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1、第二节 对等与基数第一章 集合及其基数定义定义11：设：设X,YX,Y是两个非空集合，若依照对应法则是两个非空集合，若依照对应法则 ff，对，对XX中的中的每个每个xx，均存在，均存在YY中中唯一唯一的的yy与之对应，则与之对应，则称这个称这个对应法则对应法则 f f 是从是从 X X 到到 Y Y 的一个映射，记作的一个映射，记作 f:f:XYXY。XX称为称为ff的定义域。的定义域。映射的定义当映射f 使y与x对应时，y称为x在映射f 下的像。像的全体组成值域。对于某一固定的y，称适应关系y=f(x)的x的全体是元素y在映射f 下的原像。注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.
2、A.Zadeh例例112、实数的加法运算+:RRR RRR 1、定积分运算 为从a,b 上的可积函数集到实数集的映射。3、集合A 的特征函数（集合A 与特征函数互相决定）称 为集A 的特征函数，定义2：设X,Y 是两个非空集合，集合X 到集合Y上的一一映射f 满足：(1)单射：(2)满射：既是单射又是满射的映射称为双射或一一映射。2 2 集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f 为单射，7）等号成立当且仅当f 为满射证明的过程略证明的过程略3 对等与势1）
3、设A,B 是两非空集合，若存在着A 到B 的一一映射（既单又满），则称A 与B 对等,注：称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,3,5,7,9,11,13,15,.1,3,5,7,9,11,13,15,.2,4,6,8,10,12,14,16.2,4,6,8,10,12,14,16.n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.,-5,-
4、4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.例例22有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例2Galileo 在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor 开始系统考虑.基数的大小比较4 Bernstein 定理例：由 可知，试问如何构造两者间的既单又满的映射。BernsteinBernstein定理的证明定理的证明fBernstein Bernstein 定理的证明 定理的证明证明:AABBggffBernstein Bernstein 定理的证明（续）定理的证明（续）AABBggggffffffAABBffggffffggBernstein Bernstein 定理的证明（续）定理的证明（续）Bernstein Bernstein 定理的证明 定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.