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1、 20.4一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系第二类曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧 设曲面设曲面 是光滑曲面，是光滑曲面，是曲面上任一定
2、点曲面是曲面上任一定点曲面在点在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择处有一条法线，它有两个可能的方向，选择其中之一为指定的法线方向，记为其中之一为指定的法线方向，记为 又设又设L是光滑是光滑曲面曲面 上过点上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从且不越过曲面边界的任意闭曲线，从而，当动点而，当动点M从从 出发沿闭曲线出发沿闭曲线L连续移动时，曲面连续移动时，曲面在点在点M的法线方向也随之连续变动若的法线方向也随之连续变动若M回到回到 时时得到的法线方向与得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面一致，则称光滑曲面 为双侧曲面；为双侧曲面；若存在这样一条闭曲线，当点若存在这样一条闭曲线，当点M沿
3、这条闭曲线移动后沿这条闭曲线移动后再回到点再回到点 时得到的法线方向与时得到的法线方向与 相反，则称曲面相反，则称曲面为单侧曲面为单侧曲面曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:播放播放方向余弦0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧外侧内侧侧的规定表示:其方向用法向量指向 指定了侧的曲面叫有向曲面,曲面法向量的指向决定曲面的侧曲面法向量的指向决定曲面的侧.曲面的投影问题曲面的投影问题:在xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨
4、论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.1.分割分割则该点流速为则该点流速为 .法向量为法向量为 .2.求和求和3.3.取极限取极限三、概念及性质三、概念及性质被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A 在有向曲面上对坐标的曲面积定义定义.引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在
5、有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R在有向曲面上对对x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P在有向曲面上对对y,z 的曲面积分的曲面积分;存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:性质性质:四、计算法(一投一投,二代二代,三定号三定号)注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.解解例2：计算曲面积分其中 是长方体 的整个表面积的外侧五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式例例3.设是其外法线与z 轴正向夹成的锐角,计算解解:解解六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分
6、的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.“b.“一投一投,二代二代,三定号三定号”4 第二曲面积分第二曲面积分曲面的侧设一光滑曲面 的方程为其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐
7、角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光滑曲面S的方程为 或 ，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示的非闭的光滑曲面 ，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。于是曲面的法线方向余弦为其中 还要假设 上无奇点，即 在任一点不同时为零。注意 都是在 内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。二、第二类曲面积分的定义 设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面
8、 上的单位法向量 ，又设 是一个向量其中 都是连续函数。按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块 ，在 内任取一点 ，作向量 ，再作和式 令 ，如果极限 存在，并且此极限与点 的选取无关，又与 的划分无关，则称它是 性质即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于 又可将 写为其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有 ，当选取下侧时有 ，再如当曲面选取为右侧时有 ，当选取左侧有 ，等等。这时，第二类曲面积分可写为若记曲面的单位法向量 为则有三、两类曲面积分间的联系由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式或者 上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，
9、右端是第一类曲面积分。四、第二类曲面积分的计算计算第二类曲面积分 需视曲面 如何表示而定。1曲面 表示为若曲面 的方向选取为上侧，则 右端是一个二重积分。若曲面 的方向选取为下侧，则2 曲面 表示为 则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为右侧则选取“+”，若 为左侧则选取“-”。3 曲面 表示为则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为前侧则选取”+“，若 为后册则选取”-“4.若曲面 表示为由二重积分变量代换知道上面三个式子的右端都是二重积分，其符号的选取为：若 的侧为上侧，则（3）式右端的符号选取“+”，否则为“-”，若 侧为右侧，则（2）式右端的符号取“+”，否则为“-”，若 的侧为前侧，则（1）式右端的符号取“+”，否则取“-”。以上所得结果都可推广到更一般情况，即曲面 为一片一片的有限个光滑曲面所合成，这时沿曲面 的积分等于沿这有限个光滑曲面的积分之和。例一 计算 ，是四面体 所成的曲面（图21-12），且设积分是沿曲面的外侧。例二 计算 ，其中 是球面 ，且设积分是沿球面外侧。例三计算积分其中 是椭球面 的上半部，且设积分沿椭球面的上侧。