小学数学奥数方法讲义40讲(全).pdf-淘文阁

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1、第一讲观察法-姚老师数学乐园广安岳池姚文国在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。*例1 （适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学口|7|回|图 1-1第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在

2、引导儿童观察、思考,初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过2 0以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是:在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。解:现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+口=18会想到，18-10-6=2,在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。从竖右列7+2+口=18（图1-2）会想到，18-7-2=9,在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。从正方形对角线上的9+6+口=18（图1-3）会

3、想到，18-9-6=3,在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。从正方形对角线上的7+6+口=18（图1-3）会想到，18-7-6=5,在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。从横上行3+口+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8,在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。又从横下行5+口+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4,在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。图卜5是填完数字后的幻方。例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）6、16 2 6 _、_ _ _ _、_ _ _ _、_ _ _ _。9、18 27.、_ _ _

4、_。80、73、66、_ _ _、_ _ _ _、_ _ _ _、_ _ _ _。解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10,2 6比16大1 0,即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9,2 7比18大9,即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：7 3比80小7,6 6比73小7,即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。这样可得到本题的答案是：6、16、26、36,46,56.66O9、18、27、36,45s 5

5、4.63.80、73、66、5 9,以、45,38O例3将19这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。(适于三年级程度)解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。所以，在左下角的那个方框中应填9,在它右邻的方框中应填2,在2右面的方框中填3,在3上面的方框中填4,以后依次填5、6、7、8。图1-7是填完数字的图形。0回Q例4从一个长方形上剪去一个

6、角后，它还剩下几个角？(适于三年级程度)解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？(1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角(图 8)。(2)从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角(图-9)。(3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，图 1-8 图 1-9 图 1-1 0剩下五个角(图1-10)O例5甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少

7、？(适于三年级程度)解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是0 0 0,也不能是111和8 8 8,只可能是 666 或 999。如果这个数是6 6 6,当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999,999-666=333,333正好是666的半。所以这个数是6 6 6,也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是

8、多少？(适于三年级程度)解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是19 6 6,第二个数比它大1 0,第三个数比它大2 0,第四个数比它大3 0,第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：1966+1976+1986+1996+2006=1966X5+10X(1+2+3+4)=9830+100=9930这五个数还有另一个特点:中间的数是1986,第一个数1966比中间的数1986小2 0,最后一个数2006比中间的数1986大20,1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和19

9、96的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：1966+1976+1986+1996+2006=1986X 5=9930例 7 你能从 400+25=(400X4)+(25X 4)=400X4+100=16 中得到启发，很快算出(1)6004-25(2)9004-25(3)14004-25(4)18004-25(5)7250 25 的得数吗？(适于四年级程度)解：我们仔细观察下算式：4004-25=(400X4)4-(25X4)=400X4+100=16不难看出，原来的被除数和除数都乘以4,目的是将除数变成1后面带有。的整百数。这样做的

10、根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数(零除外)，商不变”。进行这种变化的好处就是当除数变成了 1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。(1)6004-25=(600X4)4-(25X4)=600X44-100=24(3)14004-25=(1400X4)-r(25X4)=1400X44-100=56(5)7250+25=(7250X4)+(25X4)=290004-100(2)9004-25=(900X4)4-(25X4)=900X44-100=36(4)18004-25=(1800X4)+(25X4)=1800X44-100=72=290*例8把1

11、1000的数字如图1 T 1那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法(横着三个数，竖着两个数)框出的六个数的和是8 3 7,这六个数都是多少？(适于五年级程度)解：(1)观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1,第三个数比第一个数大2,第四个数比第一个数大7,第五个数比第一个数大8,第六个数比第一个数大9。假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是8 7,要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：1 2 3 4 5 6 78 9 110 11 12 131 1415 16 18 19 2。|2122 23 24 25 26

12、 27 28.999 1000图 1-H(87-1-2-7-8-9)4-6=604-6=10求出第一个数是1 0,往下的各数也就不难求了。因为用同样的方法框出的六个数之和是837,这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9,所以，这六个数中的第一个数是：(837-1-2-7-8-9)4-6=8104-6=135第二个数是：135+1=136 第三个数是：135+2=137第四个数是：135+7=142 第五个数是：135+8=143第六个数是：135+9=144答略。(2)观察框内的六个数可知：上、下两数之差都是7；方框中间坚行的11和1 8,分别是上横行与下横行三个数的

13、中间数。11=(10+11+12)4-318=(17+18+19)4-3所以上横行与下横行两个中间数的和是：87+3=29由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：837+3=279因为上、下两个数之差是7,所以假定上面的数是x,则下面的数是x+7。x+(x+7)=2792x+7=2792x=279-7=272x=2 7 2 +2 =1 3 6x+7=1 3 6+7 =1 4 3因为上一横行中间的数是1 3 6,所以，第一个数是：1 3 6 7=1 3 5第三个数是：1 3 5+2=1 3 7因为下一横行中间的数是1 4 3,所以，第四个数是：1 4 3-1=1 4

14、 2 第六个数是：1 4 2+2=1 4 4 答略。*例 9有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）解：（1）锯去一个顶点（图 1-1 2）,因为正方体原来有8 个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以,8-1+3=1 0即锯去一个顶点后还有1 0 个顶点。（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点,（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点,则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图 1-1 3）。则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图 1-1 4）。图 1-14（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图 1 T 5）。例 10将高都是1

15、米，底面半径分别是L 5 米、1 米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图 1-1 6）,求这个物体的表面积（适于六年级程度）解：我们知道，底面半径为Y,高为h的圆柱体的表面积是2 n Y2+2 n y h 本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-1 7那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个

16、大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。（2 J i X 1.52+2 n X I.5 X 1）+（2 n X 1 X 1）+（2 J t X 0.5 X 1）=（4.5n+3 n ）+2 n +n =7.5/3 m =1 0.5 n =1 0.5X 3.1 4 =3 2.97（平方米）答略。*例 1 1 如图 1 T 8 所示，某铸件的横截面是扇形，半径是1 5厘米，圆心角是72 ,铸件长2 0 厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）20图 1-18解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图 1 7 8 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏

17、掉，因而在解题时要仔细。求表面积的方法1：7?两个扇形面积+两个长方形面积+圆柱侧面积X盘3.1 4 x 1 52-3 603.1 4 x 2 2 53 603.1 4 x 2 2 572X72 X 2 +2 0 X 1 5 X 2 +1 5X 2 X 3.1 4 X 2 0 X 3 601 8X 7 2 X 2 +3 0 0义 2 +3 0 X 3.1 4 X 2 0 X 90X 2 +60 0+3 0 X 3.1 4 X 45=3.1 4 X 4 5X 2+60 0+1 2 0 X 3.1 4 =3.1 4 X 90+3.1 4 X 1 2 0+60 0 =3.1 4 X (90+1 2

18、0)+60 0=659.4+60 0 =1 2 59.4 (平方厘米)求表面积的方法2：79(两个圆的面积+圆柱侧面积)X老+两个长方形的面积3 6。72(3.1 4 X 1 52 X 2 +2 X 1 5 X 3.1 4 X 2 0)X+2 0 X 1 5 X 2723.1 4 X(2 2 5X 2 +3 0 X 20)X 荻+4 0 X 1 572=3.1 4 X(4 50 +6 0 0)X +60 03 6072=3.1 4 X 1 0 50 X +60 03 60=3.1 4 X 2 1 0+60 0 =659.4+60 0 =1 2 59.4 (平方厘米)铸件的体积

19、：723.1 4 X 1 52 X 2 0 X 3 60=3.1 4 X 2 2 5X 2 0 X|=3.1 4 X 2 2 5X 4 =3.1 4 X 90 0 =2 82 6(立方厘米)答略。第二讲尝试法解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。例1把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于1 4 （适于一年

20、级程度）解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于1 4来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。中间一格应填什么数呢？先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第2 3页，我们一定要从合订本大约半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第2 3页的地方翻，这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。这就是在用“尝试法”解决问题。本题的试数范围是3、4

21、、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得1 4”的要求来逐个尝试。如果中间的格中填3,则竖列下面的一格应填多少呢？因为14-5-3=6,所以竖列下面的一格中应填6（图2-2）。下面就要把剩下的4、7,分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、7三个数加起来,得1 4,合乎题目要求。如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。所以本题的答案是图2-3或图2-4。例2把1、2、311各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）图 2-5解：图2-5中有11个格，

22、正好每一格填写一个数。图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。因为111之中中间的三个数是5、6、7,所以，我们以A、B、C分别为5、6、7开始尝试（图2-7）。以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。因为18-6=12,所以6上、下两格中数字的和应是12。考虑6已是111之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是111之中两头的数。再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于1 8,所以在6上面的格中填11,在6下面的格中填1

23、（图2-8）。图 2-86+11+1=18看图2-8。6上面的数是11,11左邻的数是5,18-11-5=2,所以5左邻的数是2（图2-9）。再看图2-8。6下面的数是1,1右邻的数是7,18-1-7=10,所以7右邻的数是10（图2-9）。现在111之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？因为18-5=13,所以5上、下两格中数字的和应是13,3、4、8、9这四个数中，只有4+9=13,所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。看图2-10。因为6左邻的数是4,18-4-6=8,所以6右邻的数是8。因为1 8-7-8=3

24、,并且1 T 1 的数中，只剩下3 没有填上，所以在7 下面的格中应填上3。图 2-1 0 是填完数字的图形。*例 3 在 9只规格相同的手镯中混有1 只较重的假手镯。在一架没有祛码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？(适于三年级程度)解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1 只在C组里：若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的1 只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。*例 4在下面的1 5 个 8 之间的任何位置上，添上+、-、X、+符号，使得下面的算

25、式成立。(适于三年级程度)8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1 9 86解：先找一个接近1 9 86 的数，如：8888+8+888=1 9 9 9。1 9 9 9 比 1 9 86 大 1 3 o 往下要用剩下的7 个 8 经过怎样的运算得出一个等于1 3 的算式呢？88+8=1 1,1 1 与 1 3接近，只差2。往下就要看用剩下的4个 8 经过怎样的运算等于2。8+8+8+8=2。把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：8888+8+888-88+8-8+8-8+8=1 9 86例 5三个连续自然数的积是1 2 0,求这三个数。(适于四年级程度)解：假设这三个

26、数是2、3、4,贝 I J：2 X3 X4=2 42 4 1 2 0,这三个数不是2、3、4；假设这三个数是3、4、5,则：3 X 4 X 5=6 06 0 112,李平不是剪了 5天，而是剪的天数多于5天。假定李平剪了 6天，贝U：12X 6+20X（8-6）=112（只）所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。答：李平剪了 6天。*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页

27、数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是80X5=400（页）呢？不能。因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天读80页，读了 4天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了 80X4=320（页），最多不会超过：90X4=360（页）根据以上分析，可知这本书的页数在321360页之间。知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321360之间。因为17X17=289,18X 18=324,19X19=361,324在321360之间，所以只有每天读18

28、页才符合题意，18天看完，全书324页。答：每天应该读18页。*例9 一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）解：两位数按从大到小的顺序排列为：99、98、97、96.11、10以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7,并且在它的质因数分解中2的个数不超过5,3的个数不超过3,5的个数不超过2,7的个数不超过1。经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；98的分解式中有两个7,也不符合要求；质数97当然更不会符合要求。而，96=2X2X2X2X2X3所以在这些两位数的约数中，最大的是96。答略。*例1

29、 0从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，个能容4千克，另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。怎样才能使小桶里装1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒满油。（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1 千克油。（5）把小桶中现存的4千

30、克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1 千克油。（6）把大桶中的1 千克油倒入小桶。（7）往大桶倒满油。（8）从大桶里往有1 千克油的小桶里倒油，倒满。（9）大桶里剩下6千克油。第三讲列举法解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。用列举法解应用题时.，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。例 1 一本书共1 0 0 页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。个

31、位是 6 的数字有：6、1 6、2 6、3 6、4 6、5 6、6 6、7 6、8 6、9 6,共 1 0 个。十位是 6 的数字有：6 0、6 1、6 2、6 3、6 4、6 5、6 6、6 7、6 8、6 9,共 1 0 个。1 0+1 0=2 0 （个）答：在排页码时要用2 0 个数字是6的铅字。*例 2从 A市到B市有3条路，从 B市到C市有两条路。从 A市经过B市到C市有儿种走法？（适于三年级程度）解：作图3-1,然后把每一种走法一一列举出来。A B CA B CA B C第一种走法:第三种走法:第五种走法:图3-1第二种走法:第四种走法:第六种走法:A B CA B CA B C答

32、：从 A市经过B市到C市共有6种走法。*例 3 9 0 1 3 0 7=1 0 01 4 0 2 0 5=0把+、-、X、+四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）解：把+、-、X、+四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。先看第一个式子：9 0 1 3 0 7=1 0 0如果在两个圆圈内填上“小 ”号，等式右端就要出现小于1 0 0 的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、号，等式右端得

33、出的数也小于1 0 0,所以在两个圆圈内不能同时填“米 ”号，也不能同时填“+”、号。要是在等式的一个圆圈中填入“X”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出1 0 0 o9 X1 3-7=1 1 7-7=1 1 0,未凑出1 0 0。如果在两个圈中分别填入+”和“X”号，就会凑出1 0 0 了。9+1 3 X7=1 0 0再看第二个式子：1 4 0 2 0 5=0上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“+”号和号了。如果在第一个圆圈内填上“七 ”号，1 4 +2 得到整数，所以：1 4 4-2-5=2即长方形中的数是2。*例 4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1 8 9

34、0 个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有1 0 个：0、1、2 8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9 个。（2）页码是两位数的从第1 0 页到第9 9 页。因为9 9-9=9 0,所以，页码是两位数的页有9 0 页，用数码：2 X9 0=1 8 0 （个）(3)还剩下的数码：1 8 9 0-9-1 8 0=1 7 0 1 (个)(4)因为页码是三位数的页，每页用3 个数码，1 0 0 页到9 9 9 页，9 9 9-9 9=9 0 0,而剩下的1 7 0 1 个数码除以3时,商不足6 0 0,即商小于9 0 0。所以页码最高是3 位数，不必

35、考虑是4 位数了。往下要看1 7 0 1 个数码可以排多少页。(5)这本书的页数:答略。1 7 0 1+3=5 6 7 （页）9+9 0+5 6 7=6 6 6 （页）*例 5用一根8 0 厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？(适于四年级程度)解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是8 0 厘米，所以长与宽的和是4 0 厘米。列表3T：1234长35302520见5101520表 3-1 中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所

36、以第四种围法应舍去。前三种围法的长方形面积分别是：3 5 X5=1 7 5 (平方厘米)3 0 X1 0=3 0 0 (平方厘米)2 5 X 1 5=3 7 5 (平方厘米)答：当长方形的长是2 5 厘米，宽是1 5 厘米时，长方形的面积最大。例 6如图3-2,有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3,从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。(适于五年级程度)H E E解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3,其中2和 3是质数；任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：1 2、1 3、2 1、2 3、3 1、3 2,

37、其中 1 3、2 3 和 3 1 是质数；三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6,即它们都是3的倍数，所以都不是质数。综上所说，所能得到的质数是2、3、1 3、2 3、3 1,共五个。*例 7在一条笔直的公路上，每隔 1 0 千米建有一个粮站。一号粮站存有1 0 吨粮食，2号粮站存有2 0 吨粮食,3号粮站存有3 0 吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有4 0 吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1 千米的运费是0.5 元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少(图3-3)?(适于五年级程度)n-l-E E 1-E E-ELI一10吨 20

38、吨 30吨解：看图3-3,可以断定粮食不能集中在1 号和2号粮站。下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。(1)如果运到3号粮站，所用运费是：0.5 X 1 0 X (1 0+1 0)+0.5 X 2 0 X 1 0+0.5 X 4 0 X (1 0+1 0)=1 0 0+1 0 0+4 0 0 =6 0 0 (元)(2)如果运到4号粮站，所用运费是：0.5 X 1 0 X (1 0+1 0+1 0)+0.5 X 2 0 X (1 0+1 0)+0.5 X 3 0 X 1 0+0.5 X 4 0 X 1 0=1 5 0+2 0 0+1 5 0+2 0 0 =7 0 0 (元

39、)(3)如果运到5号粮站，所用费用是：0.5 X 1 0 X (1 0+1 0+1 0+1 0)+0.5 X 2 0 X (1 0+1 0+1 0)+0.5 X 3 0 X (1 0+1 0)=2 0 0+3 0 0+3 0 0 =80 0 （元）80 0 7 0 0 6 0 0答：集中到第三号粮站所用运费最少。*例 8 小明有1 0 个 1 分硬币，5个 2分硬币，2个 5分硬币。要拿出1 角钱买1 支铅笔，问可以有几种拿法?用算式表达出来。（适于五年级程度）解：（1）只拿出一种硬币的方法：全拿1 分的：全拿2 分的：全拿5分的：只拿出一种硬币,1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1 （

40、角）2+2+2+2+2=15+5=1 （角）有 3 种方法。（角）（2）只拿两种硬币的方法:拿8 枚 1 分的,拿6枚 1 分的,拿4枚 1 分的,拿2枚 1 分的,拿5 枚 1 分的,只拿出两种硬币,1 枚 2分的：2枚 2分的：3枚 2分的：4枚 2分的：1 枚 5分的：有 5种方法。1+1+1+1+1+1+1+1+2=1 （角）1+1+1+1+1+1+2+2=1 （角）1+1+1+1+2+2+2=1 （角）1+1+2+2+2+2=1 （角）1+1+1+1+1+5=1 （角）（3）拿三种硬币的方法：拿3 枚 1 分，1 枚 2分，1 枚 5分的:拿 1 枚 1 分，2枚 2分，1 枚 5

41、分的:拿出三种硬币，有 2种方法。1+1+1+2+5=1 （角）1+2+2+5=1 （角）共有：3+5+2=1 0 （种）答：共有 1 0 种拿法。*例 9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了 4盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2盘，丁赛了 1 盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）解：作表3-2。表 3-2甲乙丙T强甲乙TO O强O O 甲已经赛了 4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上V；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上V；丙赛了两盘，就

42、是丙与甲、乙各赛一盘，打上J；丁与甲赛的那一盘也打上丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。答：小强赛了 2盘。*例 1 0 商店出售饼干，现存 1 0 箱 5 千克重的，4箱 2千克重的，8 箱 1 千克重的，位顾客要买9 千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）解：作表3-3 列举发货方式。箱重 5千克 2千克 1千克方法所取的箱数1201112210430174025503360417答：不开箱有7种发货方式。*例运输队有30辆汽车，按1

43、3 0的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。表3-4汽车编号1、2、3、.29、30第一次开走后剩下的2、4、6、8、10、12、14、16、18、2。、22、24、26、28、30第二次开走后剩下的4、8、12、16、20、24、28第三次开走后剩下的8、16、24第四次开走后剩下的16从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、2 4号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第

44、16号车。答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。*例1 2在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存9 0袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出儿次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）解：根据题意列表3-5。表3-5甲仓存的袋数乙仓存的袋数原来存9050第一次运走后剩7846第二次运走后剩6642第三次运走后剩5438第四次运走后剩4234第五次运走后剩3030从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋;第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）:第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）：第三次运走后，两仓剩下的大米相差

45、54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。40-32=832-24=824-16=8从这里可以看出，每运走，次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运儿次后两个仓库剩下大米的袋数相等。（90-50）+（12-4）=5（次）答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。*例1 3有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组

46、的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）解：三个小组共7 2人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72+3=24（人）.在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24+2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36+2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42+2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。这33人、2 1

47、人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。表3-6第一组第二组第三组第三次并入后242424第二次并入后122436第一次并入后124218每组原有人数332118答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、18人第四讲综合法从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题一直到解出应用题所求解的未知数量。运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后

48、才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。例1甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠，4天完成任务。甲队每天挖40米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4 T）。300+4=75（米）根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）|乙队每天挖多少米|图 4-175-40=35（米）综合算式：3004-4-40=75-40=35（米）答：

49、乙队每天挖35米。例2两个工人排一本39500字的书稿。甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度）解：根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4-2）.3500+3000=6500（字）根据两个人每小时排6500字，两人合排5小时，可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。6500X5=32500（字）根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）。39500-32500=7000（字）综合算式：39500-（3500+3000）X5=39500-6500X5=39500

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