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1、 1.1 空 间 向 量 及 其 运 算 考 点 复 习【思 维 导 图】空 间 向 量 在 空 间 中 具 有 大 小 和 方 向 的 量 模 或 长 度 空 间 向 量 的 大 小 空 间 向 量 的 表 示 小 写 字 母 加 箭 头 基 本 概 念 两 个 大 写 字 母 加 箭 头 零 向 量 长 度 为 0的 向 量 单 位 向 量 模 长 为 1的 向 量 相 反 向 量 长 度 相 等 且 方 向 相 反 的 向 量 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互 相 平 行 或 重 合 共 线 向 量(平 行 向 量)J-零 向 量 与 任 意 向 量 平 行 相
2、 等 向 量 方 向 相 同 且 模 相 等 的 向 量 空 间 任 意 两 个 向 量 是 共 面 的，但 空 间 任 意 三 个 向 量 不 一 定 共 面 如 果 两 个 向 量，不 共 线，那 么 向 麻 与 向 量 6共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 对(x.y)使 p=xa+y，若 点 尸 在 平 面 4弘 i内，。是 平 面 胸 外 的 任 意 一 点，则 丽=x 6 i+y而+z左 且 x+3+z=l三 种 思 路 舄 于 基 间 三 点 P,A,B可 通 过 证 明 下 列 结 论 来 证 明 三 点 共 线.(1)存 在 实 数 入，使=人
3、 成 立.(2)对 空 间 任 一 点 0,有=+1;(1;0.(3)对 空 间 任 一 点 0,有=*+丫(x+y=l).已 知 两 个 非 零 向 量 a,b,JB知 Ncos叫/a,。的 数 量 积，记 作 a S,即 a b=|a|cos【常 见 考 法】数 量 积 运 算 若。,。是 3图 向 量,则 a l f t o a 6=0运 算 律 1(2a)d=2(a b)运 箕 律 2(交 换 律)a-b-b a运 算 律 3(分 配 律)a(b+c)=a b+a c考 点 一 概 念 的 辨 析 例 1 下 列 命 题 中，假 命 题 是（）A.同 平 面 向 量 一 样，任 意 两
4、 个 空 间 向 量 都 不 能 比 较 大 小 B.两 个 相 等 的 向 量，若 起 点 相 同，则 终 点 也 相 同 C.只 有 零 向 量 的 模 等 于 0D.共 线 的 单 位 向 量 都 相 等【一 隅 三 反】1.（在 下 列 命 题 中：若 向 量 2 5 共 线，则 万,5 所 在 的 直 线 平 行；若 向 量 优 B所 在 的 直 线 是 异 面 直 线，则 万,5 一 定 不 共 面；若 三 个 向 量 反 尻 不 两 两 共 面，则 瓦 A 5三 个 向 量 一 定 也 共 面；己 知 三 个 向 量 瓦 c,则 空 间 任 意 一 个 向 量 力 总 可 以 唯
5、 一 表 示 为=万+z（5.其 中 正 确 命 题 的 个 数 为（）A.0 B.1 C.2 D.32.在 下 列 命 题 中：若 7、B共 线，则 Z、B所 在 的 直 线 平 行；若、B所 在 的 直 线 是 异 面 直 线，则 3、B 一 定 不 共 面；若 3、B、2三 向 量 两 两 共 面，则 7、B、之 三 向 量 一 定 也 共 面；已 知 三 向 量、h c 则 空 间 任 意 一 个 向 量 p 总 可 以 唯 一 表 示 为 p=xa+yB+zc.其 中 正 确 命 题 的 个 数 为（)考 点 二 空 间 向 量 的 线 性 运 算【例 2】在 四 面 体 ABCO
6、中，点 尸 在 4)上，()T T 1-2 TA.EF=AC+-AB AD B,2 3T 1 1-2 TC.EF=-AC AB+-AD D,2 2 3AB 工-匕-分 Dc且 A尸=2ED，E 为 B C 中 点,则 石 尸 等 于-*1 f 1 f 2 f,EF=AC AB+-AD2 2 3-1 T 1 T 2-,EF=AC+-AB AD2 2 3【一 隅 三 反】1.如 图，空 间 四 边 形。4 3 C 中，OA=a,OB=b,OC=c,且 BN=N C,则 M N=（）2-2-1-A.-a-b+c3 3 2B.1 a-+一 1。r 1-2-1 r 1-c C.a+。+c2 2 2 3
7、2 2I).-a-b+-c2 3 22.在 平 行 六 面 体 A B C O-A g C Q i 中，M 为 A Q 与 B Q 的 交 点，若 而=,而=尻瓯=，则 与 两 相 等 的 向 量 是（）A.-a+-b+c B.-a-b+c C.-a-b+c D.-a+-b+c2 2 2 2 2 2 2 23.如 图，在 空 间 四 边 形 ABCD中，设 E,F 分 别 是 BC,CD的 中 点，则 赤+g（比-而）等 于（）A-AD B.FA C.AF D.而 考 点 三 空 间 向 量 的 共 面 问 题【例 3】在 下 列 条 件 中，使“与 A，B,C 一 定 共 面 的 是（）A.
8、OM=OA-OB-OC B.OM-O A+-O B+-O C5 3 2C.MA+MB+MC=O D.OM+OA+OB+OCO【一 隅 三 反】一 3 一 1 一 一 1.0 为 空 间 中 任 意 一 点，A,B,C 三 点 不 共 线，且。尸=一。4+-。8+，。，若 P,A,B,4 8C 四 点 共 面，则 实 数 1=._ 一 1 一 1 一 2.已 知 点 M 在 平 面 ABC内，并 且 对 空 间 任 意 一 点 0,有 0M=xQA+-0 8+-0 C,则 x3 33.空 间 A、B、C,。四 点 共 面，但 任 意 三 点 不 共 线，若 尸 为 该 平 面 外 一 点 且 m
9、=3 万 一 1 一,而，则 实 数 x 的 值 为（）3 31 1 2 2A.-B.C.-D.-3 3 3 34.己 知 平 行 四 边 形 ABCD从 平 面 AC外 一 点 0 引 向 量.O E=kOA,O F=k O B,O G=k O C,O H=k O D-求 证：四 点 E,F,G,I I 共 面 考 点 四 空 间 向 量 的 数 量 积【例 4】已 知 平 行 六 面 体 ABCD-A B C D 中，AB=4,AD=3,AA=5,/BAD=90,NBAA=ZDAA;=60.（1）求 AC的 长；（如 图 所 示）（2）求 而 与 衣 的 夹 角 的 余 弦 值.【一 隅
10、三 反】1.平 行 六 面 体 ABCD-ABCD中，向 量 AB,AD,反 正 两 两 的 夹 角 均 为 60,且|瓶|=1,|瓦 1=2防 1=3,则|延|等 于（）A.5 B.6 C.4 D.82.四 棱 柱 ABC。4 4 G o i 的 底 面 A3C 为 矩 形，A3=2,AD=4,44,=6,N A,AB=NA 4 0=60,则 4G 的 长 为（）A.872 B.46 C.2A/23 D.323.若 空 间 四 边 形 0U?C的 四 个 面 均 为 等 边 三 角 形，则 cos（砺，团）的 值 为（）A.B.C.-D.02 2 24.Bq _L平 面 ABC,且 aABC
11、是 NB=90的 等 腰 直 角 三 角 形，可 4 6（：的 对 角 线 都 分 别 相 互 垂 直 且 相 等，若 AB=a,求 异 面 直 线 8 4 与 AC所 成 的 角.U.1 空 间 向 量 及 其 运 算 考 点 复 习 答 案 解 析 考 点 一 概 念 的 辨 析【例 1】下 列 命 题 中，假 命 题 是（）A.同 平 面 向 量 一 样，任 意 两 个 空 间 向 量 都 不 能 比 较 大 小 B.两 个 相 等 的 向 量，若 起 点 相 同，则 终 点 也 相 同 C.只 有 零 向 量 的 模 等 于 0D.共 线 的 单 位 向 量 都 相 等【答 案】D【解
12、 析】A.向 量 是 有 向 线 段，不 能 比 较 大 小.真 命 题.B.两 向 量 相 等：方 向 相 同，模 长 相 等.起 点 相 同，则 终 点 也 相 同.真 命 题.C.零 向 量：模 长 为 0 的 向 量.真 命 题.D.共 线 的 单 位 向 量 是 相 等 向 量 或 相 反 向 量.假 命 题.故 选：D.【一 隅 三 反】1.在 卜 列 命 题 中：若 向 量 万,5 共 线，则 所 在 的 直 线 平 行；若 向 量 万,5 所 在 的 直 线 是 异 面 直 线，则 万,5 一 定 不 共 面；若 三 个 向 量 方,尻 5两 两 共 面，则 万，尻 乙 三 个
13、 向 量 一 定 也 共 面；已 知 三 个 向 量 万 万，c,则 空 间 任 意 一 个 向 量 月 总 可 以 唯 一 表 示 为 万=xG+y6+z3.其 中 正 确 命 题 的 个 数 为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】A【解 析】此 题 考 查 向 量 的 知 识 点；对 于：根 据 两 向 量 共 线 定 义 知 道，两 向 量 共 线 有 可 能 两 向 量 所 在 的 直 线 重 合，所 以 此 命 题 错 误；对 于：两 个 向 量 可 以 平 移 到 一 个 平 面 内，所 以 此 命 题 错 误；对 于：若 三 个 向 量 2 5 两 两 共 面，这 三 个
14、 向 量 有 可 能 不 共 面，所 以 此 命 题 错 误；对 于：根 据 空 间 向 量 的 基 本 定 理 知 道，这 三 个 向 量 要 不 共 面 才 可 以，所 以 此 命 题 错 误，所 以 选 A2.在 卜 列 命 题 中：若 7、B共 线，则 3、B所 在 的 直 线 平 行；若 3、B所 在 的 直 线 是 异 面 直 线，则 7、B 一 定 不 共 面；若 7、B、Z 三 向 量 两 两 共 面，则 7、B、2三 向 量 一 定 也 共 面；已 知 三 向 量、b c 则 空 间 任 意 一 个 向 量 万 总 可 以 唯 一 表 示 为 p=xa+）石+zc.其 中 正
15、 确 命 题 的 个 数 为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】A【解 析】若）、坂 共 线，则）、坂 所 在 的 直 线 平 行 或 重 合；所 以 错；因 为 向 量 是 可 以 自 由 移 动 的 量，因 此 即 使、区 所 在 的 直 线 是 异 面 直 线，、坂 也 可 以 共面；所 以 错;若 1、5、2三 向 量 两 两 共 面，因 为 两 平 面 的 关 系 不 确 定，因 此 3、5、2三 向 量 不 一 定 共 面；所 以 错；若 三 向 量、b、共 面，若 向 量 p 不 在 该 平 面 内，则 向 量 p 不 能 表 示 为=xa+yb+zc,所 以 错.故 选
16、：A.考 点 二 空 间 向 量 的 线 性 运 算【例 2】在 四 面 体 4BCD 中，点 尸 在 A 匕 且 A尸=2ED，E 为 B C 中 点，则 石 产 等 于 f f 1 T 2 fA.EF=AC+-AB ADf 1 f 1 f 2C.EF=-AC AB+-ADB.EF=-2D.EF=【答 案】B【解 析】在 四 面 体 ABC。中，点 厂 在 A O 上，且 AF=2ED，E 为 中 点，所 以 EF=EB+BA+AF f-2 T 2 f-1-2=-A B-A C-AB+-AD=-AC一 一 AB+-AD,即 EE=一 AC一 一 AB+-AD.2k J 3 2 2 3 2 2
17、 3故 选：B.根 据 三 角 形 法 则 与 平 行 四 边 形 法 则 以 及 空 间 向 量 的 加 减 法 进 行 转 化，一 定 要 看 最 后 是 谁 来 表 示。【一 隅 三 反】1.如 图，空 间 四 边 形。43C 中，OA=a,OB=b,OC=c,且 OM=2M4,BN=N C,则 MM=（)【答 案】cB.-a+-b-c2C.-1 a+-b+-c3 2 2D.a-b+-c2 3 2【解 析】因 为 丽=丽 一 加，又 因 为 丽=|丽=|,丽=g（而+无）=/+,-2-1-1-所 以 MN=-一+c.故 选：C3 2 22.在 平 行 六 面 体 ABC。-4 4 G A
18、 中，M为 4 G 与 4 2 的 交 点，若 福=,而=小 1-1 r-l-l y-1-1 7 A.a+b+c B.a b+c C.a b+c2 2 2 2 2 2D.-a+-b+c2 2【答 案】D【解 析】根 据 空 间 向 量 的 线 性 运 算 可 知 因 为 血=,布=尻 A=c,则 A4j+；(4 8+AO)=-；a+；B+c 即BM=a+b+c，2 2故 选:D.3.如 图，在 空 间 四 边 形 A B C D中，设 E,F分 别 是 B C,CD的 中 点，则 而+；（B C-B D）等 于（）A.AD B-FA C.AF D.EF【答 案】C_.1.1,.1【解 析】B
19、C-BD=DC-(B C-B D)=-D C=DF,-AD+-(BC B b)=AD+DF=AF-故 选 C.考 点 三 空 间 向 量 的 共 面 问 题【例 3】在 下 列 条 件 中，使“与 A，B,C一 定 共 面 的 是（）A.OM=OA-OB-OC B.OM=-O A+-O B+-O C5 3 2C.MA+MB+MC=Q D.OM+OA+OB+OC=0【答 案】C【解 析】对 于 A选 项，由 于 1_1 一 l=_ l w l，所 以 不 能 得 出 M,A,8,C共 面.对 于 B选 项，由 于,+工+，声 1,所 以 不 能 得 出 共 面.5 3 2对 于 C选 项，由 于
20、 必=一 荻 一 就，则 冠 4,M反 碇 为 共 面 向 量，所 以 M,A B,C共 面.对 于 D选 项，由 南+砺+而+反=。得 病=砺 砺 一 反，而 一 1一 1一 1=一 3工 1,所 以 不 能 得 出,A,氏 C 共 面.故 选：Cj M 与 A,B,C 一 定 共 面 的 充 要 条 件 是 两=x E+y而+z芯,x+y+z=l,【一 隅 三 反】3 一 1 1.0 为 空 间 中 任 意 一 点，A,B,C三 点 不 共 线，且。尸=二。4+OB+fOC,若 P,A,B,4 8C四 点 共 面，则 实 数 t=_【答 案】|O【解 析】P,A,B,C 四 点 共 面，且
21、。P=?O3 A+1O B+fOC,-3+-1+t=,解 得 f=1.4 8 4 8 8故 答 案 为：!2.已 知 点 M在 平 面 ABC内，并 且 对 空 间 任 意 一 点 0,有。面=*砺+工。豆 则 x3 3【答 案】!3【解 析】已 知 两=8函+,而+，花 且 M,A,B,C四 点 共 面，3 3则+,+=1,解 得 x=!3 3 33.空 间 A、B、C、。四 点 共 面，但 任 意 三 点 不 共 线，若 P 为 该 平 面 外 一 点 且 刀=W p月 一 x R?!尸 力，则 实 数 x 的 值 为（）3 31 1 2 2A.-B.C.-D.-3 3 3 3【答 案】A
22、【解 析】因 为 空 间 A、B、C、。四 点 共 面，但 任 意 三 点 不 共 线，对 于 该 平 面 外 一 点 P 都 有 PA=-P B-x P C-P D,所 以 x 1=1,解 得 x=L 故 选 A3 3 3 3 34.已 知 平 行 四 边 形 A B C D从 平 面 AC外 一 点。引 向 量.加=k 6A,O F kO B O G=k O C,O H=k O D-求 证:四 点 E,F,G,H共 面0【答 案】证 明 见 解 析/A【解 析】OE=kOA,OF=kOBEF/AB,且 EF=|k|AB；同 理 HG DC,且 HG=|k|DC,AB=DC；.-.EF/HG
23、,且 EF=HG；四 边 形 EFGH为 平 行 四 边 形;四 点 E,F,G,H 共 面.考 点 四 空 间 向 量 的 数 量 积【例 4】已 知 平 行 六 面 体 ABCD-A B C D 中，AB=4,AD=3,AA=5,NBAD=90,ZBAA*=ZDAAZ=60.(1)求 AC 的 长；(如 图 所 示)（2）求 而 与 衣 的 夹 角 的 余 弦 值.【答 案】（1）底;（2）叵 10【解 析】（1）可 得 而=*+营=通+通+欣，|而 j=府+而+祈 上 病+而 2+府+2（福.布+彷 丽 亚.而）=42+32+52+2（4X3X0+4X 5x-+3x5x1）=852 2故
24、 AC的 长 等 于=（2）由（1）可 知 葡=A+击+用 4；，|前 1=每 故 而/=AB+A D+AAy A B+A D）=AB2+2 A B A D+A D2+AA1-AB+A-AD,1 1 85=42+2 X 4 X 3 X 0+32+5 X 4 X-+5 X 3X-=2 2 2又 依 卜 A B+A D)=J AB2+2 AB-AD+A D2=V42+0+32=5_ _ _ A C A C 8 5 而 故 而 与 的 夹 角 的 余 弦 值=_2_-孝 77=10求 两 个 向 量 的 夹 角 有 两 种 方 法：方 法 一：结 合 图 形，平 移 向 量，利 用 空 间 向 量
25、的 夹 角 定 义 来 求，但 要 注 意 向 量 夹 角 的 范 围 角 的 大 小 a b 先 求 a 仇 再 利 用 公 式 cos（a-b）=不 斤 讦 求 cos a,b）,最 后 确 定 a,b）方 法 二：!根 据 题 设 条 件 在 所 求 的 异 面 直 线 上 取 两 个 向 量（即 直 线 的 方 向 向 量）!异 面 直 线 所 成 角 的 问 题 转 化 为 向 量 夹 角 问 题 利 用 数 量 积 求 向 量 夹 角 的 余 弦 值 或 角 的 大 小【一 隅 三 反】1.平 行 六 面 体 ABCD-ABCD中，向 量 AB,AD,AA 两 两 的 夹 角 均
26、为 60,且 1工 豆 1=1,1=2,|瓯|=3,则 属 I等 于（）A.5 B.6 C.4 D.8【答 案】A【解 析】在 平 行 六 面 体 ABCD-ABCD中 有，A Q=A B+A D+C C=A B+A D+A A 所 以 有|相 卜|福+丽+丽|,于 是 有|画 通+而+丽（国 卜 网 2+1 时+画+2 画 J砌 cos60。+2 网.研 cos60。+2 西.|砌 cos60。=25所 以|相|=5,答 案 选 A2.四 棱 柱 ABC。-4 8 c A 的 底 面 4BCO为 矩 形，A B=2,AD=4,AA,=6,NA A B=NA AO=60,则 AC,的 长 为（
27、）A.8&B.46 C.2723 D.32【答 案】C【解 析】由 延=恁+，瓯,J=衣：（A C+C q）2=A C2+2 A C C Q+C Q2.由 底 面 4 3 c。为 矩 形 得；而 之=4+16=2 0,西 2=3 6,另；ZA.AB=ZAlA D=6（Y,2AC CC,=2（AB+BC）C AB GC,=2x6xcos60=6,BC CC；=12西（=20+36+36=92,J 碉=2 后 3.若 空 间 四 边 形。R C 的 四 个 面 均 为 等 边 三 角 形，则 cos（砺，耳 心）的 值 为（）1 5 1A.B.C.D.02 2 2【答 案】D【解 析】依 题 意
28、空 间 四 边 形。43C的 四 个 面 均 为 等 边 三 角 形，设 棱 长 均 为“.而 8 6=0（?。月,则 方（反 一 丽）=砺.无 一 丽.砺=a2.cos&_/.cos生=0所 以 3 仍/一 一,”国 OA.届 BC 二 O 网 O C忖-O B=0.故 选：D4.切 51，平 面 ABC,且 aABC是 NB=90 的 等 腰 直 角 三 角 形，口 八 旦 人 出、口 B 4 g C 的 对 角 线 都 分 别 相 互 垂 直 且 相 等，若 AB=a,求 异 面 直 线 B 4 与 AC所 成 的 角.【答 案】60【解 析】如 图 所 示.因 为 瓯=丽+瓯，恁=通+
29、与 心 故 好/=（丽+瓯）（通+网=丽 通+丽 衣+瓯 荏+断 而 因 为 AB_LBC,BB为 AB,BB,BC,故 近 觉=0,瓯 丽=0,瓯 灰=0,丽=故 明./=-又 既 衣=|瓯 H 同 cos（M，码 故 C0S（5 A，A C）=7=-l=-!.V2tz x j2a 2而（现,恁）0,句，故 可 得 86,恁=12（）。，又.异 面 直 线 所 成 的 角 是 锐 角 或 直 角，.异 面 直 线 BAi与 AC成 60角.1.1空 间 向 量 及 其 运 算 同 步 练 习【题 组 一 概 念 的 辨 析】1.在 下 列 结 论 中：若 向 量 石 共 线，则 向 量 出
30、所 在 的 直 线 平 行；若 向 量 4,B所 在 的 直 线 为 异 面 直 线，则 向 量。力 一 定 不 共 面；若 三 个 向 量 a,瓦 c两 两 共 面，则 向 量 a,瓦 c共 面；己 知 空 间 的 三 个 向 量 G,反 人 则 对 于 空 间 的 任 意 一 个 向 量 万 总 存 在 实 数 x,y,z使 得 p-xa+yb+zc-其 中 正 确 结 论 的 个 数 是（）A.0 B.1 C.2 D.32.下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.若 同=|可，则,万 的 长 度 相 等，方 向 相 同 或 相 反 B.若 向 量 是 向 量 石 的 相 反 向 量，则
31、 同=|同 C.空 间 向 量 的 减 法 满 足 结 合 律 D.在 四 边 形 A B C O 中，一 定 有 通+而=而 3.给 出 下 列 命 题：若 空 间 向 量 万 万 满 足 同=W，则 M=空 间 任 意 两 个 单 位 向 量 必 相 等；对 于 非 零 向 量 c，由 M=5 乙，则 M=在 向 量 的 数 量 积 运 算 中（ar-r cr=ar zr6 cr）.其 中 假 命 题 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.44.给 出 以 下 结 论：空 间 任 意 两 个 共 起 点 的 向 量 是 共 面 的；两 个 相 等 向 量 就 是 相 等 长 度 的
32、 两 条 有 向 线 段 表 示 的 向 量；空 间 向 量 的 加 法 满 足 结 合 律：（1+5）+3=2+（6+忑）；首 尾 相 接 的 若 干 向 量 之 和，等 于 由 起 始 向 量 的 起 点 指 向 末 尾 向 量 的 终 点 的 向 量.请 将 正 确 的 说 法 题 号 填 在 横 线 上：【题 组 二 空 间 向 量 的 线 性 运 算】=a,D C=b,DD.=c,则 M N=()1.如 图，在 正 方 体 ABCD-中，点 M,N 分 别 是 面 对 角 线 A.B与 B D的 中 点，若 方、_ f i04k-”A.-1(zc+b,-a)、1.、C.一(a c)2
33、2.在 四 面 体 ABC。中，点 F 在 A。上,AcA.EF=-A C+-A B-A D2 2 3c-3.如 图 所 示，在 空 间 四 边 形 Q 43C中，U U L t t L I U U 1.OM=2MA,N 为 BC 中 热,则 M N=(B.-1(za+b,-c)、D.1(zc-ci、)且=E 为 B C中 点,则 石 尸 等 于()B.EF=-A C-A B+-A D2 2 3D.EF=一 一 AC+-A B 一 一 AD2 2 3OAF=a,OB=b,OC=c 点 M 在。4上，且)BA.1 a_ 2br+1 c_2 3 2C.-1a-_ 一 1 br 1 c-2 2 2B
34、.2 a_+1 br+1 c_3 2 22 2-1D.a+b c3 3 24.如 图，平 行 六 面 体 A B C。-A 用 G。中，A C 与 B O 的 交 点 为 M，设 通=Z，而=万,羽=6，则 下 列 选 项 中 与 向 量 函 相 等 的 是（）B.1 a+1 br+c_2 2D.-1 a+1 br-c2 25.如 图，在 空 间 四 边 形 ABCD中，E,M,N分 别 是 边 BC,BD,CD的 中 点，DE,MN交 于 F 点,则 工 通/+丽=（）2 2A-AD B.AF C.M I）.EM6.平 行 六 面 体 A B C。4 4 G 2 中，AiM=2MC,A M=
35、xAB+yAD+zAA,则 实 数 x,y,z的 值 分 别 为（）1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2A.一,B.,一,C.,一,D.一,一,一 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 37.如 图，已 知 空 间 四 边 形。4 6 C,其 对 角 线 为 08,AC,M,N 分 别 是 对 边 08,A C 的 中 点，点 G 在 线 段 上，砺=23月，现 用 基 向 量），砺，能 表 示 向 量 砺，设O G x O A+y O B+z O C,则 x，V，z 的 值 分 别 是（)8.在 正 方 体 ABCDA B C D 中，已 知 下 列 各 式：（而+就）+反“
36、（丽+耳）_ _ _ _ UULM1 _ _ _ UUUU UUU+A G；（而+B B J+B&；（A&+4 4）+4 G.其 中 运 算 的 结 果 为 A C|的 有 个.9.在 四 面 体 ABC。中，E、G 分 别 是 C O、BE的 中 点，若 记 几;=A D=b A C 则 公 1.A B,C,D是 空 间 四 点，有 以 下 条 件:10.已 知 正 方 体 ABCDA B C D 中，若 点 F 是 侧 面 Cl%的 中 心，且 AF=AZ+A H AB-A4,则 m,n 的 值 分 别 为（）1 1 1A.，B.，-2 2 2c-11 1 1D.,2 2 22【题 组 三
37、 空 间 向 量 的 共 面 问 题】能 使 A,B,C,D 四 点 一 定 共 面 的 条 件 是 团=5 X+1 而 近；2 3 O D=-O A+-O B+-O C；2 3 4()OD=-O A+-O B+-O C；2 3 5 1-1-1.O D=OA+OB+OC,2 3 62.设 空 间 任 意 一 点。和 不 共 线 三 点 A B,C,且 点 P 满 足 向 量 关 系 LIL1L U U UUU LIL1UIOP=xOA+yOB+z O C 若 P,AB,C四 点 共 面，则 x+y+z=3.对 于 空 间 任 意 一 点。和 不 共 线 的 三 点 A，B,C,有 如 下 关
38、系：60P=0A+20B+3 0 C，贝（）A.四 点。，A，B,C 必 共 面 B.四 点 P,A，B,C 必 共 面 C.四 点。，P,B,C 必 共 面 D.五 点。，P,A，B,C 必 共 面 4.对 于 空 间 任 意 一 点 0 和 不 共 线 的 三 点 A,B,C,有 如 下 关 系：6OP OA+2OB+30C 则（）A.四 点 0,A,B,C 必 共 面 B.四 点 P,A,B,C 必 共 面 C.四 点 0,P,B,C 必 共 面 1）.五 点 0,P,A,B,C 必 共 面 5.。为 空 间 任 意 一 点，三 点 不 共 线，若 存=,丽+丽+,元，则 A,8,C,P
39、四 3 2 6点（）A.一 定 不 共 面 B.不 一 定 共 面 C.一 定 共 面 D.无 法 判 断 6.已 知 A、B、C 三 点 不 共 线，对 平 面 A B C 外 的 任 一 点。，下 列 条 件 中 能 确 定 点 M 与 点 A、B、C 一 定 共 面 的 是（）_ _ _ _ _ 1._.1 _.A.O M OA+OB+O C B.O M=-O A+-O B+-O C_,1 _.1_ _ _ _ _ _c.O M=O A+-O B+-O C D.O M W A-O B-O C 3 1 1_7.已 知。为 空 间 任 意 一 点，若 OP=OA+zOB+g O C,则 A8
40、,C,P四 点（）4 8 8A.一 定 不 共 面 B.一 定 共 面 C.不 一 定 共 面 D.无 法 判 断【题 组 四 空 间 向 量 的 数 量 积】1.如 图，平 行 六 面 体 ABC。4 4 G 2 中，A5=A O=A4=1,ZBADZBAA,=120,ZDAA,=60,则 AC=()DIK MDABA.1 B.2 C.由 D.V2TT2.如 图，平 行 六 面 体 ABC。一 4 耳 CQi 中，AB=5,A=3,M=7,ZBAD=-,7tN84A=ND4A=-,则 AG 的 长 为.3.如 图，M、N 分 别 是 四 面 体 0 U 3 C的 棱 Q4、的 中 点，P、。
41、是 M N的 三 等 分 点.(1)用 向 量 次,0 B，反 表 示 而 和 丽.(2)若 四 面 体。钻 C 的 所 有 棱 长 都 等 于 1,求。户.0。的 值.4.如 图，三 棱 柱 A B C-4 与 中，底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 等 于 1,ZBA4,=NCA4,=60.(1)设 羽=G,A B=b，A C=c 用 向 量 M，5，%表 示 B g,并 求 出 B G 的 长 度;(2)求 异 面 直 线 A片 与 8 G 所 成 角 的 余 弦 值.5.如 图，三 棱 柱 A B C-A 4 G 中，底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等，ZBA4,=ZCA4,=
42、60,则 异 面 直 线 AB,与 BC,所 成 角 的 余 弦 值 为c6.如 图，已 知 线 段 AB_L平 面 a,BCc a,CD_LBC,I）卜 平 面 a,且/DCF=30,D与 A 在 a 的 同 侧，若 AB=BC=CD=2,求 A,D 两 点 间 的 距 离.1.1空 间 向 量 及 其 运 算 同 步 练 习 答 案 解 析【题 组 一 概 念 的 辨 析】1.在 下 列 结 论 中：若 向 量 出 共 线，则 向 量 出 所 在 的 直 线 平 行；若 向 量,石 所 在 的 直 线 为 异 面 直 线，则 向 量 出 一 定 不 共 面；若 三 个 向 量 a,瓦 c两
43、 两 共 面，则 向 量 a,瓦 c共 面；己 知 空 间 的 三 个 向 量 瓦 入 则 对 于 空 间 的 任 意 一 个 向 量 万 总 存 在 实 数 x,y,z使 得 p xa+yb+zc-其 中 正 确 结 论 的 个 数 是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】A【解 析】平 行 向 量 就 是 共 线 向 量，它 们 的 方 向 相 同 或 相 反，未 必 在 同 一 条 直 线 上，故 错.两 条 异 面 直 线 的 方 向 向 量 可 通 过 平 移 使 得 它 们 在 同 一 平 面 内，故 错，三 个 向 量 两 两 共 面，这 三 个 向 量 未 必 共 面，如
44、 三 棱 锥 P-A 3 C 中，丽，丽,无 两 两 共 面，但 它 们 不 是 共 面 向 量，故 错,根 据 空 间 向 量 基 本 定 理，需 不 共 面，故 错.综 上,选 A.2,下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.若 同=网，则,石 的 长 度 相 等，方 向 相 同 或 相 反 B.若 向 量 是 向 量 石 的 相 反 向 量，则 同=问 C.空 间 向 量 的 减 法 满 足 结 合 律 D.在 四 边 形 A B C。中，一 定 有 福+而=3。【答 案】B【解 析】对 于 A,向 量 的 模 相 等 指 的 是 向 量 的 长 度 相 等,方 向 具 有 不 确 定
45、 性,因 而 不 一 定 方 向 相 同 或 相 反,所 以 A 错 误.对 于 B,相 反 向 量 指 的 是 大 小 相 等,方 向 相 反 的 两 个 向 量.因 而 相 反 向 量 满 足 模 长 相 等，所 以 B 正 确.对 于&减 法 结 合 律 指 的 是-0-0=伍-4-*因 而 由 运 算 可 得 空 间 向 量 减 法 不 满 足 结 合 律.所 以 C 错 误.对 于 D满 足 通+而=前 的 一 定 是 平 行 四 边 形,一 般 四 边 形 是 不 满 足 的，因 而 D错 误.综 上 可 知，正 确 的 为 B,故 选:B3.给 出 下 列 命 题：若 空 间 向
46、 量 万 万 满 足 同=W，则 M=空 间 任 意 两 个 单 位 向 量 必 相 等；对 于 非 零 向 量 c，由 a=5 乙，则 M=在 向 量 的 数 量 积 运 算 中 r 为 r）-rc=ar zr6 cr）.其 中 假 命 题 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】D【解 析】对 于，空 间 向 量 的 方 向 不 一 定 相 同，即 1=5 不 一 定 成 立，故 错 误；对 于，单 位 向 量 的 方 向 不 一 定 相 同，故 错 误；对 于，取 3=（0,取 0）,B=（l,0,0）,c=（0,1,0）,满 足=且 2,但 I*r r r r是 万
47、w b，故 错 误；对 于，因 为 和 力；都 是 常 数，所 以 9 乃 和 表 示 两个 向 量，若 M 和 方 向 不 同 则 和 a e-c）不 相 等，故 错 误.故 选：D.4.给 出 以 下 结 论：空 间 任 意 两 个 共 起 点 的 向 量 是 共 面 的；两 个 相 等 向 量 就 是 相 等 长 度 的 两 条 有 向 线 段 表 示 的 向 量；空 间 向 量 的 加 法 满 足 结 合 律：伍+5）+3=2+仅+-）；首 尾 相 接 的 若 干 向 量 之 和，等 于 由 起 始 向 量 的 起 点 指 向 末 尾 向 量 的 终 点 的 向 量.请 将 正 确 的
48、 说 法 题 号 填 在 横 线 上：.【答 案】【解 析】中，两 个 向 量 共 起 点，与 两 向 量 终 点 共 有 3 个 点，则 3点 共 面，可 知 两 向 量 共 面，正 确；中，两 个 相 等 向 量 需 大 小 相 等，方 向 相 同，错 误；中，空 间 向 量 加 法 满 足 结 合 律，正 确；中，由 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 知 正 确.故 答 案 为：【题 组 二 空 间 向 量 的 线 性 运 算】1.如 图，在 正 方 体 ABC。A 4 G。中，点 M,N 分 别 是 面 对 角 线 A,B与 B D 的 中 点，若 方=a,DC=b,DR=c
49、,则（）C.一 1（az c）、2【答 案】D【解 析】根 据 向 量 的 线 性 运 算 1，、B.（6Z+b-c）1,、D.（c-a）2MN=+A N=（地+A C=g（BA+BCj=Lb+c)+(b-a)=g 传 一 G)所 以 选 D2.在 四 面 体 ABC。中，点 F 在 A D 上，且 AF=2ED，E 为 8 c 中 点，则 瓦 等 于()1 I?-A.EF-A C+-AB AD2 2 3 1 1 2-C.EF=-AC-AB+-AD2 2 3B.EF-AC-AB+-AD2 2 3I).EF-AC+-AB-AD2 2 3【答 案】B1 Q 1 1 0【解 析】EF=EB+BA+A
50、F=-(A B-AC)-AB+-AD-A C-AB+-A D.故 选：B3.如 图 所 示，在 空 间 四 边 形 OABC 中，砺=5,砺=6 反=5，点 M 在。4上，且 U U U UUUI _ _OM=2MA,N 为 BC 中 点、,则 M N=()A.-a-b+-c2 3 2C.乙 一 ir i-B.a+b+c3 2 2D.2 5+2rb 1c3 3 2【答 案】B_ i 2.?1 1【解 析】由 向 量 的 力 口 法 和 减 法 运 算：MN=O N-O M=-(O B+O C)-O A=一 一 a+-b+-c.2 3 3 2 2故 选：B4.如 图，平 行 六 面 体 A B