熊伟运筹学(第版)第二版课后习题答案.pdf

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1、目录教材习题答案.错误！未定义书签。习题一.1习题二.2 8习题三.3 8习题四.4 0习题五.错误！未定义书签。习题六.错误！未定义书签。习题七.错误！未定义书签。习题八.错误！未定义书签。部分有图形的答案附在各章P P T 文档的后面，请留意。习题一1.1 讨论下列问题:（1）在 例 1.1 中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有 5台，利用率为0.8,设备B有 7台，利用率为0.8 5,其它条件不变，数学模型怎样变化.（2）在 例 1.2 中，如果设为（j=l,2,7）为工作了 5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化.（3）在 例 1.3 中，能否将约束条件改

2、为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路.（4）在 例 1.4 中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1%,模型如何变化.（5）在 例 1.6 中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1 小时，模型如何变化.1.2 工厂每月生产A、8、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表12 2所示.表 122ABC资源限量材料（kg）1.51.242500设备（台时）31.61.21400利润（元/件）101412根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是1 5 0、2

3、6 0 和 1 2 0,最高月需求是2 5 0、3 1 0 和 1 3 0.试建立该问题的数学模型，使每月利润最大.【解】设司、加、心分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为m axZ=IO%+14x2+1 2.1.5x,+1.2X2+4X3 25003须 +L6X2+L23 1400150%,2502 6 0 x2 310120 x3 01.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A、B 两种型号的窗架.两种窗架所需材料规格及数量如表1一23所示：表1 一2 3窗架所需材料规格及数量型号A型号B每套窗架需要材料长 度（m）数量（根）长 度（m）数量（根）A 1：1.72B|：2.72A2：1

4、.33B ：2.03需 要 量（套）2 0 01 5 0问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少.【解】第一步：求下料方案，见下表。方案一 二三 四 五七 八 九-1-.十二 十三 十四 需要量Bl:2.7m 2111 0000000000300B2:2m01 003221110000450Al:1.7m 001001021 03210400A2:1.3m 011200101 30234600余料0.6 0 0.3 0.7 0 0.3 0.7 0.6 1 0.1 0.900.40.8第二步：建立线性规划数学模型设 芍（产1,2,，14）为第j 种方案使用原材料的根数,则（1）用料最少数学模

5、型为14min Z=x jj=i2%+x2+x3+x4 300 x2+3X5+2X6+2X7+/+X9+x10 450 400 x2+x3+2X4+/+为+3x10+2xn+3X13+4x14 600Xj 2 0,4=1,2,14用单纯形法求解得到两个基本最优解X=（50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;Z=534X =（0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0）;Z=534（2）余料最少数学模型为m i n Z =0.6再 +0.3 x3+0.7 x4 4一 +0.4 x1 3+0.8 xl 42 x1+x2+x3+x4 3 0 0

6、 x2+3X5+2X6+2X7+xQ+x1 0 4 5 0 4 0 0 x2+x3+2X4+七+/+3 X|o +2X1 2+3玉3 +4 x14 6 0 0 x.0,j =l,2,-,14用单纯形法求解得到两个基本最优解X=(0 ,3 0 0 ,0 ,0,5 0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,2 0 0 ,0 ,0 );Z=0,用料 5 5 0 根X(2)=(0 ,4 5 0 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,2 0 0 ,0 ,0 );Z=0,用料 6 5 0 根显然用料最少的方案最优。1.4 A、8两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序

7、1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时.可供利用的前道工序有11小时，后道工序 有17小时.每加工一个单位产品8的同时，会产生两个单位的副产品C,且不需要任何费用，产 品C 一部分可出售赢利，其余的只能加以销毁.出售单位产品A、B.C的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费为1元.预测表明，产品C最多只能售出13个单位.试建立总利润最大的生产计划数学模型.【解】设Xg分别为产品A、B的产量，X 3为副产品C的销售量内 为副产品C的销毁量，有X 3+X 4=&2,Z为总利润，则数学模型为m a x Z=3玉 +7 x2+2x3-x4%+2X2 112 X

8、 +3X2 17 2 x2+尤3 +4 02 3X j 2 0,j =1,2,41.5某投资人现有下列四种投资机会，三年内每年年初都有3万元(不计利息)可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，年结算一次，年收益率是20%,下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50%,下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60%,这种投资最多不超过1.5万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30%,这种投资最多不超过1万元.投资人应采用

9、怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.【解】设殉为第，年投入第j项目的资金数，变量表如下项目一项目二项目三项目四第1年第2年第3年孙切13 1X 12工2 3工3 4数学模型为max Z=0.2再1+0.2x21+0.2x31+0.5x12+0.6x23+0.3x34X”+/300001.2xu+x2l+x23 300001.5X12 1.2X2I+孙+X34-30000 xn 20000 x23 15000 x34 0,/=l,-,3;j =l,-4最优解 X=（30000,0,66000,0,109200,0）；Z=847201.6 IV发展公司是商务房地产开发项目的投资商.公司

10、有机会在三个建设项目中投资：高层办公楼、宾馆及购物中心，各项目不同年份所需资金和净现值见表12 4.三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值.例如，公司按10%投资项目1,现在必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万 和 100万，获得净现值 450万.公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万.当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用.IV 公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得

11、的净现值最大.表1一24年份10%项目所需资金（万元）项 目 1项目2项目30400800900160080050029008002003100700600净现值450700500【解】以 1%为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见 表（2）。表(2)年份每种活动单位资源使用量（每个百分点投资的累计数）项 目 1项目2项目3累计可用资金（万元）04080902500110016014045002190240160650032003102208000净现值457050设另为/项目投资比例，则数学模型:max Z=45X(+70 x2+50 x340%+80 x,+900%3-2500100

12、X+160 x,+1 40X3 45000,j=1,2,3最优解 X=(0,16.5049,13.1067)；Z=1810.68 万元实际投资年份项 目 1 比例：0项目2比例：16.5 0 4 9项目3比例：13.10 6 7累计投资（万元）0013 2 0.3 9 2117 9.6 0 32 4 9 9.9 9 5102 6 4 0.7 8 418 3 4.9 3 84 4 乃.7 2 2203 9 6 1.17 62 0 9 7.0 7 26 0 5 8.2 4 8305 116.5 192 8 8 3.4 7 47 9 9 9.9 9 3净现值0115 5.3 4 36 5 5.3 3

13、 51.7 图解下列线性规划并指出解的形式:max Z=-2xi+x2x,4-x2 1(1 )：、1J 玉 _ 3X2 2 -20min Z=-x1-3x22x.-x,2 22)一 2%j 4-3X2 0,x2 0【解】最优解X=(3/4,7/2)；最优值Z=-4 5/4(4)max Z =玉 +%3玉 +8X2 1 2X j 4-x2 22x 0【解】最优解X=(3/2,1/4)；最优值Z=7/4X-X22%1 3 【解】最优解X=(3,0)；最优值Z=34 6x1 9x2 0max Z=X +2X2(6)Xj-x2 2%)3x2 0M +2X2 6，c x,+x2 0【解】无可行解。3.0

14、0(8)maxZ=2.5玉 +2/2xl+x2 80.5%1.5x+2X2 0【解】最优解X=(2,4)；最优值Z=1 38.00max Z =玉 +4X2-x3(1)2x+x2+3X3 31 0玉 +3占+6尤3 -5X 1 2 0/2之 ，七无限制【解】（1）令 与=E-芯，1 4，工5，4 6为松驰变量，则标准形式为max Z =Xj-4X2-X3+X2x+x2+3X3-3 x；+x4=2 05%|-7 x0+4X3-4X3-x5=3 ,-l Oxj -3X2-6X3+6 七+x6=5%2，%；，石，%，七4 6 N Omi n Z =9%-3x2+5x316xl+7 x?-4X3|5X

15、 1 +8%2 =8*0,x2 0,x3 0【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为max Z =一 9 占 +3x2-5x36 占 +7X2-4X3 4-x4=2 0-6%7%2 +4X3+/=2 0 0max Z =2 x）+3x21%!0,x2 0【解】方法1:max Z =2%+3x2玉一项=1玉 +%=5 0方法2：令X=X1,有须=X；+1，X 5-1 =4max Z =2（x；+1）+3 x2x；4 0则标准型为max Z =2 +2 x：+3 x2X+工 3 =4v -X 4-x2=0%p X2,x3 0（4）max Z =mi n（3 玉 +4 x2,x+x2+x3）

16、X +2X2+x3 3 0 1 5+%+6%3 -5X 1 无约束,%2、%3 2 0【解】令,3 芯+4 工 2，），玉+%+工 3，芯二片一，线性规划模型变为max Z =yy 3（X|-xf）+4 x2y xy-x2+x3X-x：+2X2+x3 1 59（x：-x）+x2+6X3 -5X X 、/N O标准型为max Z=yy-+3 尤;-4X2+x4=0y _ x；+x；-x2-x3 4-x5=0 xx-2X2+x3+x6=304x；-4x：-x2+2X3-x7=15-9x+9 k-x2-6七+4 =51.9设线性规划maxZ=5玉 +2x22%j+3X2+x3=50 4$一2X2+x

17、4=60Xj NO,j=l,4取基4=(跖P3)=2 1、8,=2 ，分别指出坊和以对应的基变量和非基变量，求出基本解，并1 3 L4 0J 2|_4 1J 1 2说明与、当 是不是可行基.【解】Bi：X,X3为基变量，X2,X4为非基变量，基本解为x=(15,0,20,0)T,B,是可行基。B2：x 4是基变量，X2/3为非基变量，基本解x=(25,0,0,-4 0)T,B2不是可行基。1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点.max Z=玉 +3X2-2x+占 W 2(1)2x1+3X2 0【解】图解法4.002.001.2

18、00.800.401.603.602.404.801.200.004.0.00C0)1300bRatioC(i)BasisXIX2X3X40X3-2110220X42301124C(j)-z 130003X2-21102M0X480-3160.75C(j)-z 70-3063X2010.250.257/21XI10-0.3750.1253/4C(j)-Z(j)00-0.375-0.87511.25对应的顶点:基可行解可行域的顶点X(l)=(0,0,2,1 2)-(0,0)炉=(0,2,0,6,)-(0,2)叱)=(=1,0,0)4 23 7（牙5）最优解 X=(；3 ,；7 ),Z=4?56及

19、单纯形法:m inZ=一 3$-5 x2须 +2X2 6(2)X j 4-4X2 10一x,+x2 0,x2 0【解】图解法单纯形法:cd)-3-5000bRatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X301210063X4014010102.5X501100144C(i)Z(j)-3-50000X300.501-0.5012X2-50.25100.2502.510X500.7500-0.2511.52-1.75001.250-12.5XI-3102-102MX2-501-0.50.5024X5000-1.50.5100cg）-z（j）003.5-0.50-16XI-310-1022X2-

20、50110-12X4000-3120C(j)Z(j)00201-16对应的顶点:最优解：X=(2,2,0,0,0)；最优值 Z=-1 6该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。基可行解可行域的顶点X(l)=(0,0,6,1 0,4)-(0,0)X(2)=(0,2.5,1,0,1.5,)-(0,2.5)烈)=(2,2,0,0,0)2)X(4)=(2,2,0,0,0)(2,2)1.11用单纯形法求解下列线性规划max Z=3犬 +4x2+x3(1)2%+3马+1%,+2X2+2X3 0,j=l,2,3【解】单纯形表:C34100R.H.S.Rat i oB as i sc(i)X IX

21、2X 3X 4X 5X 402 3 11011/3X 501220133/2C(J)-ZG)341000X 24 2/3 11/31/301/31/2X 50-1/304/3-2/317/3Mco)-z(j)1/30-1/3-4/30-4/3X I313/21/21/201/2X 5001/23/2-1/215/2C(j)-Z(j)0-1/2-1/2-3/20-3/2最优解：X=(1/2,0,0,0,5/2)；最优值 Z=3/2(2)max Z-2x+x2-3x3+5x4x+5X2+3X3 7X4 303%1 x2+x3+x4 102x-6X2-&+4X4 0,j=4【解】单纯形表:C O)2

22、1-35000R.H.S.Rat i oB as i sc(i)X IX 2X 3X 4X 5X 6X 7X 50153-71003 0MX 603-1 1 10101 01 0X 702-6-1410012 05C(j)-z 21-35000X 509/2-1 1/25/40107/46 5M因为入7=3 0并且n 0(=l,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。X605/21/25/4001-1/451 0X451/2-3/2-1/41001/45MC(j)-Z-1/217/2-7/4000-5/4X503 201 5011 1-11 2 0MX21515/2002-1/21 01 0

23、X45807/2103-1/22 0MC(j)-Z(j)-4 30-2 300-1 73maxZ =3 +2 x2-x1+2X2+3X3 44x-2X3 123玉 +8X2+4X3 0【解】c(j32-0.125000R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X6X40-1231004MX5040-2010123X60384001103.3333C(j)-z 32-0.1250000X40022.510.25073.5XI310-0.500.2503MX60085.50-0.75110.125C(j)-z 021.3750-0.7509X40001.12510.4375-0.

24、256.756XI310-0.500.2503MX22010.687510-0.09380.1250.1250.181818C(j)-z 0000-0.5625-0.259.25X 3进基、X 2出基，得到另一个基本最优解。原问题具有多重解。CO)32-0.125000R.H.S.RatioBasisXIX2X3X4X5X6X400-1.6010.5909-0.45456.54556XI310.73000.18180.09093.0909MX3-0.12501.4510-0.13640.18180.18180.1818C(j)-Z 0000-0.5625-0.259.25i 7 7 3 4 7

25、 7 7 4 7基 本 最 优 解*“)=(3,-,0,0)及 乂 出=一,0,0),;2 =二，最 优 解 的 通 解 可 表 示 为8 4 1 1 1 1 1 1 4X=aX(1)+(一)X 即11 11 8 11 11 11 11(4)min Z=2Xj-x2-4x3+x4玉 +2X2+x3-3X4 8一 元 2 +2X44102Xj+7X2-5X3-10X4 20Xj NO,j=l,4【解】单纯形表:C(i-2-1-41000R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X6X7X50121-310088X600-1120101010X7027-5-1000120MC(j

26、)-z-2-1-41000X3-4121-31008MX60-1-305-11020.4X707170-2550160M270-11400X3-42/51/5102/53/5046/523X41-1/5-3/501-1/51/502/5MX7022000517035C-z-1/52/5009/511/50XI-2I1/25/2013/2023X410-1/21/2101/205X7001-50-22124C(j)-z 01/21/2025/20最优解：X=(23,0,0,5,0,0,24)；最优值 Z=-4 1(5)max Z=3玉 +2x2+x35%+4X2+6X3 25 8%+6X2+3X

27、3 0,j=1,2,3【解】单纯形表:c(j)32100R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X4054610255X5086301243321000X4000.254.1251-0.62510XI310.750.37500.1253C(j)-z 0-0.25-0.1250-0.3759最优解：x=(3,0,0,9,0)；最优值Z=9max Z =5%+6x2+8 x3(6)西 +3X2+2X3 5 0+4X2+3X3 0,x2 0,x3 0【解】单纯形表:C(j,56800R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X4013 2 105025X5014

28、3018026.6667C(j)-Z(j)568000X38 1/2 3/211/202550X50-1/2-1/20-3/215MC(j)-z 1-60-40-200XI51321050X50011-1130C(j)-Z(j)0-9-2-50-250最优解：X=(50,0,0,0,0,30)；最优值 Z=2501.1 2 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划:max Z =1 0 玉一5X2+x3(1)5 X +3 +工3 =1 0-5%!+x2-1 0 x3 0,j=W【解】大 M 法。数学模型为m a x Z =l Oxj -5 x2+x3-M x55 xj +3X2+X3 4-X5=

29、1 0 -5x+x2-1 0 x3 4-x4=1 5X j 2 0,/=1,2,5最优解 X=(2,0,0)；Z=20两阶段法。CO)10-510-MR.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X5-M53101102X40-51-101015MC(i)-Z(j)10-51000*BigM531000XI1013/51/501/52X4004-91125C(j)-Z 0-11-10-220*BigM0000-10第一阶段：数学模型为min w=x55x1+3尤2+工3+%5=100,j=第二阶段c(j)00001R.H.S.Rat i oB as i sc(i)X IX 2X

30、3X 4X 5X 51 5 131011 02X 40-51-1 0101 5MC(j)-Z -5-3-100X I013/51/501/52X 4004-9112 5C(j)-z(j)00001最 彳 尤 解 X=(2,0,0)；Z=2 0C O)1 0-510R.H.S.Rat i oB as i sc(i)X IX 2X 3X 4X I1 013/51/5022X 4004-912 5MC(j)-Z 0-1 1-10min Z=5x-6x2-7x3X j+5X2 3X3 155x1-6X2+10七 200,y=1,2,3【解】大 M 法。数学模型为min Z=5玉-6x2-7x3+MA1

31、+MA3X 1 +5x2 -S+&=155%一 6X2+10X3+S2=20+x2+x3+A3=5所有变量非负C 5-6-700MMR.H.S.Rat i oB as i sC(i)X IX 2X 3SIS2A lA 3A lM1 5-3-10101 53S205-61 001002 0MA 3M111000155c(j)-z o)5-6-70000*B i g M-2-621000X 2-61/51-3/5-1/501/503MS2031/5032/5-6/516/503895/16A3M4/508/51/50-1/5125/4C(j)-z 31/50-53/5-6/506/50*BigM-

32、4/50-8/5-1/506/50X2-61/210-1/801/83/815/4S20300-212-430X3-71/2011/80-1/85/85/4C0)-z(j)23/2001/80-1/853/8*BigM0000011两阶段法。第 阶 段：数学模型为min 卬=4 +A3+5x2-313-S+4 =155X 1 6%2+10%3+邑=20*尤1 +%+工3 +A3=5.所有变量非负c(j0000011R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3SIS2AlA3Al115-3-1010153S205-610010020MA31111000155-2-621000X201/5

33、1-3/5-1/501/503MS2031/5032/5-6/516/503895/16A314/508/51/50-1/5125/4C(j)-z-0.80-1.6-0.201.20X201/210-1/801/83/815/4S20300-212-430X301/2011/80-1/85/85/4C(j)-z 0000011第二阶段:C(j5-6-700R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3SIS2X2-61/210-1/8015/43S20300-2130MX3-71/2011/805/45C(j)-z 23/2001/80最优解：X=(0,3.75,1.25)；z=-31.

34、25 即 X=(0,-)r,Z=4 4 4maxZ=10 x,+15x25%j+3X2 9 一5玉 +6X2一 5x2 x3 0【解】大 M 法。数学模型为max Z=10 x,+15x2-Mx?5X +3X2+&=9-5X1+6X2+x5=150,J=l,2,-,7C(j)1015000-MR.H.S.RatioBasis C(i)XIX2X4X5X6X7X4 053100091.8X5 0-56010015MX7-M2100-1152.5C(j)-Z 101500000*BigM2100-100XI 1013/51/50009/5X5 009110024X7-M0-1/5-2/50-117

35、/5C(j)-z 09-200018*BigM0-1/5-2/50-100因为X70,原问题无可行解。两阶段法第一阶段：数学模型为min Z=x75 玉 +3%+z =9-5%j+6X2+X5=15V2xl+x2-x6 4-x7=5Xj 20,j=l,2,7CO)000001R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X4X5X6X7X4053100091.8X50-56010015MX712100-1152.5cu)-zo)-2-10010514XI013/51/50009/5X5009110024X710-1/5-2/50-117/501/52/5010(4)玉 一 九2+2X3+%2

36、 92X2 4-x3-x4 5 22+%3七+%1玉+尤3 N 3x.0,j=l,4max Z=2玉 +3x2-x3+x4-Mxg-Mxl()-Mx【解】大M法。数学模型为X 9-M-1/3-1/31.67-12/31-2/38.3 35X 6-2/32.3 3-2/311/3-1/34.6 7MX 3-12/3-1/31-1/3-1/31/31/3MX I I-M1/31/31/31/3 -1-1/3 12.6 78C(j)-Z(j)2.6 72.6 72/3-1/31/3-1/3*B i g M2-11 -1-2X 41-1/5-1/51-3/50.43/5-0.45MX 6-0.82.2

37、-0.413/50.4-3/583.6 3 6 4X 3-13/5-0.41-1/5-1/51/51/52MX l l-M0.40.41/51/5 -1-1/5-1/5 112.5co)-z(j)2.812.80.4-3/5-0.43/53*BigM0.40.41/51/5 -1-1.2-1.2X 411-0.50.5 -0.50.5-0.5 0.55.5MX 6-3-1.51-0.5 5.51.50.5 -5.52.50.4 5 4 5X 3-111-113MX 23110.50.5 -2.5-0.5-0.5 2.52.5MC O)-Z(j)-1-2 712 -71 0*BigM-1-1 -

38、1X 4I-0.2 71.0()-0.6 40.0 90.4 50.6 4-0.4 55.7 3MX 8-0.5 5-0.2 70.1 8-0.0 9 1.0 00.2 70.0 9 -1.0 00.4 5MX 3-1 0.4 5 1.0 0-0.2 70.1 8-0.0 90.2 70.0 93.4 57.6X 23-0.3 61.0 0-0.1 80.4 50.2 70.1 8-0.2 73.6 4Mc q）-z（j）3.820.9 1-1.2 7-1.3 6-0.9 11.3 61 3.1 8*BigM-1-1 -1X 4I3/51-0.81/50.40.8-0.47.8MX 81.2-

39、3/50.4-1/5 13/51/5 -14.6MX I212.2-3/50.4-1/53/51/57.6MX 2310.8-0.43/51/50.4-1/56.4MC(j)-z -8.43.2-2.8-3/5-3.23/54 2.2*BigM-1-1 -1无界解。两阶段法。第一阶段:C(j)111R.H.S.Rat i oB as i sC(i)X IX 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 1 0X l lX 911-121-1199/2X 621-1155X 1 012-13-1-1111/3X l l111-1133-42-61111 3X 91-1/3-1/35/3-12/

40、31-2/32 5/35X 6-2/37/3-2/311/3-1/31 4/3MX 32/3-1/31-1/3-1/31/31/3MX l l11/31/31/31/3-1-1/318/38CO)-Z(j)-21-1121 1X4-1/5-1/51-3/52/53/5-2/55MX6-4/511/5-2/513/52/5-3/5840/11X33/5-2/51-1/5-1/51/51/52MX IIi2/52/51/51/5-1-1/5-1/5115/2C(j)Z(j)-2/5-2/5-1/5-1/516/56/51X41-1/21/2-1/21/2-1/21/211/2MX6-3-3/21-

41、1/211/23/21/2-11/25/25/11X311-113MX2111/21/2-5/2-1/2-1/25/25/2MCG)-z(j)111第二阶段:CO)23-11R.H.S.RatioBasisC(i)XIX2X3X4X5X6X7X8X4i1-1/21/2-1/211/2MX6-3-3/21-1/2Ul/25/25/11X3-111-13MX23111/21/2-5/25/2MC0)-z(j)-1-271()X41-3/111-7/111/115/1163/11MX8-6/11-3/112/11-1/1115/11MX3-15/111-3/112/11-1/1138/1138/5X

42、23-4/111-2/115/113/1140/11M42/111-14/11-15/1113.18X413/51-4/51/52/539/5MX86/5-3/52/5-1/5123/5MXI2111/5-3/52/5-1/538/5MX2314/5-2/53/51/532/5Mco)-z(j)-42/516/5-14/5-3/542.2原问题无界解。21.13在 第1.9题中，对于基8=,40-解 忸|=-4,方=*,1 -210,求所有变量的检验数%(j=1,4)，并判断B是不是最优基.A=C-CKBAo 1 r r=(5,2,0,0)一 (5,0)：I I1 L L 2 j=(5,2,0

43、,0)-(5,-5,0,j5)=(0,QI，0,-s)9 5A =(0,-,0,-),8不是最优基，可以证明B是可行基。2 41.1 4已知线性规划max z =5玉 +8 x2+7演 +4 x42 x,+3X2+3X3+2X4 2 0-3 X I +5X2+4X3+2X4 0J=l,-,42 3-的最优基为8=2 ,试用矩阵公式求(1)最优解；(2)单纯形乘子；(3),及 小；(4)4和4。【解】5 _3 4 4B =I ，G =(。4，。2)=(4,8,),则.-2 2 .(1)XB=(x4,x2)T=B b=(1,5)r,最优解X=(0,5,0,2立Z =5 022(2)=Cf lB-=

44、(1,1)(3)(4)5N=B-P.=4.-2-5N3=BP,=4.234j _222 1 I3 1-J _.2.34 p1 l_52 J3422.4=。心 凶=5 _(4,8)1-41-2-3-r=5 5=04=0 3-。”3=7-(4,8)4:=7-7 =0.2.注：该题有多重解：X=(0,5,0,5/2)X=(0,10/3,10/3,0)X=(10,0,0,0),必 是 基 变 量,X是退化基本可行解Z=501.15 已知某线性规划的单纯形表12 5,求价值系数向量C及目标函数值Z.表 1-25GCiC2C3C4C5C6C7bCBXB为巧工3犬4必巧3必0121-30244Xi10-10

45、20-100与0-140-4123/2%0-1-1010-2【解】由4=(：(：%有j =%+Zq为C 2=-l+(3X 1+4X 0+0X (-1)=2c3=-l+(3X 2+4X (-1)+0X 4)=1C 5=l+(3X (-3)+4 X 2+0 X (-4)=0贝IX =(4,2,l,3,0,0,0,)，Z=CBXB=121.16 已知线性规划m a x Z =+c2x2+c3x3+ai2x2+a 3x3 瓦 a2xt+a22x2+a2ix3 0的最优单纯形表如表12 6所示，求原线性规划矩阵C、A、及b,最优基2及8T.表 126CjC|c2C3C4C5bCBXBXX2X3-QX5C

46、|X1041/61/156c2x201-301/52%00-1-2-3【解】B=6 -20 56015_5C 4 C5 0,仿照第15 题方法可求出5=12,c2=11 c3=14由得由得A=B-AA=BA=60-2 1 1 05 J|_ 0 14-36 -20 530-15b=B-h-6b=Bb=0-2 165 J|_ 23210表1-27则有 0 =(12,11,14),A=6-230,b=-32-,B=6-20 5-15100 51.17已知线性规划的单纯形表12 7.151一51-6O当仇=()也=(),a=()时，X=(0,0,4,b2)为唯一最优解.G-3a-1-1bCBXB工2冗

47、3X4-1X3210b-1X43101岳却九3当仇=()A=8024%+9X2+30X3+25X4+12x5+15x6 15018X +712+2 lx3+34X4 4-10 x5 180 x2 尤3、x4 x5 x6 0(2)日为 第，种单位营养的价格，则数学模型为max w=80yl+150y2+180 y313%+24y2 +18y3 0.525%+9为+7%0.414%+30%+21为 工。-8 40%+25y2+34y3 0.9+12%+10%0.31 +15y2+0.5)1，%，为 NO2.写出下列线性规划的对偶问题max=-2xl+4x2min w=-y1+4y2(1)X +3%

48、2 1【解】-y+%2-2*$+5X2 4 0J”为 NO(2)m i n Z=2xf-x2+3x3xx+2X2=100【解】m a x卬=10必+8为M f=22弘-3y 2 =-1乂 3无 约 束;y2 0(3)m a x Z =%,+2X2+4 x3-3x410 x+x2-x3 4X4=8 10一4尤-8X2+6X3+x4 0,x3 40,14无约束(4)m a x Z =-2$+3x2+6x3-7x43x1-2X2+x3-6X4=96 +5X3-x4 6 -%1+2 x2 W+2X4 25%j ly+6 y 2 -8y 3 2 2f-2%+6%q 4-4y,-5 y2+y3=-3弘无约

49、束；y20m a x Z =-2%1+3x2+6x3 7 x43%j -2X2+x3-6X4=96 x1+5X3 x4 6-X|+2%2 W+2X4 W 2x,5%)10$2 0,工3/4无约束对偶问题为:m i n w =9)i -6 y2-2 y3+5 y4+10y53%-6%-%+”一必 2-2-2%+2%=3 5 y 2 f =6-6%+必+2%=-7必 无 约 束;y20,y403.考虑线性规划m i n Z =12匹 +2 0 x2x+4X2 4X)+5X2 22%j +3X2 7X19X2 0(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解

50、;(3)利用公式CBB-求原问题的最优解；(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解.【解】(1)原问题的对儡问题为max w=4y+2%+7%M +为+2%412 4%+5y2+3为 4 20y.0,j=l,2,3对偶问题的最优解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5,1/5),Z=42.4容易看出原问题和对(2)对偶问题最优单乡偶问题都有可行解，如 X=(2,1)、Y=(l,0,1),由定理2.4知都有最优解。J形表为CO)42700R.H.S.BasisC(i)yiy2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5yi417/50-3/52/54/5