,从而确定其表达式.用待定系数
4、法求反比例函数表达式的步骤:(1)设:设反比例函数的表达式为 y=(k0);(2)代:把已知条件代入表达式,得到一个关于 k 的方程;(3)解:解这个方程,求出待定系数 k;(4)写:将待定系数 k 的值代入 y=中,得到反比例函数的表达式.根据实际问题列反比例函数表达式,就是通过反比例函数的概念,从实际问题中抽象出函数关系,从而将文字语言转化为数学语言.栏目索引1 反比例函数知识拓展根据实际问题列反比例函数表达式的关键:(1)首先应分析清楚各变量之间应满足的关系式,然后建立反比例函数模型,最后解决实际问题.(2)一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.例2 由欧姆定律可知,电压不变时,
5、电流强度 I 与电阻 R 成反比例,已知电压不变,电阻 R=12.5 欧姆时,电流强度 I=0.2 安培.(1)求 I 与 R 的函数表达式;(2)当 R=5 欧姆时,求电流强度.栏目索引1 反比例函数分析 因为 I 与 R 成反比例,所以可设 I=(U0),解析式中只有 U 一个待定系数,所以只要将 R=12.5,I=0.2 这一对数据代入 I=(U0)即可.解析(1)I 与 R 成反比例,设 I=(U0).把 R=12.5,I=0.2 代入上式得 U=2.5,I=(R0).(2)把 R=5 代入 I=,得 I=0.5,即当 R=5 欧姆时,电流强度为0.5 安培.点拨 此题中的变量是 R
6、与 I,不要被固定思维限制,而误设为 y=(k0).栏目索引1 反比例函数题型一 利用反比例函数的定义求值例1 已知函数 y=(m2+2 m).(1)若 y 是 x 的正比例函数,求 m 的值;(2)若 y 是 x 的反比例函数,求 m 的值.分析 紧扣定义解答.(1)由正比例函数的定义可知:x 的指数为1,系数不为零.(2)由反比例函数的定义可知:x 的指数为-1,系数不为零.解析(1)依题意得 m2+m-1=1,且 m2+2 m0,解得 m=1.(2)依题意得 m2+m-1=-1,且 m2+2 m0.解得 m=-1.栏目索引1 反比例函数误区警示 不管是正比例函数还是反比例函数,在考查其定
7、义时,都必须关注两点:一是自变量的指数,二是相应的 k 值,不要忽视 k 不为零这一条件.栏目索引1 反比例函数题型二 根据表格确定反比例函数的解析式例2 已知 y 是 x 的反比例函数,请你根据下表回答下列问题.(1)求出这个反比例函数的解析式;(2)把表填完整.x-12-6y-4 24栏目索引1 反比例函数解析(1)设反比例函数的解析式为 y=(k0),则=,解得 k=-4,反比例函数的解析式为 y=-.(2)填表如下:x 1-12-6-y-4-24点拨 由表格可知,当 x=-12 时,y=,所以反比例函数的解析式可求出.已知反比例函数的解析式,自变量和函数值可以互求.栏目索引1 反比例函
8、数题型三 利用反比例函数解决实际问题例3 如图6-1-1,科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园 ABCD,其中一边 AB 靠墙,墙长为12m.设 AD 的长为 xm,DC 的长为 ym.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)若围成的矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过26m,材料 AD 和DC 的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.图6-1-1栏目索引1 反比例函数分析(1)根据面积为60m2可得出 y 与 x 之间的函数表达式.(2)由(1)的表达式,结合 x,y 都是正整数,可得出 x 的可能值,再由三边材料总长不超过26m,DC 的长小于12m,可得出
9、 x,y 的值,继而得出可行的方案.解析(1)由题意,得 xy=60,即 y=.所求的函数关系式为 y=(x5).(2)y=,且 x,y 都是正整数,x5,x=5,6,10,12,15,20,30,60.又 2 x+y26,符合条件的有 x=5,y=12;x=6,y=10;x=10,y=6.答:满足条件的围建方案如下:AD=5m,DC=12m 或 AD=6m,DC=10m 或AD=10m,DC=6m.栏目索引1 反比例函数知识点一 反比例函数1.(2017 天津津南双港中学模拟)下列函数中,是反比例函数的为()A.y=B.y=C.y=2 x+1 D.2 y=x答案A 选项A 可以变形为 y=,
10、比例系数为,符合反比例函数定义;选项B 中,x 的次数是2,不是反比例函数;选项C 是一次函数;选项D 是正比例函数,故选A.栏目索引1 反比例函数2.(2016 山东德州月考)下列关系中的两个量,成反比例的是()A.面积一定时,矩形的周长与一边长B.压力一定时,压强与受力面积C.读一本书,已读的页数与余下的页数D.某人的年龄与体重答案B 选项B 中两个量的函数关系式为 p=,所以压力一定时,压强与受力面积成反比例,故选B.栏目索引1 反比例函数3.在下列关系式中,x 均为自变量,哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的 k 值是多少?(1)y=;(2)y=0.4 x-1;(3)y=;(4)x
11、y=2;(5)y=6 x+3;(6)xy=-7;(7)y=;(8)y=x.解析(1)(2)(4)(6)是反比例函数,相应的 k 值分别是5,0.4,2,-7.栏目索引1 反比例函数4.已知函数 y=(m-1)x|m|-2是反比例函数.(1)求 m 的值;(2)当 x=3 时,求 y 的值.解析(1)由题意知|m|-2=-1 且 m-10,解得 m=-1.(2)由(1)知,y=-,当 x=3 时,y=-.栏目索引1 反比例函数知识点二 反比例函数表达式的确定5.已知一个函数的关系式满足下表(x 为自变量):则这个函数的关系式为()A.y=B.y=-C.y=-D.y=x 4 3 2 1-1-2-3
12、-4y 1.5 2 3 6-6-3-2-1.5答案A 由题中表格可知 x 与 y 的乘积等于6,所以这个函数的关系式为 y=.栏目索引1 反比例函数6.已知 y 是 x 的反比例函数,且当 x=-时,y=-,则函数关系式是()A.y=B.y=-C.y=D.y=答案A y 是 x 的反比例函数,设 y=(k0),当 x=-时,y=-,k=,函数解析式为 y=.故选A.栏目索引1 反比例函数7.有一个容积为60m3的水池,要在10h 内注满水,则注水时间 t(单位:h)与每小时注水量 h(单位:m3)的函数关系式为,自变量的取值范围是.答案 t=;h6解析 依题意可得 t=.要在10h 内注满水,
13、10,解得 h6.栏目索引1 反比例函数8.用反比例函数表达式表示下列问题中两个变量间的对应关系:(1)小明完成100m 赛跑时,所用时间 t(s)随他跑步的平均速度 v(m/s)的变化而变化;(2)一个密闭容器内有0.5kg 气体,气体的密度 随容器体积 V 的变化而变化;(3)压力为600N 时,压强 p 随受力面积 S 的变化而变化;(4)三角形的面积为20,它的一边上的高 h 随这一边的长 a 的变化而变化.栏目索引1 反比例函数解析(1)vt=100,t=(v0).(2)V=0.5,=(V0).(3)pS=600,p=(S0).(4)ah=20,h=(a0).栏目索引1 反比例函数1
14、.下列函数中,不是反比例函数的是()A.y=B.y=-(m0)C.y=D.y=答案CA、B、D 中的函数符合反比例函数的定义.C 中,y 与 x-1 成正比例,所以选C.栏目索引1 反比例函数2.(2016 重庆月考)函数 y=(m2-m)是反比例函数,则()A.m0 B.m0 且 m1C.m=2 D.m=1 或2答案C 由题意知:m2-3 m+1=-1,整理得 m2-3 m+2=0,解得 m1=1,m2=2.当 m=1 时,m2-m=0,不合题意,应舍去.当 m=2 时,m2-m=2,m 的值为2.故选C.栏目索引1 反比例函数3.如果函数 y=m 是一个反比例函数,求 m 的值和这个反比例
15、函数的解析式.解析 函数 y=m 是反比例函数,m2-5=-1,解得 m=2.经检验,m=2 均符合题意,所求解析式为 y=或 y=-.栏目索引1 反比例函数4.一块直角三角形菜地的面积是24m2,写出两条直角边长 x(m)和 y(m)之间的关系式.y 是 x 的反比例函数吗?求当 x=6 时,另一直角边及斜边的长.解析 24=xy,xy=48,即 y=(x0),y 是 x 的反比例函数.当 x=6 时,y=8,因此斜边长=10(m).答:两直角边长 x 与 y 之间的关系式是 y=(x0),y 是 x 的反比例函数,当 x=6 时,另一条直角边长为8m,斜边长为10m.栏目索引1 反比例函数
16、1.在 xy+2=0 中,y 是 x 的()A.一次函数B.反比例函数C.正比例函数D.既不是正比例函数,也不是反比例函数答案B xy+2=0,xy=-2,y=,y 是 x 的反比例函数.故选B.栏目索引1 反比例函数2.在温度不变的条件下,通过一次又一次对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映 y 与 x 之间的关系的式子是()A.y=3000 x B.y=6000 xC.y=D.y=体积x(mL)100 80 60 40 20压强y(kPa)60 75 100 150 300答案D 由表格数据可得:y 是 x 的反比例函数,设解析式
17、为 y=(k0),则 xy=k=6000,故 y 与 x 之间的关系式是 y=,故选D.栏目索引1 反比例函数3.已知 y=y1+y2,y1与 x 成正比例关系,y2与 x 成反比例关系,且当 x=2 时,y=-4;当 x=-1 时,y=5.求 y 与 x 之间的函数关系式.解析 y1与 x 成正比例关系,设 y1=k1x(k10).y2与 x 成反比例关系,设 y2=(k20),y=k1x+.把 x=2,y=-4 及 x=-1,y=5 代入 y=k1x+中,得 解得 y=-x-.栏目索引1 反比例函数4.水产公司有一种海产品共2104 千克,为寻求合适的销售价格,公司进行了8 天试销,试销情
18、况如下:第1天 第2天 第3 天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8 天销售价格 x(元/千克)400 250 240 200 150 125 120销售量 y(千克)30 40 48 60 80 96 100观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格 x(元/千克)之间的关系.现假定在这种海产品的销售中,每天的销售量 y(千克)与销售价格 x(元/千克)都满足这一函数关系.(1)写出这个反比例的函数表达式,并补全表格;(2)在试销8 天后,公司决定将这种海产品的销售价格定为150 元/千克,并且每天都按这个价格销售,那么余下的这些海产品预计要用多少天可
19、以全部售出?栏目索引1 反比例函数解析(1)所求的函数表达式为 y=(x0).补全表格如下:第1天 第2天 第3 天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8 天销售价格 x(元/千克)400 300 250 240 200 150 125 120销售量 y(千克)30 40 48 50 60 80 96 100(2)2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600(千克),即8 天试销后,余下的海产品还有1600 千克.当 x=150 时,y=80.1600 80=20(天).答:余下的这些海产品预计要用20 天可以全部售出.栏目索引1 反比例函数5.已知 y 是 x 的
20、函数,且对应数据如下表所示,你认为 y 是 x 的正比例函数还是反比例函数?你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗?x-3-2 1 3 4 y 3-栏目索引1 反比例函数解析(1)若 y 是 x 的正比例函数,则设 y=kx(k0).把 x=-2,y=代入 y=kx,得=-2 k,解得 k=-,y=-x.对于 y=-x,当 x=4 时,y=-3-,y 不是 x 的正比例函数.(2)若 y 是 x 的反比例函数,则设 y=(k0).把 x=-2,y=代入 y=,得=.解得 k=-3,y=-.栏目索引1 反比例函数对于 y=-,当 x=4 时,y=-.经验证,y 是 x 的反比例函数,其表达式
21、为 y=-.根据函数表达式补全的表格如下:x-3-2-11 2 3 4 y 1 3-3-1-栏目索引1 反比例函数1.函数 y=2 x,y=x,y=x-1,y=中,反比例函数有()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个答案B y=2 x 是正比例函数;y=x 是正比例函数;y=x-1是反比例函数;y=不是反比例函数,所以反比例函数有1 个.故选B.栏目索引1 反比例函数2.若 y=(5+m)x2+n是反比例函数,则()A.m=-5,n=-3 B.m-5,n=-3C.m-5,n=3 D.m-5,n=-4答案B y=(5+m)x2+n是反比例函数,解得 m-5,n=-3,故选B.栏目索引1 反比
22、例函数3.已知函数 y=(m2+2 m-3)x|m|-2.(1)若它是正比例函数,则 m=;(2)若它是反比例函数,则 m=.答案(1)3(2)-1解析(1)y=(m2+2 m-3)x|m|-2是正比例函数,m2+2 m-30,且|m|-2=1,m=3.(2)y=(m2+2 m-3)x|m|-2是反比例函数,m2+2 m-30,且|m|-2=-1,m=-1.栏目索引1 反比例函数4.已知函数 y=2 y1-y2,y1与 x+1 成正比例,y2与 x 成反比例,当 x=1 时,y=4,当 x=2时,y=3,求 y 与 x 的函数关系式.解析 由题意设 y1=k1(x+1)(k10),y2=(k2
23、0).y=2 y1-y2,y=2 k1(x+1)-.解得 y=(x+1)-,即 y=x+.栏目索引1 反比例函数1.(2017 天津南开津英中学期末,4,)若反比例函数 y=-的图象经过点 A(3,m),则 m 的值是()A.-3 B.3 C.-D.一、选择题答案C 把点 A 的坐标代入解析式可得 m=-.故选C.栏目索引1 反比例函数2.(2017 天津和平建华中学模拟,11,)下列关系中,两个量之间为反比例函数关系的是()A.正方形的面积 S 与边长 a 的关系B.正方形的周长 L 与边长 a 的关系C.长方形的长为 a,宽为20,其面积 S 与 a 的关系D.长方形的面积为40,长为 a
24、,宽为 b,a 与 b 的关系栏目索引1 反比例函数答案DA.根据题意,得 S=a2,所以正方形的面积 S 与边长 a 的关系是二次函数关系,故本选项不符合题意;B.根据题意,得 L=4 a,所以正方形的周长 L 与边长 a 的关系是正比例函数关系,故本选项不符合题意;C.根据题意,得 S=20 a,所以长方形的面积 S 与长 a 的关系是正比例函数关系,故本选项不符合题意;D.根据题意,得 b=,所以 a 与 b 的关系是反比例函数关系,故本选项符合题意.故选D.栏目索引1 反比例函数二、填空题3.(2017 安徽芜湖期末,15,)若 y=(m-3)是反比例函数,则 m=.答案-1解析 由反
25、比例函数的定义可得 解得 m=-1.栏目索引1 反比例函数1.(2016 江苏泰州兴化期中,3,)若 y=k 是反比例函数,则 k 的值是()A.-1 B.2 C.2 D.答案D y=k 是反比例函数,k2-3=-1,k2=2,k=,经检验,k=都符合题意.故选D.栏目索引1 反比例函数2.(2016 黑龙江大庆期末,14,)已知 y 与 x 成反比例,且当 x=-3 时,y=4,则当 x=6 时,y 的值为.答案-2解析 设 y=(k0),当 x=-3,y=4 时,有4=,解得 k=-12.反比例函数为 y=.当 x=6 时,y=-2.栏目索引1 反比例函数一、选择题1.(2015 贵州黔西
26、南州中考,3,)下列函数中,是反比例函数的是()A.y=B.y=C.y=x2D.y=2 x+1答案B 形如 y=(k 是常数,k0)的函数叫做反比例函数,故选B.栏目索引1 反比例函数二、解答题2.(2014 云南中考,17,)将油箱注满 k 升油后,轿车可行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量 a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系 s=(k 是常数,k0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米0.1 升的速度行驶,可行驶700 千米.(6 分)(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之间的函数解析式(关系式);(2)当平均耗油量为0.08 升/千米时,该轿车可以行驶
27、多少千米?栏目索引1 反比例函数解析(1)把 a=0.1,s=700 代入 s=得:700=,解得 k=70,该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之间的函数解析式为 s=(a0).(2)把 a=0.08 代入 s=得 s=875.当平均耗油量为0.08 升/千米时,该轿车可以行驶875 千米.栏目索引1 反比例函数1.(2016 广东广州中考,6,)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 千米/时的平均速度用了4 小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度 v 千米/时与时间 t 小时的函数关系是()A.v=320 t B.v=C.v=20 t D.v=答案B 根据公式“路程=速度
28、时间”可算得甲、乙两地之间的距离为320 千米,再根据公式“速度=”可得 v=.栏目索引1 反比例函数2.(2013 贵州安顺中考,7,)若 y=(a+1)是反比例函数,则 a 的取值为()A.1 B.-1 C.1 D.任意实数答案A 解法一:因为 y=(a+1)是反比例函数,所以 解得故 a=1,故选A.解法二:代入检验.当 a=1 时,y=,是反比例函数;当 a=-1 时,y=0,不是反比例函数,故排除B,C,D,故选A.栏目索引1 反比例函数3.(2015 山东青岛中考,11,)把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积 S(cm
29、2)与高 h(cm)之间的函数关系式为.答案 S=(h0)解析 由题意得 Sh=6,即 S=(h0).栏目索引1 反比例函数1.将 x=代入函数 y=-中,所得函数值记为 y1,再将 x=y1+1 代入函数 y=-中,所得函数值记为 y2,再将 x=y2+1 代入函数 y=-中,所得函数值记为 y3,继续下去,则 y1=;y2=;y3=;y2017=.答案-;2;-;-栏目索引1 反比例函数解析 y1=-,y2=-=2,y3=-=-,y4=-=-,每3 次计算为一个循环,又 2017=672 3+1,y2017与 y1的值相同,y2017=-.栏目索引1 反比例函数2.某地上年度电价为0.8
30、元,年用电量为1 亿度,本年度计划将电价调至0.55元到0.75 元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿度)与(x-0.4)成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)若每度电的成本价为0.3 元,电价调至0.6 元,请你预算一下本年度电力部门的纯收入为多少.栏目索引1 反比例函数解析(1)根据题意,设 y=(k0).将 x=0.65,y=0.8 代入得0.8=,k=0.2.y=.(2)当 x=0.6 时,y=1.(0.6-0.3)(1+1)=0.6(亿元),故预算本年度电力部门的纯收入为0.6 亿元.栏目索引1 反比例函
31、数1.下列数表中分别给出了变量 y 与变量 x 之间的对应关系,其中是反比例函数关系的是()A.x 1 2 3 4y 6 7 8 9B.C.x 1 2 3 4y 4 3 2 1x 1 2 3 4y 9 8 7 6D.x 1 2 3 4y 1 0.5 0.25栏目索引1 反比例函数答案D 通过计算可知,选项D 中,xy=1,是定值,则 y 是 x 的反比例函数,故D 正确.栏目索引1 反比例函数2.如图,已知 ABC 是边长为2 的等边三角形,点 E,F 分别在 CB 和 BC 的延长线上,且 EAF=120.设 BE=x,CF=y,试探求 y 与 x 之间的函数表达式,并求自变量 x 的取值范围.栏目索引1 反比例函数解析 EAF=120,E+F=60.又 ABC 为等边三角形,E+EAB=ABC=60,EAB=F.同理可证,E=CAF.AEB F AC,=.BE CF=CA BA.xy=(2)2=12.y=(x0).