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1、线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为 0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122.iiiiininDa Aa Aa A1,2,.,in1122.iiiininiDa Aa Aa A1,2,.,in例 1、计算行列式2240413531232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AXBX ABA X BC若系数矩阵
2、可逆，则1XA B1XB A11XA CB切记不能写成11XAB C或CXAB求逆矩阵的方法：1、待定系数法()ABEBAE或2、伴随矩阵法11AAA其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -112111222212.nnnnnnAAAAAAAAAA3、初等变换法1AEEA初等行变换例 2、解矩阵方程315614165278910X例 3、解矩阵方程XAXB，其中010111101A112053B三、解齐次或非齐次线性方程组设ijm nAa，n元齐次线性方程组0AX有非零解()r A
3、nn元齐次线性方程组0AX只有零解()r An。当mn时，n元齐次线性方程组0AX只有零解0A。当mn时，n元齐次线性方程组0AX有非零解0A。当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组0AX的解1,.,t满足：（1）1,.,t线性无关，（2）0AX的每一个解都可以由1,.,t线性表示。则1,.,t叫做0AX的基础解系。定理 1、设m nA，齐次线性方程组0AX，若()r Arn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。齐次线性方程组的通解11.n rnrxkk1,.,n rkkR名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共
4、 7 页 -设ijm nAa，n元非齐次线性方程组AXB有解()()r Ar A。唯一解()()r Ar An。无数解()()r Ar An。无解()()r Ar A。非齐次线性方程组的通解11.nrn rxkk，1,.,nrkkR例 4、求齐次线性方程组12341234123420202220 xxxxxxxxxxxx的通解例 5、求非齐次线性方程组1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx的通解。四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例 6、当为何值时，齐次线性方程组0020 xyzxyzxyz有非零解，并求解。例 7、已知线性方程组12312321232
5、222xxxxxxxxx，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性12,.,s线性相关12,.,(2)ss中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为 0 的数12,.,sk kk使得1122.0sskkk。1212,.,0.sskkk列有非零解1212,.,0.ssk kk行有非零解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -12/12,.,0.sskkk有非零解12,.,srs/12,.,srs12,.,s线性无关12,.,(2)ss中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若1122.0sskkk，则12.0s
6、kkk。1212,.,0.sskkk列只有零解1212,.,0.ssk kk行只有零解12,.,srs12/12,.,0.sskkk/12,.,srs特殊的，n个n维向量12,.,n线性相关12,.,0n或120.n。n个n维向量12,.,n线性无关12,.,0n或120.n。例 8、已知向量组1,2,1t，22,0t，31,1,1，讨论t使该向量组（1）线性相关（2）线性无关六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -设向量组12:,.,sA，若从A中选出r个向量构成向量组120:,.,riiiA满足：
7、（1）0A线性无关（2）A中的每一个向量都能由0A线性表示，条件（2）换一句话说A的任意1r个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A中向0A任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。则0A叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作12,.,srr求向量组的秩的方法：（1）扩充法（2）子式法12.mm n12,.,mn m最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。（3）初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例 9、设向量组1234(
8、1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,3)求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题1PAPB相似矩阵的性质:1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若A与B相似，则kA与kB相似，kN，则()A与()B相
9、似。11111().kkkBPAPP APP AP PAPP A PnA与12n相似nA有n个线性无关的特征向量12,.,nppp，且以它们为列向量组的矩阵P使1PAP，12,.,n分别为与12,.,nppp对应的nA的特征值。若nA有n个 互 不 相 等 的 特 征 值12,.,n，则nA一 定 与12n相似。nA与相似对应于nA的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。()nrEAk其中k为的重数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -例 10、设矩阵12422421Ax与50000004By相似（1）求 x 与 y；（2）求可逆矩阵P，使1
10、PAPB。例 11、设00111100aA，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。例 12、设三阶矩阵A的特征值为11，22，33，对应的特征向量依次为/11,1,1，/21,2,4，/31,3,9，求矩阵A。例 13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1，与特征值1对应的特征向量为11,1,1，求A。八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵例 14、化二次型222123123121323(,)564610f x xxxxxx xx xx x为标准型，并求所用可逆线性变换的矩阵。例 15、化二次型123121323(,)226f x x xx xx xx x为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -