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1、教学设计表教学设计标题：点到直线的距离公式学情分析：点到直线的距离公式是选择性必修第一册第二章2.3.3的内容，学生具备了函数、向量（平面向量和空间向量）模块的知识储备和相应的思想方法，学生已经学习了点与点之间的距离公式，初步具备了用代数方法研究几何问题的解析几何思想.教学目标：1.通过探究，会推导点到直线的距离公式，发展学生的直观想像、逻辑推导和数学运算素养；2.通过多种方法证明，学生能从不同角度思考问题，发展学生分析问题，解决问题的能力；3.通过应用举例，学生能利用点到直线的距离公式解决简单的距离问题，发展学生知识应用能力和数学运算素养.教学重难点：重点：点到直线的距离公式推导；点到直线距
2、离公式及其应用.难点：点到直线的距离公式推导.教学过程：一、提出问题如图所示，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离？二、探究问题如图，过点P作l的垂线，垂足为Q，则线段PQ的长度，就是点P到直线l的距离.探究1线段PQ的长度，就是点P与点Q之间的距离，可以利用两点的距离公式得到，你能求出来吗？分析：可分为三步：第一步：利用垂直关系求出直线PQ的方程;第二步：联立直线PQ与l的方程，求出点Q的坐标;第三步：利用两点的距离公式，求出PQ.解：当A=0, B0时，l:By+C=0,此时直线l平行于x轴，则Q(x0,-CB),故PQ=x0-x02+y0+CB2=
3、By0+CB2.当A0, B=0时，l:Ax+C=0,此时直线l平行于y轴，则Q(-CA,y0),故PQ=x0+CA2+y0-y02=Ax0+CA2.当A0,B0时，由PQl，以及直线l的斜率为-AB，可知直线PQ的斜率为BA,因此直线PQ的方程为y-y0=BA(x-x0),即Bx-Ay=Bx0-Ay0联立Ax+By+C=0 Bx-Ay=Bx0-Ay0得x=B2x0-ABy0-ACA2+B2y=A2y0-ABx0-BCA2+B2,即点Q的坐标为(B2x0-ABy0-ACA2+B2,A2y0-ABx0-BCA2+B2).根据两点的距离公式，有PQ=B2x0-ABy0-ACA2+B2-x02+A2
4、y0-ABx0-BCA2+B2-y02 =-A2x0-ABy0-ACA2+B22+-B2y0-ABx0-BCA2+B22 =A2Ax0+By0+C2A2+B22+B2By0+Ax0+C2A2+B22 =Ax0+By0+CA2+B2.综上，点P(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=Ax0+By0+CA2+B2.思考：上述方法中，我们把点到直线的距离转化为点到点的距离来求解，思路自然但运算量大.反思解题过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？由此能否给出简化计算的方法？在上述方法中,若设垂足Q(x,y),则PQ=x-x02+y-y02，我们可以不求点Q坐标，根据Ax+By+C=0 Bx-
5、Ay=Bx0-Ay0直接得到|PQ|吗？观察结构，由Ax+By+C=0 Bx-Ay=Bx0-Ay0得Ax-x0+By-y0=-Ax0-By0-C Bx-x0-Ay-y0=0 将两式平方相加得x-x02+y-y02=Ax0+By0+C2A2+B2则PQ=x-x02+y-y02=Ax0+By0+CA2+B2.探究2我们知道向量是一个强有力的工具,我们已经利用空间向量解决了空间中点到平面的距离问题.由此你能否利用平面向量方法解决平面中点到直线的距离问题吗?受求空间中点到平面的距离方法启发，又在平面中与直线垂直的向量易求，故可得以下解法：如图所示，设点M(x,y)是直线l:Ax+By+C=0上任意一点
6、，n是与l垂直的单位方向向量，则PQ是PM在n上的投影向量，故PQ=|PMn|由前面所学知道直线l:Ax+By+C=0的一个方向向量为(B,-A)，则与直线l的垂直的一个方向向量为(A,B)，则可取n=1A2+B2(A,B)从而PMn=x-x0,y-y01A2+B2(A,B) =1A2+B2(Ax+By-Ax0-By0)因为点M(x,y)在直线l:Ax+By+C=0上，所以Ax+By=-C，代入上式得PMn=-Ax0-By0-CA2+B2因此PQ=PMn=Ax0+By0+CA2+B2.探究3 除了上述两种方法，你还有其他方法吗？请阅读下面数学史材料，探究其中解法.材料1：19世纪英国数学家托德
7、亨特对点线距离作了另一种方式的转化，用三角形方法解决.如图，过点P作x轴的平行线，交l于点R，则在RtPQR中，由线段PR和PRQ可求线段PQ的长.材料2：20世纪，美国数学家泰勒在其微积分与解析几何中，抓住距离概念的本质，通过函数的最值来求点到直线的距离.如图，设M为直线l上任意一点，则点P到l的距离就是|PM|的最小值.根据材料1，当A0,B0时，由PR平行x轴可知点R的坐标为(-By0+CA,y0),则PR=x0+By0+CA=|Ax0+By0+C|A|.设l的倾斜角为,则PRQ=或者-，由tana=-AB可得sinPRQ=|A|A2+B2，故在RtPQR中，有PQ=|PR|sinPRQ
8、=|Ax0+By0+C|A|AA2+B2=Ax0+By0+CA2+B2.根据材料2，B0时,设点M(x,-Ax+CB)为l上任意一点，则PM=x-x02+-Ax+CB-y02=A2+B2B2x+AC+ABy0-B2x0A2+B22+Ax0+By0+C2A2+B2Ax0+By0+CA2+B2即点P到l的距离为Ax0+By0+CA2+B2.【设计意图】借助数学史，引导学生思考，提升学生的求知欲和探索欲.三、应用举例例1求点P-1,2到直线l:3x=2的距离.分析：将直线l的方程写成3x-2=0, 再利用点到直线的距离公式求解.解：点P(-1,2)到直线l的距离d=3-1-232+02=53.例2已
9、知ABC的三个顶点坐标分别是A1,3,B3,1,C-1,0, 求ABC的面积.分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出ABC一边上的高即可.解：设边AB上的高为h，则h就是点C到直线AB的距离.边AB所在的直线方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0.根据点到直线的距离公式，有h=|-1-4|12+12=522,又AB=1-32+3-12=22，故SABC=12ABd=1222522=5.四、小结回顾推导点到平面的距离的几种方法，总结其中的数学思想方法.这几种解法蕴含了转化与化归的思想：探究1的解法是把点到直线的距离转化为点到点的距离；探究2解法是把点到直线的距离转化为投影向量的模；探究3材料1的解法是把点到直线的距离转化为锐角三角函数问题；探究3材料2的解法是把点到直线的距离转化为点到直线上任意一点的距离的最值问题.五、课后作业教材P77练习1，2.学科网（北京）股份有限公司