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1、第五节 古 典 概 型1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_的和.互斥基本事件2.古典概型的定义(1)条件：有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有_；等可能性：每个基本事件出现的可能性_.(2)结论：古典概率模型或古典概型.3.古典概型的概率公式P(A)=_.有限个相等判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)我们所说的试验都是古典概型.()(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(
2、)(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为()【解析】(1)错误.在一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且每个试验结果的可能性是均等的，这样的试验才是古典概型.(2)错误.它不符合古典概型的定义中每个事件发生的可能性相等.(3)错误.掷一枚硬币两次，出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”，这四个事件是等可能事件.(4)正确.由古典概型的概率公式可知，该说法正确.答案:(1)(2)(3)(4)1.从甲、乙、丙三人中任选两人参加志愿者服务，甲、乙均被选中的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.任选两人为志愿者的结果有：(甲，乙
3、)、(甲，丙)、(乙，丙)，共3种，所以甲、乙均被选中的概率是故选B.2.连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是m，n，则向量a(m，n)与向量b(1，1)共线的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由向量a(m，n)与向量b(1，1)共线，可得mn，连续抛掷两枚骰子得到的点数(m,n)的可能结果共有36种，mn的有6种，分别是(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，所以所求概率3.设a是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2ax20有两个不相等的实数根的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.由方程x2ax20有两个不相等的实数根，得a280，故a3,
4、4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有4.已知集合A2,5,在A中可重复地依次取出三个数a,b,c，则“以a,b,c为边恰好构成三角形”的概率是_.【解析】“在A中可重复地依次取出三个数a,b,c”的基本事件总数为238，事件“以a,b,c为边不能构成三角形”分别为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，所以答案：考向 1 简单古典概型的概率【典例1】(1)“十一”国庆假期，甲、乙两人一起去游玩，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观一小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()(A)(B)(C)(D)(2)(2012江苏高考)有10个数，它们能构成一个
5、以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_.【思路点拨】(1)由于每个景点被参观的可能性相等，且构成的基本事件个数有限，因此该问题能归结到古典概型解决；(2)从等比数列的通项公式和等可能事件的概率两方面处理.【规范解答】(1)选D.若用1,2,3,4,5,6代表6处景点，显然甲、乙两人最后一小时游览的景点可能为1,1，1,2，1,3，6,6，共36种；其中满足题意的“最后一小时他们同在一个景点”包括1,1，2,2，3,3，6,6，共6个基本事件，所以所求的概率为(2)这10个数是1,-3，(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(
6、-3)7,(-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率等于答案:【互动探究】在本例题(2)中，将“抽取一个数，则它小于8”改为“抽取两个数，则它们都小于8”,则结果如何？【解析】基本事件共有 个，都小于8的事件有 个，所以，它们都小于8的概率为【拓展提升】1.求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)求出P(A).2.基本事件个数的确定方法(1)列举法此法适合于基本事件较少的古典概型(2)列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法【变式备选】在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率
7、为()【解析】选C.总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所求概率为 选C.考向 2 复杂的古典概型问题【典例2】(1)已知A1,2,3，BxR|x2axb0，aA，bA，则ABB的概率是()(A)(B)(C)(D)1(2)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：两数中至少有一个奇数的概率；以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215的内部的概率.【思路点拨】(1)B中的元素可能为0个、1个、2个，因此可分类讨论寻找ABB的事件.(2)至少有一个奇数分:一奇一偶，两奇两种情况，可求其对立事件的概率；根据题设要求一一列
8、举圆内的点即可.【规范解答】(1)选C.ABB，B可能为，1，2，3，1,2，2,3，1,3.当B时，a24b0，满足条件的a，b为a1，b1,2,3；a2，b2,3；a3，b3.当B1时，满足条件的a，b为a2，b1.当B2，3时，没有满足条件的a，b.当B1,2时，满足条件的a，b为a3，b2.当B2,3，1,3时，没有满足条件的a，b.ABB的概率为(2)将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件.记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)即两数中至少有一个奇数的概率为基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2y215的内部记为事
9、件C，则C包含8个事件，即(1，1),(1，2),(1，3),(2，1),(2，2),(2，3),(3，1),(3，2),所以P(C)即点(x，y)在圆x2y215的内部的概率为【拓展提升】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解.(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.【提醒】在求概率问题时，把随机事件分解为一些互斥事件的和事件或者使用事件之间的对立关系会有助于简化运算.【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点,P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点.在A，P，M，C中任取
10、一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量 的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为_.【解析】基本事件的总数是44=16.在 中，当 时，点G分别为该平行四边形各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是答案：考向 3 构建不同的概率模型解决问题【典例3】(1)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球编号为n，则nm2的概率为_.(2)(2012大连模拟)同时投掷两粒骰子，求向
11、上的点数之和为奇数的概率.【思路点拨】(1)将两次取出的球的编号看作有序实数对，列举出基本事件及满足nm+2的事件，转化为古典概型及对立事件的概率求解.(2)适当选取观察角度以减少复杂的计数.角度一：通过坐标法列出所有基本事件；角度二：把一次试验的所有可能结果取为:(奇，奇),(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)；角度三：把一次试验的所有可能结果取为:点数之和为奇数，点数之和为偶数.【规范解答】(1)依题设，一切可能结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2),(3,3)，(3,4)，(4,1),(4,2)
12、，(4,3)，(4,4)，共16个.又满足条件n m2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4)，共3个，所以满足条件n m2 的事件的概率为P1 故满足条件nm2 的事件的概率为P1P1答案:(2)方法一：从下图可以看出基本事件与所描点一一对应，有36种，记“向上的点数之和为奇数”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有18个，因此方法二：由于两粒骰子中出现奇、偶数的机会相同，且每粒骰子中的奇、偶数的个数也相同，若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，基本事件总数为4，且每个事件出现是等可能的，事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为2
13、，故P(A)=方法三：由于两粒骰子中出现奇、偶数的机会相同，且每粒骰子中的奇、偶数的个数也相同.若把一次试验的所有可能结果取为：点数之和为奇数，点数之和为偶数，则基本事件总数为2，且每个事件出现是等可能的.事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为1，故P(A)=【拓展提升】建立概率模型的原则、要求及作用(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型问题.(2)要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.(3)作用：一方面，对于同一个实际问题，有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求
14、较为“简捷”的解法；另一方面，又可以用一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.【变式训练】已知|p|3，|q|3，当p，qZ时，求方程x22pxq210有两个相异实数根的概率.【解析】由方程x22pxq210有两个相异实数根，可得(2p)24(q21)0，即p2q21.当p，qZ时，设点M(p，q)，如图，直线x3，2，1,0,1,2,3和直线y3，2，1,0,1,2,3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆p2q21上和圆p2q21内的共有5个(图中黑点).当点M(p，q)落在圆p2q21外时，方程x22pxq210有两个相异实数根.所以方程x22pxq210有两个相异实数根的
15、概率P【易错误区】基本事件判断不准致误【典例】(2012广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()(A)(B)(C)(D)【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面：(1)基本事件弄错，由于0与1,2,3，,9这十个数字被取到不是等可能的，因此误认为本题不是古典概型；(2)寻找基本事件时，误认为0与1,2,3，,9的地位是一样的，致使基本事件个数不正确.【规范解答】选D.首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位数是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数，一偶数：第一类:x为奇数，y为偶数，共
16、有：25(种)情况；第二类:x为偶数，y为奇数，共有：20(种)情况.两类共计45种情况，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率为：【思考点评】1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.本题中基本事件是个位数与十位数之和为奇数的两位数.2.古典概型的判断标准判断一个概率问题是否是古典概型问题，其主要依据有以下两个标准:(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.1.(2013金华模拟)分别写有数字1，2，3，4的4
17、张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.从写有数字1，2，3，4的4张卡片中随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3，4)共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是2.(2013衡阳模拟)设函数 若a是从0,1,2三数中任取一个，b是从1,2,3,4四数中任取一个，那么f(x)b恒成立的概率为()【解析】选A.当a0时，a(x1)a1 a1因为f(x)b恒成立，所以 恒成立，
18、若b1，则a1,2；若b2，则a1,2；若b3，则a1,2；若b4，则a2，共7种情况；a0时，b1适合，故概率为3.(2012上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示).【解析】本题中三位同学参加三个不同项目的比赛，每人都选择两个项目，则所有结果为 种，有且只有两人选择的项目相同时分三步:定哪两个人相同有 种；定哪两个项目相同有 种；定第三个人，此人必须选前两人未选的项，有 种，结果为 种，所以概率为答案：4.(2013岳阳模拟)连掷骰子两次(骰子六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)得到
19、的点数分别记为a和b，则使直线3x-4y0与圆(x-a)2+(y-b)24相切的概率为_.【解析】连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x-4y0与圆(x-a)2+(y-b)24相切，则 即满足|3a-4b|10，符合题意的(a，b)有(6，2)，(2，4)两个，由古典概型概率计算公式可得所求概率为答案:5.(2013株洲模拟)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各一节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课的概率为_(用数字作答).【解析】6节课共有 种排法，相邻两节文化课之间最多隔1节艺术课，排法分三类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课
20、间隔.可将三节课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排，排法有 种.(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有 种.(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，另一节文化课与前两节文化课之间无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：种.综上可知：相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法共有144+72+216=432种.所以在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课的概率答案：1.已知集合A(x，y)|x-2y-10,B(x，y)|ax-by+10，其中a，b 1,2，3，4，5，6，则AB的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.AB=,直线x-2y-1=0与直线ax-by+1=0平行,b=2a,这样的(a,b)有：(1,2),(2，4)，(3,6)，共3个,所求概率2.已知向量a(m，n)，b(1，1)，其中m，n1,2,3,4,5，则a与b的夹角能成为直角三角形内角的概率是_.【解析】a与b的夹角为直角三角形的内角，因此有mn.而所有的情况共有25种，而mn，有5432115(种)，故概率为答案: