高三高考押题卷一数学文试题.docx

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1、2021 年全国高考数学押题试卷（文科）（一）（全国卷）一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.若复数 z 满足 (2 3 ) = 1 ，复数 z 的虚部是()A.513B.513C.113D.1132.集合 = | = ln( 1)，集合 = | | 2，则 () = ()A. | 2 1C. |2 B. | 2 2D. |1 0)相离，过直线 l 上的动点 P做圆 O 的一条切线，切点为 C，若面积的最小值是2，则 = ()A. 1B. 22C. 1 或22D. 210. 如图在正方体 中，点 M 为 AB 的中点，点 N 为 BC 的中点，点 P在底面 ABCD 内，且

2、/平面 ， 与底面 ABCD 所成的角为 ，则的最大值为()A.13B. 33C. 32D. 22311. 已知椭圆 1和双曲线 2有公共焦点 1( , 0)， 2 ( , 0)， 1和 2在第一象限的交点为P， 12 = 3 且双曲线的虚轴长为实轴长的2倍，则椭圆的离心率为()A.12B. 33C. 22D. 212. 已知数列满足 +1 + 2 + 1 = 0( )，且中任何一项都不为1，设数列 1 的前 n 项和为 ，若 2021 = 3 20222022+1+2，则 1的值为()A.23B. 1C.32D. 23二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 = (

3、1,3)， = (2, 1)，| | = 3| |， = 5，cos =_ + 1 014. 已知实数 x，y 满足约束条件2 3 0，则 =+ 0第 2 页，共 20 页+ +3+1的最大值是_15. 已知 ， 为锐角，且cos( + ) + 2( ) = sin ，则tan( )的最大值是_16. 已知函数 ( )的定义域为(0, +)， ( )为单调函数且对任意的 (0, +)都有( ( ) ) = 1，若方程 ( ) =+ 1有两解，则实数 t 的取值范围是_三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 = 2 (1)求

4、证：三内角 A，B，C 成等差数列；(2)若的面积为33，22= 3，求的周长18. 已知如图，四边形 ABCD 为平行四边形， ， 平面 ABCD， /，= 2， = 3， = 1， = 13，且 M 是 AD 的中点(1)求证： /平面 BDE；(2)求三棱锥 的体积 V第 3 页，共 20 页19. 已知椭圆 C：22+22= 1( 0)的焦点 F 在抛物线 2 = 8 的准线上，且椭圆 C经过点 (6, 1)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 1， 2，过 1， 2分别作长轴的垂线 1， 2，椭圆 C 的一条切线 l： =+ 与直线 1， 2分别交于 M，N

5、 两点求证：以 MN 为直径的圆经过定点 F20. “不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16内的人数为 92(1)估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；(2)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20，(20,24内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5 人，再从这5 人中

6、任意选取 3 人，求3 人均获二等奖的概率第 4 页，共 20 页21. 已知函数 ( ) = 1 +( ,e 为自然对数的底数)(1)若曲线 = ( )在点(1, (1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 ( )的极值22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1的参数方程为= 2 = 6( 为参数)，曲线 2的普通方程为： 2 + 2 8 = 0，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 1， 2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线 = 3与曲线 1， 2分别交于 A，B 两点(异于极点 )，定点(3, 0)，求的面积23. 已知函数 ( )

7、= |2 1| | + 1|(1)解不等式 ( ) 2；第 5 页，共 20 页(2)若关于的不等式 () + 3| + 1| 1， = | 2 2， = | 1， () = | 2 1故选：A可求出集合 A，B，然后进行交集和补集的运算即可本题考查了集合的描述法的定义，对数函数的定义域，绝对值不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由图可知甲组数据由低到高依次是：79，82，85，94，97，所以甲组数据的中位数为 85 即乙组数据的平均数为 85，所以85 78808587945，解得 = 1，故选：A由茎叶图确定各数据，然后根据中位数和平

8、均数的定义可求解本题考查茎叶图，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度4.【答案】B第 7 页，共 20 页【解析】解：函数 ( ) = 2的图象与函数 ( ) = 1 + 5的图象交点的横坐标，即求函数( ) = ( ) ( ) = 2 1 5的零点，由于函数( )是连续增函数，且(1) = 2 6 0，(2) = 2 故(1)(2) 0，题目转化为求函数( ) = ( ) ( ) = 2函数( )的零点所在区间 1 5的零点，根据(1)(2) 0)的圆心 (0,0)，当点 P 与圆心的距离最小时，切线长 PC 最小，此时的面积最小，|= |

9、15|32 +42= 3，则|= 9 2，此时 = 21 | = 21 9 2 = 2，解得 = 1或22故选：C求出圆心 O 到直线 l 的距离，利用勾股定理求得 PC 的最小值，代入三角形面积公式即可求得 r 值本题考查直线与圆的位置关系，明确 P 到圆心距离最小时的面积最小是关键，是基础题10.【答案】D【解析】解：设 AD 的中点为 S，CD 的中点为 T，因为 / ， /，且 = ，=， ， 平面 ， ， 平面 ，所以平面 /平面 ，故点 P 在 ST 上时， /平面 ，不妨设正方体的棱长为 1，当点 P 为 ST 的中点时，DP 取得最小值2，4第 10 页，共 20 页再由余弦定

10、理得 1 + 3 2 = 4 2，求得 2 += 4，由已知求得 2 ，即可得到椭圆的离此时 与底面 ABCD 所成的角 = 最大，此时=198=223 故选：D设 AD 的中点为 S，CD 的中点为 T，利用面面平行的判定定理的推论，可得平面 /平面 ，从而得到点 P 在 ST 上时， /平面 ，设正方体的棱长为1，确定点P 为 ST 的中点时，DP 取得最小值 与底面 ABCD 所成的角最大，在三角形中由边角关系求解即可本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中

11、档题11. 【答案】B【解析】解：设椭圆的半长轴为 1 ，双曲线实半轴为 2 ，双曲线的虚半轴长为 2 ，椭圆的离心率为 1 ，双曲线的离心率为 2 ，由定义知：|1| + |2| = 2 1|1| |2| = 2 2，可得|1| = 1 + 2，|2| = 1 2，设| 1 2| = 2 ， 12 = 3，由余弦定理得：4 2 = ( 1 + 2)2 + ( 1 2)2 2( 1 + 2)( 1 2) cos 3，化简得： 12 + 3 22 = 4 2， 122+ 3 22= 4，即121+322= 4，2= 2 2， 2222= 222 ，故 2= 3，121+ 33 = 4，即 1 =

12、 33故选：B设椭圆的半长轴为 1 ，双曲线实半轴为 2 ，双曲线的虚半轴长为 2 ，椭圆的离心率为 1 ，双曲线的离心率为 2 ，由椭圆与双曲线的定义列式可得|1 | = 1 + 2 ，|2 | = 1 2，2211322心率本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查余弦定理等应用，考查运算求解能力，是中档题第 11 页，共 20 页12.【答案】D【解析】解：由 121 = 0，得1 1 =(1)，所以111=1(1)= 1 11，即 1 =11111，所以 =11121= (111112)(112113)(11111) =11 1111，则 2021= 111120221=3 2022 212

13、022；故111=3 2022 22022 1= 3 2022 32022 1= 3，解得 1 = 23故选：D由121 = 0可得1 1 =(1)，从而 1 =11111，所以=11121 = (11 112 1)( 12 1 131)( 11111) = 11 1111，可得 2021=11 112022 1= 3 2022 22022 1；再结合 2021= 3 2022 22022 1即可求出 1 本题主要考查数列的递推公式，涉及裂项相消求和法，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于中档题13.【答案】13【解析】解：因为 = (1,3)， = (2, 1)，所以 = = (1,2)

14、，所以| | = 5，| | = 3| | = 35，所以cos = | |=5= 15353根据平面向量的线性和数量积的坐标运算法则，即可得解本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的线性和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题14.【答案】6第 12 页，共 20 页【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立+ = 0+ 1 = 0， ( 21 , 21)，由 = + +3+1= +1+2 + 1，其几何意义为可行域内的动点与定点 (1, 2)连线的斜率加 1，而=1+221 +12= 5，则 =+ +3+1的最大值是 6故答案为：6由约束条件作出可行域，由 =

15、 + +3+1= +1+2 + 1，其几何意义为可行域内的动点与定点(1, 2)连线的斜率加 1，则答案可求本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题15.【答案】33【解析】解： cos( + ) + 2( ) = sin ， 3+= sin ，两边同时除以可得，3+= sin， 3+2=，化简可得，= 3， ， 为锐角，即 0， 0， tan( ) =1+tan tan=21+tan tan=21+32=1tan2+321tan23= 33 ，1当且仅当tan= 3，即= 3时，等号成立，3故tan( )的最大值是33故答案为：33根据已知条件，运用三角函数的恒等变换，可推得= 3

16、，再结合正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，即可求解第 13 页，共 20 页本题主要考查了正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题16.【答案】(0, 1)【解析】解：令 ( 0) = 1，则 ( ) = 0，所以 ( ) =+ 0，因为 ( 0) = 1，所以 0 + 0 = 1，解得 0 = 1，则 ( ) =+ 1，故方程 ( ) =+ 1化简可得 =，则 =，令 ( ) =，则 ( ) = 1 2 = 0时， = ，故当 (0, )时， ( ) 0， ( )单调递增，当 ( , +)时， ( ) 0)，利用导数得到该函数的单调性及最值，作出图像

17、，数形结合即可本题考查函数的图象与性质的综合运用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是较难的题目17.【答案】解：(1)证明：因为 = 2 ，所以(2 )=，由正弦定理可得(2)=，所以2=+= sin( + ) =，因为 (0, )， 0，第 14 页，共 20 页所以= 21，因为 (0, )，所以 = 3，又 += ，则 += 23，所以2=+ ，也即 A，B，C 成等差数列，得证(2)因为2= 3，由正弦定理可得2 = 3 ，由 =12=123=33，2可得 = 6，由可得 = 3， = 2，因为 2 = 2 + 2 2= 7，所以 = 7，故的周长为

18、5 + 7【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合 0，可得= 21，结合范围 (0, )，可得 B 的值，进而利用三角形内角和定理即可证明(2)由已知利用正弦定理可得2 = 3 ，利用三角形的面积公式可得 = 6，联立解得 a，c 的值，进而根据余弦定理即可求解b 的值，即可得解三角形的周长本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.【答案】(1)证明：取 BD 的中点 N，连接MN，NE，在中，是 AD 的中点，/，且又= 12/，/， =，=12，/且 =，则四

19、边形 MNEF 为平行四边形，/，又平面 BDE， 平面 BDE，/平面 BDE；(2)解：平面 ABCD， 平面 ABCD，第 15 页，共 20 页又， /，=，平面 ABEF，由于 /平面 ABEF，到平面 ABEF 的距离为 = 2 2 = 3而 = 21 = 21 2 3 = 3，= 31 3 3 = 3，即三棱锥 的体积是3【解析】(1)取 BD 的中点 N，连接 MN，NE，证明四边形 MNEF 为平行四边形，可得/，再由直线与平面平行的判定可得 /平面 BDE；(2)由 平面 ABCD，得 ，再证明 ，可得 平面 ABEF，从而得到 C 到平面 ABEF 的距离为 = 2 2 = 3，求出三角形 ABF 的面积，再由棱锥体积公式求解本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19.【答案】解：(1)抛物线 2 = 8 的准线为 = 2，由于椭圆 C 的