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1、关于空间曲线及其方程第1页，讲稿共80张，创作于星期二 x2+y2=1 x+y+z=2.yxz0例例5:柱面 x 2+y 2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是第2页，讲稿共80张，创作于星期二2.空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.第3页，讲稿共80张，创作于星期二例例6:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于
2、z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM第4页，讲稿共80张，创作于星期二(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变
3、量作参数.xyzAOMtM第5页，讲稿共80张，创作于星期二yxzAOMtM例如例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acos y=asin z=b 当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.第6页，讲稿共80张，创作于星期二3.空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组(4)消去z后得方程 H(x,y)=0 (5)方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,曲线 C 一定在柱面上.xyzooC空间曲线 C 在
4、 x O y 面上的曲线必定包含于:投影H(x,y)=0z=0第7页，讲稿共80张，创作于星期二注注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.第8页，讲稿共80张，创作于星期二例例7:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去 z,得两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为椭圆柱面第9页，讲稿共80张，创作于星期二设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解解:半球面与锥面的交线为由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1于是交线C
5、 在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 1例例8:圆柱面)(第10页，讲稿共80张，创作于星期二研究方法是采用平面截痕法.6 6 二次二次曲面的标准方程曲面的标准方程1.定义定义由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j 为常数且a,b,不全为零.c,d,e,f第11页，讲稿共80张，创作于星期二zoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点
6、.2.几种常见二次曲面几种常见二次曲面.(1)椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆第12页，讲稿共80张，创作于星期二3 类似地,依次用平面x=0,平面 y=0截割,得椭圆:特别特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.第13页，讲稿共80张，创作于星期二(2)椭圆抛物面:1 平面 z=k,(k 0)截割,截线是平面 z=k上的椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2 用平面 y=k去截割,截线是抛物线第14页，讲稿共80张，创作于星期二3 类似地，用平面 x=k 去截割,截线是抛物线.第15页，讲稿共80张，创作于星
7、期二第16页，讲稿共80张，创作于星期二一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)(1)副对角线主对角线1.定义定义1a12a21a22()()1 n 1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义第17页，讲稿共80张，创作于星期二当 a11 a22a12 a21 0时，得唯一解对于a11 x1+a12 x2=b1a21 x1+a22 x2=b2(1)2、二元一次 方程组的求解公式第18页，讲稿共80张，创作于星期二记方程组(1)的解可以表示为：克莱姆(Gramer)法则(2)(2)a11 x1+a12 x2=b1
8、a21 x1+a22 x2=b2第19页，讲稿共80张，创作于星期二引进记号：(+)(+)(+)()()()称为对应于数表(3)的三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式1.定义定义2设有数表(3)主对角线副对角线第20页，讲稿共80张，创作于星期二例例 如：如：第21页，讲稿共80张，创作于星期二易证：易证：对于线性方程组(4)当第22页，讲稿共80张，创作于星期二方程组有唯一解，记则方程组(4)的解为：克莱姆法则第23页，讲稿共80张，创作于星期二三、排列与逆序数三、排列与逆序数 由自然数1,2,n 组成的一个有序数组i1,i2,in称为一个n级排列。例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3
9、!6个，它们是n级排列的总数为n!个。定义定义33 2 1;1 2 3;1 3 2;2 1 3;2 3 1;3 1 2;第24页，讲稿共80张，创作于星期二 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面(is it)时，称这一对数 is it 构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1,i2,in)，简记为。1 3 2(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,例如：例如：2 1 33 1 2第25页，讲稿共80张，创作于星期二(3)逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列(4)将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，
10、则称对该排列作了一次对换。6 5 3 1 2 46 2 3 1 5 4(=11)(=8)1 2 3 41 4 3 2例如：例如：(=0)(=3)第26页，讲稿共80张，创作于星期二定理定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性每一个对换改变排列的奇偶性结论：在结论：在 n(2)级排列中，奇偶排列各有个。级排列中，奇偶排列各有个。第27页，讲稿共80张，创作于星期二四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义分析：分析：=0=2=2=3=1=1第28页，讲稿共80张，创作于星期二类似地：类似地：第29页，讲稿共80张，创作于星期二n阶行列式定义定义4第30页，讲稿共80张，创作于星期二例例1 计算下列n阶行
11、列式000第31页，讲稿共80张，创作于星期二0第32页，讲稿共80张，创作于星期二0第33页，讲稿共80张，创作于星期二行排列列排列2 1 3(=1)1 3 2(=1)(=0)1 2 3(=2)3 1 2考察：第34页，讲稿共80张，创作于星期二定理定理2 n阶行列式的定义也可写成推论：第35页，讲稿共80张，创作于星期二例例2：选择 i 和 k，使成为5阶行列式中一个带负号的项解:其列标所构成的排列为：i 5 2 k 3若取 i=1，k 4，故 i=4，k=1 时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即则 (1 5 2 4 3)=4，是偶排列，该项则带正号，对换1，4的位置，则 4
12、5 2 1 3是奇排列。第36页，讲稿共80张，创作于星期二一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：D=DT行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。2 2 行列式的性质行列式的性质则第37页，讲稿共80张，创作于星期二证：证：显然有 bij=aji (i,j=1,2,;n)则设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij第38页，讲稿共80张，创作于星期二性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号则 D=M第39页，讲稿共80张，创作于星期二证：证：在 M 中第 p 行元素第 q 行元素=D第40页，讲稿共80张，创作于星
13、期二推论推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。证明证明:交换行列式这两行，有D=D，故D=0第41页，讲稿共80张，创作于星期二性质性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：第42页，讲稿共80张，创作于星期二证明：证明：推论推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。第43页，讲稿共80张，创作于星期二性质性质4 若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。即:第44页，讲稿共80张，创作于星期二证明：证明：+第45页，讲稿共8
14、0张，创作于星期二性质性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。即：第46页，讲稿共80张，创作于星期二用 ri 表示 D 的第 i 行cj 表示 D 的第 j 列ri rj表示交换 i、j 两行ri k 表示第 i 行乘以 kri+k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行ri k 表示第 i 行提出公因子 k记号：记号：第47页，讲稿共80张，创作于星期二例例1 计算行列式解：解：第48页，讲稿共80张，创作于星期二例例2 计算行列式解：Dc1 c2r2 r1第49页，讲稿共80张，创作于星期二r4 5r1r2 r3r3 +4 r
15、2r4 8 r2第50页，讲稿共80张，创作于星期二例例3 3：计算解解：x+xx+xx+x第51页，讲稿共80张，创作于星期二第52页，讲稿共80张，创作于星期二在n阶行列式余下的元素按原来顺序构成的一个n1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记作 Mij，中，划去元素 aij 所在的行和列，(1)i+j 称为 aij 的代数余子式，记作余子式带上符号33行列式按行行列式按行(列列)的展开的展开 与克莱姆法则与克莱姆法则1.定义定义1一一.拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理第53页，讲稿共80张，创作于星期二例如：例如：在四阶行列式中，a23 的余子式 M23和代数余子式 A23，分别为：第
16、54页，讲稿共80张，创作于星期二考察三阶行列式其中：A11,A12，A13 分别为a11,a12,a13 的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。第55页，讲稿共80张，创作于星期二考察三阶行列式其中：A11,A12，A13 分别为a11,a12,a13 的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。第56页，讲稿共80张，创作于星期二再考察二阶行列式二阶行列式也可由其子式的组合表示.第57页，讲稿共80张，创作于星期二例例3.3.计算三阶行列式解解：D=第58页，讲稿共80张，创作于星期二还可看出+0=8412=72=D,+36=24+60=72=D,第59页，讲稿共
17、80张，创作于星期二+84=1224=72=D.以及第60页，讲稿共80张，创作于星期二定理定理1 (Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。或即：第61页，讲稿共80张，创作于星期二证明步骤：证明步骤：证第62页，讲稿共80张，创作于星期二 证第63页，讲稿共80张，创作于星期二第64页，讲稿共80张，创作于星期二解：r2 r1r4+5 r1按 c2 展开r1+4 r2r3 8 r2例例4 用Laplace展开定理求例22第65页，讲稿共80张，创作于星期二按 c1 展开第66页，讲稿共80张，创作于星期二例例5 证明四阶范德蒙行列式第67页，
18、讲稿共80张，创作于星期二证：证：D4r4x1r3r3x1r2r2x1r1按c1展开第68页，讲稿共80张，创作于星期二r3x2r2r2x2r1按c1展开第69页，讲稿共80张，创作于星期二推论：推论：n阶范德蒙(Vandermonde)行列式第70页，讲稿共80张，创作于星期二定理定理2 行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。或即：第71页，讲稿共80张，创作于星期二综合定理1和定理2，得：或第72页，讲稿共80张，创作于星期二定理定理3 (克莱姆法则克莱姆法则)(1)的系数行列式设线性方程组二二.克莱姆法则克莱姆法则第73页，讲稿共80张，创作于星
19、期二其中Di(i=1,2,n)是用常数项b1,b2;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：(2)则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：(i=1,2,n)第74页，讲稿共80张，创作于星期二例例3 解线性方程组解：方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。第75页，讲稿共80张，创作于星期二又：第76页，讲稿共80张，创作于星期二所以：所以：D=6,D118,D2=0,D3=6,D4=6第77页，讲稿共80张，创作于星期二注：注：在方程组(4.1)中，若所有的常数项b1=b2=bn=0，则方程组称为n元齐次线性方程组。(3)显然有零解 x1=x2=xn=0第78页，讲稿共80张，创作于星期二结论结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D 0，则方程组只有零解。平凡解结论结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D=0。非平凡解第79页，讲稿共80张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第80页，讲稿共80张，创作于星期二