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1、简单的线性规划（三）教学目的：1能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题；2增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解 教学难点：最优解是整数解 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入 1二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标（x，y)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此
2、直线的某一侧取一特殊点（x0，y0)，从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）2 目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数由于 t=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示 一般
3、地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 那么，满足线性约束条件的解（x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域.其中可行解),(),(1100yxByxA(一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 3用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）；（2）设 t=0，画出直线0l；（3）观察、分析，平移直线
4、0l，从而找到最优解),(),(1100yxByxA；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值 二、讲解新课 1第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？例 1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 1 t，需耗 A种矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品需耗 A种矿石 4 t、B种矿石 4 t、煤 9 t.每 1 t 甲种产品的利润是 600 元，每 1 t 乙种产品的利润是 1000 元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A种矿石不超过 360 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 300 t
5、，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到 t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：产品 消耗量 资源 甲产品（1 t）乙产品(1 t)资源限额（t）A种矿石（t）10 4 300 B 种矿石(t)5 4 200 煤(t)4 9 360 利润（元）600 1000 解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t、y t，利润总额为 z 元，那么;0,0,36094,20045,300410yxyxyxyx 目标函数为：z=600 x+1000y 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域 作直线l：600 x+1000y=0，即直线 l：3x+5y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线
6、经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=600 x+1000y 取最大值 解方程组,36094,20045yxyx 王新敞10 x+4y=3004x+9y=3605x+4y=2003x+5y=09075504040300 xy得 M 的坐标为 x=29360，y=291000 答：应生产甲产品约 t，乙产品 t，能使利润总额达到最大 2第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 例 2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2
7、 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，根据题意可得：.0,0,273,182,152yxyxyxyx 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：目标函数为z=x+y，作出在一组平行直线x+y=t（t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线 x+3y=37 和直线 2x+y=15 的交点 A（539,518），直线方程为x+y=557 由于539518和都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y 必
8、须满足C(4,8)B(3,9)A王新敞2x+y=15x+2y=18x+3y=27x+y=0277.5159180 xyx，yZ，所以，可行域内点(539,518)不是最优解 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是 x+y=12，经过的整点是 B(3，9)和 C(4，8)，它们是最优解 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张，两种方法都最少要截得两种钢板共 12 张 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性
9、规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 三、课堂练习 课本64P练习 2：解：将已知数据列为下表：产品 消耗量 资源 甲产品（1 杯）乙产品(1 杯)资源限额（g）奶粉（g）9 4 3600 咖啡(g)4 5 2000 糖(g)3 10 3000 利润（元）设每天应配制甲种饮料 x 杯，乙种饮料 y 杯.则，003000103200054360049yxyxyxyx 作出可行域：目标函数为：z=+作直
10、线 l：+=0把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 C，且与原点距离最大，此时 z=+取最大值 解方程组,3000103,200054yxyx 得点 C 的坐标为（200，240）所以，每天应配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯，能使该咖啡馆获利最大 四、小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解 五、课后作业 1某工厂生产甲、
11、乙两种产品，已知生产甲产品 1 吨，需要煤 9吨，需电 4 瓦，工作日 3 个（一个 2 人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品 1 吨，需要用煤 4 吨，需电 5 瓦，工作日 12 个，又知甲产品每吨售价 7 万元，乙产品每吨售价 12 万元，且每天供煤最多360 吨，供电最多 200 瓦，全员劳动人数最多 300 人，问每天安排生C(200,240)王新敞9x+4y=36004x+5y=20003x+10y=30007x+12y=0400400300500 10009000 xy产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品 x 吨，乙种产品 y 吨，则约束条件为：0,03001232005436049yxyxyxyx 线性目标函数为z=7x+12y 可行域如图所示：由图可知当过点（8135,2165）时，z 最大 zmax=780（万元）答：最大产值为 780 万元 六、板书设计（略）七、课后记 王新敞3x+12y=3004x+5y=2009x+4y=3607x+12y=0401002590400 xy