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1、第二节第二节 对等与基数对等与基数(jsh)第一章第一章 集合集合(jh)及其及其基数基数第一页，共16页。定义定义1：设：设X,Y是两个是两个(lin)非空集合，若依照非空集合，若依照对应法则对应法则 f，对，对X中的每个中的每个x，均存在，均存在Y中唯一的中唯一的y与与之对应，则称这个对应法则之对应，则称这个对应法则 f 是从是从 X 到到 Y 的一个映的一个映射，记作射，记作 f:XY。X称为称为f的定义域。的定义域。映射映射(yngsh)的定的定义义当映射当映射f使使y与与x对应时，对应时，y称为称为(chn wi)x在映射在映射f下的像。像的全体组成值域。下的像。像的全体组成值域。对
2、于某一固定的对于某一固定的y，称适应关系，称适应关系y=f(x)的的x的全体的全体是元素是元素y在映射在映射f下的原像。下的原像。第二页，共16页。注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh例例例例1 12、实数的加法(jif)运算+:RRR 1、定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射。3、集合A的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称 为集A的特征函数，第三页，共16页。定义定义2：设：设X,Y是两个是两个(lin)非空集合，集合非空集合，集合X到集合到集合Y上的一一映射上的一一映射f满足：满足：(1)单射：单射：(2)满射：满射：既是单射又是满射的映射(
3、yngsh)称为双射或一一映射(yngsh)。第四页，共16页。2 2 集合运算关于映射集合运算关于映射集合运算关于映射集合运算关于映射(yngsh)(yngsh)的性质（像集）的性质（像集）的性质（像集）的性质（像集）第五页，共16页。集合集合(jh)运算关于映射的性质（原像集）运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般(ybn)不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明(zhngmng)的过程略第六页，共16页。3 对等与势对等与势1）设A,B是两非空集合，若存在(cnzi)着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有
4、相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定第七页，共16页。1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,3,5,7,9,11,13,15,.2,4,6,8,10,12,14,16.n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.例例2 2第八页，共16页。有限集与无限集的本质区别：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同无限集可与其某个真子集合有相同(xin tn)多的元素多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例例2Galileo
5、在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少(dusho),1870Cantor开始系统考虑.第九页，共16页。基数的大小(dxio)比较第十页，共16页。4 Bernstein定理定理(dngl)例：由 可知 ，试问如何构造两者间的既单又满的映射。第十一页，共16页。Bernstein定理定理(dngl)的证明的证明f第十二页，共16页。BernsteinBernstein定理定理定理定理(dngl(dngl)的证明的证明的证明的证明证明证明(zhngmng):ABgf第十三页，共16页。BernsteinBernstein定理定理定理定理(dngl(dngl)的证明（续）的证明（续）的证明（续）的证明（续）ABggfff第十四页，共16页。ABfgffgBernsteinBernstein定理定理定理定理(dngl(dngl)的证明（续）的证明（续）的证明（续）的证明（续）第十五页，共16页。BernsteinBernstein定理定理定理定理(dngl(dngl)的证明的证明的证明的证明此处都是关于映射此处都是关于映射g,如果不是如果不是(b shi)同一映射同一映射,则不一定成立则不一定成立.第十六页，共16页。