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1、高数空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C.C又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线圆柱螺线圆柱螺线P同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向轴的方向等速地上升。等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。其轨迹就是圆柱螺线。圆柱面圆柱面yz0 xa x=y=z=acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺线从点螺线从点P Q当当
2、t 从从 0 2，叫螺距叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进（移动及转动都是等速进行，所以行，所以z与与t t成正比。成正比。)点点P在圆柱面上等速地绕在圆柱面上等速地绕z轴旋转；轴旋转；例例1.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去
3、x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 1.解解yxzo得交线得交线L：由由z=01yxzo解解L.得交线得交线L：.投影柱面投影柱面由由例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.L:xz y0()消去消去zy2=4x y2=4x 例例 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 L:xz y0()消去消去z(消去消去x).y2+(z 2)2=4
4、y2+(z 2)2=4y2=4x y2=4x 例例 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 L：L:xz y0L转动坐标系，有下页图()转动坐标系，有下页图.消去消去z(消去消去x).y2+(z 2)2=4y2=4x y2+(z 2)2=4y2=4x 例例 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线L：Lxz y0y2+(z 2)2=4y2=4x (消去消去z)y 2+(z 2)2=4 (消去消去x)y2=4x 例例 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交
5、线空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线666x+y+z=63x+y=62作图练习作图练习x0z y 平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和x+y+z=6所围成的立体图所围成的立体图666x+y+z=63x+y=62.x0z y 平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和x+y+z=6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和x+y+z=6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习3x+y=63x+2y=12x+
6、y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和x+y+z=6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习42x+y+z=6.x0z y666 平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和x+y+z=6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习42.x0z y666 平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和x+y+z=6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习aa xz y0作图练习作图练习z=0y=0 x=0aaxz y0 作图练习作图练习.aaxz y0学画草图学画草图学画草图学画草图作图练习作图练习.a111yx0作图练习作图练习z