小学数学奥数方法讲义40讲(二).doc

.\ 第十一讲 份数法 ————————————————姚老师数学乐园 广安岳池 姚文国 把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。 （一）以份数法解和倍应用题 已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。 例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度） 解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。 因此，得： 320（3+1）=80（棵）…………………槐树 803=240（棵）…………………杨树 答略。 例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度） 解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。 所以乙场存煤： （490+10）（1+4） =5005 =100（吨） 甲场存煤： 490-100=390（吨） 答略。 例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度） 解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.604）元，（10.80-0.604）元就正好是（4+3）份数。 每瓶香槟酒的价钱是： （10.80-0.604）（4+3） =8.47 =1.2（元） 每瓶啤酒的价钱是： 1.2+0.60=1.80（元） 答略。 （二）以份数法解差倍应用题 已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。 例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度） 解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水田比旱田多出230+352= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）。 今年旱田的亩数是： （230+352） 2 =3002 =150（亩） 原来旱田的亩数是： 150+35=185（亩） 综合算式： （230+352）2+35 =3002+35 =150+35 =185（亩） 答略。 *例2 和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度） 解：根据“追及距离追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.51.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数差，便可求出1份数。 10.51.5（2.4-1） =71.4 =5（千米/小时）…………………………步行的速度 52.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度 答略。 （三）以份数法解变倍应用题 已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。 变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。 *例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度） 解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了1300千克货物，要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加13003千克。 把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加13003千克货物后的重量就是3份数。而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（13003-1400）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。 13003-1400 =3900-1400 =2500（千克） 出发时，小卡车的载货量是： 2500-1300=1200（千克） 出发时，大卡车的载货量是： 12003=3600（千克） 答略。 *例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度） 解：把最后剩下的男生人数看作1份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数。 根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数： 52=10（份） 因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是： 10-1=9（份） 每1份的人数是： 459=5（人） 因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是： 55=25（人） 原有女生的人数是： 25+15=40（人） 综合算式： 45（52-1）5+15 =4595+15 =25+15 =40（人） 答略。 （四）以份数法解按比例分配的应用题 把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。 例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于六年级程度） 解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，用乘法便可求出各组应挖的任务。 2331（24+21+18）=37（米） 3724=888（米）…………………甲组任务 3721=777（米）…………………乙组任务 3718=666（米）…………………丙组任务 答略。 例2生产同一种零件，甲要8分钟，乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件。每人各生产多少个零件？（适于六年级程度） 解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间成反比例。 把甲生产零件的个数看作1份数，那么，乙生产零件的个数就是： 生产零件的总数539个就是： 甲生产的个数： 乙生产的个数： 答略。 （五）以份数法解正比例应用题 成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。 含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例应用题。 这里是指以份数法解正比例应用题。 例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？（适于六年级程度） 解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。 以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。 4（25632） =48 =32（天） 答略。 例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（适于六年级程度） 解：每400粒大豆重80克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份数，则24000粒大豆中包含多少个400粒，24000粒大豆中就有多少个80克。 24000400=60（个） 24000粒大豆的重量是： 8060=4800（克） 综合算式： 80（24000400）=4800（克） 答略。 （六）以份数法解反比例应用题 成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。 含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题。 这里是指以份数法解反比例应用题。 例1有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？（适于六年级程度） 解：题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数成反比例。 如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的： 现在需要装的箱数是： 答略。 天的用煤量看做1份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的： 用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤，现在可以用的天数是： 答略。 （七）以份数法解分数应用题 分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之几？（适于六年级程度） 解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的： 如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份。 所以，女职工人数比男职工人数多： （3-2）2=50％ 答略。 那么黄旗占： 如果把21面黄旗看作1份数，总数量“1”中包含有多少个7/45，旗的总面数就是21的多少倍。 答略。 棉花谷多少包？（适于六年级程度） 解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下 成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。 但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出： 1302=65（包） 如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。 这样，从两仓库棉花的总数2600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的8份就是甲仓库原有的包数。 （2600-655）（8+5）8 =2275138 =1400（包）……………………………甲仓库原有的包数 2600-1400=1200（包）……………乙仓库原有的包数 答略。 （八）以份数法解工程问题 工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量常用整体“1”表示。 例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。相遇后，快车又行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度） 解：由“相遇后快车又行8小时到达乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小时。 把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是： 答略。 *例2加工一批零件，甲单独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少 解：由题意可知，甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是： 如果把乙工作的6天看作1份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就 答略。 （九）以份数法解几何题 *例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。每个小长方形的周长都是16厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度） 解：在每个长方形中，长都是宽的3倍。换句话说，如果宽是1份，则长为3份，每个长方形的周长一共可分为： 32+12=8（份） 因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是： 168=2（厘米） 长方形的长，也就是正方形的边长是： 23=6（厘米） 正方形的周长是： 64=24（厘米） 答略。 *例2长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度） 解：根据题意，假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分，长与宽之间相差： 7-3=4（份） 由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米，长方形才能变成正方形，因此原长方形长、宽之差为： 12+16=28（厘米） 看得出，4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是： 284=7（厘米） 原来长方形的长是： 77=49（厘米） 原来长方形的宽是： 73=21（厘米） 原来长方形的面积是： 4921=1029（平方厘米） 答略。 第十二讲 消元法 在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。 （一）以同类数量相减的方法消元 例 买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度） 解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。 表12-1 从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关椅子的数量： 5-2=3（把） 3把椅子的钱数是： 540-336=204（元） 买1把椅子用钱： 2043=68（元） 把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是： 336-682 =336-136 =200（元） 答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元 解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。 1.以两个数的和代换某数 *例 甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度） 解：题中的数量关系可用下面等式表示： 甲+乙=584 ① 甲+88=乙 ② 把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得： 甲+甲+88=584 甲2+88=584 2甲=584-88 =496 甲=4962 =248（本） 乙=248+88 =336（本） 答略。 2.以两个数的积代换某数 *例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度） 解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与53=15（双）布鞋的钱数一样多。 这样可以认为242元可以买布鞋： 15+7=22（双） 每双布鞋的钱数是： 24222=11（元） 每双皮鞋的钱数是： 115=55（元） 答略。 3.以两个数的商代换某数 *例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度） 解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用124=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔。 现在可以认为，用48元可以买钢笔： 5+3=8（支） 每支钢笔值钱： 488=6（元） 每支圆珠笔值钱： 64=1.5（元） 答略。 4.以两个数的差代换某数 *例 甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？（适于五年级程度） 解：题中三个人的钱数有下面关系： 甲+乙+丙=235 ① 甲-乙=80 ② 甲-丙=90 ③ 由②、③得： 乙=甲-80 ④ 丙=甲-90 ⑤ 用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得： 甲+（甲-80）+（甲-90）=235 甲3-170=235 甲3=235+170 =405 甲=4053 =135（元） 乙=135-80 =55（元） 丙=135-90 =45（元） 答略。 （三）以较小数代换较大数的方法消元 在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。 *例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度） 解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集1千克”，则18名男生比女生少采集118=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽。 这样他们共采集松树籽： 78+18=96（千克） 因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生： 14+18=32（名） 每一名女学生采集松树籽： 9632=3（千克） 每一名男学生采集松树籽： 3-1=2（千克） 答略。 （四）以较大数代换较小数的方法消元 在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。 *例 胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度） 解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱： 85=40（元） 这时可认为一共买来篮球： 9+5=14（个） 买14个篮球共用钱： 432-40=392（元） 篮球的单价是： 39214=28（元） 足球的单价是： 28+8=36（元） 答略。 （五）通过把某一组数乘以一个数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。 *例 2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度） 解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。 表12-2 把第①组中的数量乘以3得表12-3。 表12-3 第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中，羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克。 一匹马吃草： 202=10（千克） 一只羊吃草： （38-102）3 =183 =6（千克） 答略。 （六）通过把两组数乘以两个不同的数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。 *例1 买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度） 解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。 表12-4 要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3，得表12-5。 表12-5 ③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是： 0.723=0.24（元） 一块橡皮的价格是： （1.68-0.246）3 =（1.68-1.44）3 =0.243 =0.08（元） 答略。 *例2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度） 解：摘录题中条件排列成表12-6。 表12-6 把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。 表12-7 ③-④得：16大杯放砂糖960克，所以， 一个大杯里面可以放入砂糖： 96016=60（克） 一个小杯里面可以放入砂糖： （420-605）3 =（420-300）3 =40（克） 答略。 第十三讲 比较法 通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。 在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。 （一）在同一道题内比较 在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。 1.直接比较 例1 五年级甲班要种一些树。如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度） 解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种： 7-5=2（棵） 第二次比第一次多种： 75+15=90（棵） 90棵中含有多少个2棵就是全班的人数： 902=45（人） 这批树苗的棵数是： 545+75=300（棵） 或745-15=300（棵） 答略。 *例2 四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度） 解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多： 28-15=13（箱） 第二批红茶比第一批红茶多： 3640-2925=715（千克） 因此，可得每一箱红茶重量： 71513=55（千克） 每一箱绿茶重量： （2925-5515）35 =（2925-825）35 =210035 =60（千克） 答略。 2.画图比较 有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。 解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。 可看出，这段公路一共分为（7+2）份。 答略。 3.列表比较 有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。 例 赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨，结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度） 解：摘录已知条件排列成表13-1。 表13-1 比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果，少买了1千克梨，才缺了0.4元。 可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。 从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去掉买2千克苹果多用的钱，便可以把买2千克苹果当成买2千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱： 6.8-0.42=6（元） 每千克梨的价钱是： 6（2+3）=1.2（元） 每千克苹果的价钱是： 1.2+0.4=1.6（元） 答略。（二）和容易解的题比较 当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。 1.与常见题比较 例 4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行的路程是多少？（适于四年级程度） 小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。 有3篮苹果，每篮8个，平均分给4人，每人得几个？ 把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来： 3匹马………………………3篮苹果 每匹马都行8千米…………每篮都装8个苹果 4人骑马行的路程相等……4人得到的苹果一样多 解答“苹果”这道题的方法是： 834 通过这样的比较，自然会想出解题的方法。 解：834=6（千米） 答：每人骑马行的路程是6千米。 2.与基本题比较 例 甲、乙两地相距10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小时走3千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度） 在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）2=4（千米）。这是错误的。 把上题与下面的题作比较，就会发现问题。 甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时，他每小时平均走多少千米？ 解此题的方法是：124=3（千米）。这是总路程总的时间=平均速度。 前面的解法不符合“总路程总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。 解：本题的总路程是： 10.52 总时间是： 10.55+10.53 所以他往返的平均速度是： 10.52（10.55+10.53）=3.75（千米/小时） 答略。 3.把逆向题与顺向题比较 例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多 题，不易找出解题方法。 把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。 答略。 （三）创造条件比较 对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。 *例1 学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件，列成表13-2。 表13-2 从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。 因为大米袋数2和5的最小公倍数是10，所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋数3，重量275也要乘以5），把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，重量600也要乘以2），得表13-3。 此时题中条件便可以比较了。 表13-3 看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多买： 15-8=7（袋） 因此，第一次买的粮食比第二次多： 1375-1200=175（千克） 每袋面粉重： 1757=25（千克） 每袋大米重： （275-253）2 =（275-75）2 =100（千克） 答略。 *例2 1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱？（适于五年级程度） 解：摘录题中条件排列成表13-4。 表13-4 从表13-4看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。 因为橡皮的块数2、3、3的最小公倍数是6，所以①3，②2，③2，得表13-5。此时题中条件便可以比较了。 表13-5 ⑥-⑤，得： 2支铅笔价钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元），即， 1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦ ⑥-④，得： 3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧ ⑧-⑦，得： 2支铅笔价钱=0.30（元） 1支铅笔价钱=0.15（元） 把1支铅笔价钱0.15元代入⑦，得出1把卷笔刀的价钱是： 0.75-0.15=0.60（元） 根据①可求出一块橡皮的价钱数： （2.35-0.15-0.63）2 =0.42 =0.2（元） 答略。 *例3 甲、乙两人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度） 解：已知“甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％”后共剩下32个零件，甲、乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的80％与乙所做零件的75％不可直接比较。此时就要创造条件比较了。 已知甲做自己任务的80％，假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙就共剩下零件： 140（1-80％）=28（个） 这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少： 32-28=4（个） 这4个所对应的分率是： 80％-75％=5％ 所以，乙需做的零件是： 45％=80（个） 甲需做的零件是： 140-80=60（个） 答略。 第十四讲 演示法 对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。 例1 一根绳子正好围成一个边长为5分米的正方形。如果用它围成长是8分米的长方形，问其宽应当是多少分米？（适于三年级程度） 解：对这道题一般同学都会用这样的方法解答： 542-8=2（分米） 然而这并不是最简捷的解法，要用更简捷的解法，我们可以做下面的试验： （1）用一根细铁丝围成一个边长是5分米的正方形（图14-1）。 （2）把正方形的细铁丝从C点断开。 这时ABC部分、CDA部分都是正方形边长的2倍。 （3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米长的一段与另一段成90 的角（图14-2）。此时会看到8分米长的这一段是长方形的长，与8分米长的边成直角的那一段是长方形的宽。 到此，很容易得出，求长方形的宽也可以用下面的方法： 52-8=2（分米） 答略。 *例2 有一列火车，长120米，以每小时18千米的速度通过一座长150米的隧道。求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？（适于五年级程度） 解：求火车过隧道的时间，必须知道过隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程。 为弄清这个问题，我们做下面的演示。 用文具盒当隧道，用铅笔当火车。 用图14-3表示火车刚刚要进隧道时的情景，用图14-4表示火车车尾正好离开隧道时的情景。 从图14-4可看出：火车从车头进隧道，到车尾离开隧 道，所行的路程等于隧道长与车身长之和。 到此，便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时间。 分步列式计算： （1）火车每秒行： 1000183600=5（米） （2）火车通过隧道共行的米数： 150+120=270（米） （3）火车通过隧道需时间是： 2705=54（秒） 综合算式： （150+120）（1000183600） =2705 =54（秒） 答略。 *例3 兄弟二人早晨五点钟各推一车菜，同时从家里出发去集市。哥哥每分钟走100米，弟弟每分钟走60米。哥哥到达集市后5分钟卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，这时是5点55分。问集市离他们家有多远？（适于五年级程度） 解：本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”，放在桌面的两端，用两支铅笔代表兄弟二人实际走一走。如（图14-5）。 图14-5实线表示弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程。从演示中可以看出兄弟二人共走的路程是从家到集市路程的2倍。 因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。 [6055+100（55-5）]2 =[3300+5000]2 =4150（米） 答略。 *例4 一个5分米高的圆柱体，它的侧面积是62.8平方分米，求圆柱体的体积。（适于六年级程度） 解：要求圆柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少。从表面看，题中没有告诉圆柱底面圆的半径是多少，这可怎么办呢？做了下面的演示，问题就得到解决了。 用一张长方形的纸卷成一个圆柱形，再把圆柱形展开，展开后看到圆柱形的侧面是个长方形。长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱底面圆的周长。知道了圆柱底面圆的周长，就能算出圆柱体底面圆的半径。 （1）圆柱体底面圆的周长是： 62.85=12.56（分米） （2）圆柱体底面圆的半径是： 12.563.142=2（分米） （3）圆柱体的体积是： 3.14225=62.8（立方分米） 答略。 *例5 从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合？什么时刻成一直线？（适于高年级程度） 解：此题很抽象，可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。 看图14-6，因为钟的指针是顺时针方向转动的，所以在3点钟时，时针在分针前面。要使两针重合，分针就要追上时针。 我们把分针转动一圈，即分针走60小格，时针才走5个小格，因此，在 分针要与时针成一条直线，分针不仅要追上时针15格的距离，还要超过30格的距离，总计要“追”（15+30）格的距离。“追”（15+30）格的路程要用多长时间呢？ 时针成一条直线。 答略。 *例6 一列快车全长151米，每秒钟行15米，一列慢车全长254米，每秒钟行12米。两车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟？（适于五年级程度） 解：要求两车从相遇到离开要用几秒钟，必须知道两车从相遇到离开走多长的路程。 为弄清这个问题，我们做下面的演示： 用一支铅笔作慢车，用另一支铅笔作快车。先让它们相遇（图14-7），再让它们从相对运行到正好离开（图14-8）。 看图14-8会想到：两车共行的路程是两个车身长的和。 到此，可算出： （151+254）（15+12） =40527 =15（秒） 答：两车从相遇到离开需要15秒钟。 第十五讲 列表法 把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。 在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。 这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。 （一）通过列表突出题目的解法特点 有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。 例1 桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球，2只绿