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1、一、有向曲面及曲面元素的投一、有向曲面及曲面元素的投影影曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)第1页/共61页观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧第2页/共61页 设曲面 是光滑曲面，是曲面上任一定点曲面在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择其中之一为指定的法线方向，记为 又设L是光滑曲面 上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从而，当动点M从 出发沿闭曲线L连续移动时，曲面在点M的法线方向也随之连续变动若M回到 时得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面 为双侧曲面；若存在这样一条闭曲线
2、，当点M沿这条闭曲线移动后再回到点 时得到的法线方向与 相反，则称曲面为单侧曲面第3页/共61页曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面;2.2.单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面第4页/共61页莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放第5页/共61页方向余弦0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧外侧内侧侧的规定表示:其方向用法向量指向 指定了侧的曲面叫有向曲面,第6页/共61页曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.曲面的投影问题曲面的投影问题:在xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定第7页/共61页二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量
3、.第8页/共61页第9页/共61页1.分割则该点流速为 .法向量为 .第10页/共61页2.求和第11页/共61页3.3.取极限第12页/共61页三、概念及性质三、概念及性质第13页/共61页被积函数积分曲面类似可定义第14页/共61页设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A 在有向曲面上对坐标的曲面积定义定义.第15页/共61页引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R在有向曲面上对对x,y
4、 的曲面积分的曲面积分.称为P在有向曲面上对对y,z 的曲面积分的曲面积分;第16页/共61页存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:第17页/共61页性质性质:第18页/共61页四、计算法(一投一投,二代二代,三定号三定号)第19页/共61页第20页/共61页注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.第21页/共61页解解第22页/共61页第23页/共61页例2：计算曲面积分其中 是长方体 的整个表面积的外侧第24页/共61页五、两类曲面积分之间的联系第25页/共61页第26页/共61页两类曲面积分之间的联系第27页/共61页向量形式
5、向量形式第28页/共61页例例3.设设是其外法线与z 轴正向夹成的锐角,计算解解:第29页/共61页解解第30页/共61页第31页/共61页六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.b.“一投一投,二代二代,三定号三定号”第32页/共61页 4 第二曲面积分第49页/共61页一.曲面的侧设一光滑曲面 的方程为其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为第50页/共61页由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随
6、点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光滑曲面S的方程为 或 ，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示第51页/共61页的非闭的光滑曲面 ，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。于是曲面的法线方向余弦为其中 还要假设 上无奇点，即 在任一点不同时
7、为零。注意 都是在 内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。第52页/共61页二、第二类曲面积分的定义 设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面 上的单位法向量 ，又设 是一个向量其中 都是连续函数。按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块 ，在 内任取一点 ，作向量 ，再作和式 令 ，如果极限 存在，并且此极限与点 的选取无关，又与 的划分无关，则称它是 第53页/共61页性质即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于 又可将 写为其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有 ，当选取下侧时有
8、，再如当曲面选取为右侧时有 ，当选取左侧有 ，等等。这时，第二类曲面积分可写为第54页/共61页若记曲面的单位法向量 为则有第55页/共61页三、两类曲面积分间的联系由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式或者 上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是第一类曲面积分。第56页/共61页四、第二类曲面积分的计算计算第二类曲面积分 需视曲面 如何表示而定。1曲面 表示为若曲面 的方向选取为上侧，则 右端是一个二重积分。若曲面 的方向选取为下侧，则2 曲面 表示为 则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为第57页/共61页右侧则选取“+”，若 为左侧则选取“-”。3 曲面
9、 表示为则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为前侧则选取”+“，若 为后册则选取”-“4.若曲面 表示为由二重积分变量代换知道第58页/共61页上面三个式子的右端都是二重积分，其符号的选取为：若 的侧为上侧，则（3）式右端的符号选取“+”，否则为“-”，若 侧为右侧，则（2）式右端的符号取“+”，否则为“-”，若 的侧为前侧，则（1）式右端的符号取“+”，否则取“-”。以上所得结果都可推广到更一般情况，即曲面 为一片一片的有限个光滑曲面所合成，这时沿曲面 的积分等于沿这有限个光滑曲面的积分之和。第59页/共61页例一 计算 ，是四面体 所成的曲面（图21-12），且设积分是沿曲面的外侧。例二 计算 ，其中 是球面 ，且设积分是沿球面外侧。例三计算积分其中 是椭球面 的上半部，且设积分沿椭球面的上侧。第60页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页