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1、 相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为 8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A B、不重合），过点M作MNBC，交AC于点N，在AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h（1）请你用含x的代数式表示h（2）将AMN沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，1AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MNBCQ AMNABC 68hx 34xh （2）1AMNAMNQ 1AMN 的边MN上的高为h，当点1A落在四边形BCNM内或BC边上时，1AMNyS
2、=211332248MN hxxx（04x）当1A落在四边形BCNM外时，如下图(48)x，设1AEF的边EF上的高为1h，则132662hhx 11EFMNAEFAMNQ 11AMNABCAEFABCQ 1216AEFShS ABC 16 8242ABCS Q 22363224122462EFxSxx1A 1122233912241224828AMNAEFySSxxxxx Q 所以 291224(48)8yxxx 综上所述：当04x 时，238yx，取4x，6y最大 当48x 时，2912248yxx，取163x，8y最大 86Q 当163x 时，y最大，8y最大 M N C B E F A
3、 A1 2如图，抛物线经过(4 0)(1 0)(02)ABC，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作PMx轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）Q该抛物线过点(02)C，可设该抛物线的解析式为22yaxbx 将(4 0)A，(1 0)B，代入，得1642020abab.，解得1252ab.，此抛物线的解析式为215222yxx （2）存在 如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为215222mm，当14m 时，4AMm，215222PMmm
4、 又90COAPMA Q，当21AMAOPMOC时，APMACO，即21542222mmm 解得1224mm，（舍去），(21)P，当12AMOCPMOA时，APMCAO，即2152(4)222mmm 解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m 时，(2 1)P，类似地可求出当4m时，(52)P，当1m时，(314)P ，综上所述，符合条件的点P为(2 1)，或(52)，或(314)，3如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx 相交于点Cll12，、分别交x轴于A B、两点矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在x轴上，且点G与点B重合 （1）求ABC的
5、面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)tt 秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围 【答案】（1）解：由28033x，得4xA 点坐标为 4 0，由2160 x ，得8xB 点坐标为80，8412AB A D B E O C F x y1ly 2l（G）由2833216yxyx ，解得56xy，C点的坐标为 56，111263622ABCCSAB y （2）解：点D在1l上且2888833DBDxxy ，D点坐标为88，又点E在2l
6、上且821684EDEEyyxx ，E点坐标为 48，8448OEEF ，（3）解法一：当03t 时，如图 1，矩形DEFG与ABC重叠部分为五边形CHFGR（0t 时，为 四 边 形CHFG）过C作CMAB于M，则RtRtRGBCMB BGRGBMCM，即36tRG，2RGt RtRtAFHAMCQ，11236288223ABCBRGAFHSSSStttt 即241644333Stt 当83 t时，如图 2，为梯形面积，G（8t,0）GR=32838)8(32tt,3803832838)4(32 421ttts 当128t时，如图 3,为三角形面积，4883)12)(328(212tttts
7、 A D B E O R F x y1l2l M（图 3）G C A D B E O C F x y1l2l G（图 1）R M A D B E O C F x y1l2l G（图 2）R M 4如图，矩形ABCD中，3AD 厘米，ABa厘米（3a）动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于PQ，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒 （1）若4a 厘米，1t 秒，则PM _厘米；（2）若5a 厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求
8、a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）34PM，（2）2t，使PNBPAD，相似比为3:2（3）PMABCBABAMPABC Q，AMPABC，PMAMBNAB即()PMatt atPMtaaQ，(1)3t aQMa 当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QPAD DQMPBN BM()33(1)()22t attaatt taa 化简得66ata，3tQ，636aa，则636aa ，（4）36aQ时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等 梯
9、形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPM()3tatta ，把66ata代入，解之得2 3a ，所以2 3a 所以，存在a，当2 3a 时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等 D Q C P N B M A D Q C P N B M A 5如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说
10、明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？【答案】解：(1)BPQ 是等边三角形,当 t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是等边三角形.(2)过 Q作 QE AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2tsin600=3t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 SBPQ=21BPQE=21(6-t)3t=23t2+33t；(3)因为 QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，
11、又因为C=600,所以QRC是等边三角形,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQ cos600=212t=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EPQR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ=3t,又因为PEQ=900,所以APR=PRQ=900.因为APR PRQ,所以QPR=A=600,所以 tan600=PRQR,即3326tt,所以 t=56,所以当 t=56时,APR PRQ 6在直角梯形 OABC 中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3 5分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平
12、面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD5，OE2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F 求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 A B D E（第 26 题 图 1）F C O M N x y 图 7-2 A D O B C 2 1 M N 图 7-1 A D B M N 1 2 图 7-3 A D O B C 2 1 M N O .7在图 15-1至图 15-3中，直线
13、MN 与线段 AB相交 于点 O，1=2=45 （1）如图 15-1，若 AO=OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到 图 15-2，其中 AO=OB 求证：AC=BD，AC BD；（3）将图 15-2中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到 图 15-3，求ACBD的值 【答案】解：（1）AO=BD，AOBD；（2）证明：如图 4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，ACO=BEO 又AO=OB，AOC=BOE，AOC BOEAC=BE 又1=45，ACO=BEO=135 DEB=45 2=45，BE=BD，EBD=
14、90 AC=BD 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图4BEAC，AFD=90 ACBD（3）如图 5，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，BEO=ACO 又BOE=AOC，BOE AOC AOBOACBE 又OB=kAO，由（2）的方法易得 BE=BDkACBD 10如图，已知过 A（2，4）分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N，若点 P从 O点出发，沿 OM作匀速运动，1 分钟可到达 M点，点 Q从 M点出发，沿 MA作匀速运动，1 分钟可到达 A点。（1）经过多少时间，线段 PQ的长度为 2？（2）写出线段 PQ长度的平方 y 与时间 t 之间的函数关系式和 t 的取值范围；（3）在 P、Q运动过程中，是否可能出现 PQ MN？若有可能，求出此时间 t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间 t，使 P、Q、M构成的三角形与MON 相似？若存在，求出此时间 t；若不可能，请说明理由；Y N A Q O P M X （本试题由冯老师数学工作室整理提供 http:/ 4 A D O B C 2 1 M N E F A O B C 1 D 2 图 5 M N E