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1、第五章 概率及概率分布朴姬顺朴姬顺一、概率的定义一、概率的定义l在不变的一组条件S下，重复作n次试验，记m是在n次试验中事件A发生的次数。当试验的次数n很大时，如果频率m/n稳定在某一数值p的附近摆动；而且一半说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度越变越小，则称A为随机事件，记作P(A)=pl频率具有稳定性的事件叫做随机事件，频率的稳定值叫做该事件的概率。l例5.1盒子中装有五个球（三个白球、二各黑球）从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？P(取到白球）=3/5l例5.2盒中装球如上例，现从中任取两个，问两个球全是白球的概率是多少？P(全白）=3/10二、古典概型l称一个事件组A1，A2，A
2、n为等可能完备事件组，如果它具有下列性质：1.一切可能的结果是有限的；2.A1，A2，An发生的机会相等（等可能性）3.在任一次试验中，至少有一个发生（完备性）且至多有一个发生（互不相容性）等可能完备事件组称为等概基本事件组；其中Ai（i=1,2,，n）称为基本事件。二、古典概型l若所有可能结果总数为n，随机事件B由m个基本事件构成，则事件B的概率为 P(B)=m/nl古典概型古典概型就是利用P(B)=m/n来讨论的概率模型。l例5.3设有一批产品共100件，其中有5件次品，现从中任取50件，问无次品的概率是多少？l例5.4条件组同例5.3，问：恰有两件次品的概率是多少？三、概率的加法与乘法三
3、、概率的加法与乘法（一）加法事件的包含与相等事件的和与积事件的互不相容性概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)（二）概率的乘法（二）概率的乘法l独立性l乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)独立试验概型（非等概）独立试验概型（非等概）l在此概型中，基本事件的概率可以直接计算出来；单它与古典概型不同，这些基本事件不一定是等概的。l例5.10掷一均匀分币，独立重复五次，求其中恰有两次正面朝上的概率？n=25=32个（基本事件）“恰有两次正面朝上”=10个（基本事件）如果掷的分币非均匀，出现如果掷的分币非均匀，出现“上上”的概率为的概率为2/3，出现，出现“下下”的概率为的概率为1/3，则
4、，则P(“恰有两次正面朝上恰有两次正面朝上”)=？定理（独立试验序列概型计算公式）定理（独立试验序列概型计算公式）l设单次试验中，试验A发生的概率为p(0p0表示测验成绩在平均数之上，表示测验成绩在平均数之上，Z0表表示测验成绩在平均数之下，示测验成绩在平均数之下，Z=0表示测验成绩与平均数相等。表示测验成绩与平均数相等。2.标准分数标准分数Z的取值范围在的取值范围在-3到到+3之间，之间，Z分数的意义可以用分数的意义可以用正态分布曲线下的面积比例作出最好的解释。正态分布曲线下的面积比例作出最好的解释。34.13%34.13%13.59%2.14%720.13%13.59%2.14%0.13%
5、48平均分平均分6096842436平均分平均分60 标准差标准差12标准分数标准分数Z和百分等级和百分等级PR之间的关系之间的关系34.13%34.13%13.59%2.14%10.13%13.59%2.14%0.13%-1032-3-2测验成绩服从正态分布的情况下，其对应的百分等级测验成绩服从正态分布的情况下，其对应的百分等级PR与一个以标准分数与一个以标准分数Z为界点的正态曲线左尾部面积比例数为界点的正态曲线左尾部面积比例数相对应。这个对应关系可通过查正态分布表确定。相对应。这个对应关系可通过查正态分布表确定。例：例：Z=-1时，时，PR=15.87。Z=1时，时，PR=84.13 Z=
6、0时，时，PR=50。Z=1.75时，时，PR=95.994,Z=1.25时，时，PR=?0.13%34.13%34.13%13.59%2.14%720.13%13.59%2.14%48平均分平均分6096842436平均分平均分60 标准差标准差12CEEB分数分数离差离差IQ(SD=15)Z分数分数0+2+1-1+3-2-3T分数分数50706040803020500700600400800300200100130115851457055-4+41090100900图图6-5 几种标准分数关系图几种标准分数关系图标准分数在我国高考中的试点应用标准分数在我国高考中的试点应用l现状：我国现存两
7、种分数制度原始分数制度高考标准分制度l原因高考标准化的重要环节高考中使用原始分数的局限性l不能反映考试分数相对于团体的位置信息l不同科目/同科不同次考试之间分数可比性差l原始分数制度中，各科分数标准差的大小对各个科目分数在录取中的比重也有一定的影响。高考标准分制度：高考标准分制度：l根据教育统计、教育测量、教育评价等科学原理，按照一定规则把原始分数转化为具有相同意义、相同单位和共同参照点并能刻画考试分数在总体中位置的分数制度。l由常模量表分数(包括全国常模和省常模)、等值量表分数组成。由于高考是全国统一考试，分省录取，故标准分数转换有两种情况。l能准确刻画考生成绩在总体中的位置，使不同学科的成
8、绩能够进行比较学科语文数学外语物理化学综合分标准分591732662681581694百分等级81.998.894.796.579.197.4表表6-6 高考成绩通知单高考成绩通知单高考标准分转换方法：高考标准分转换方法：在现行试点使用的高考标准分转换方案中，一律采在现行试点使用的高考标准分转换方案中，一律采用正态化转换方案。具体转换步骤如下：用正态化转换方案。具体转换步骤如下：(1)将同类考生的学科原始分数从大到小进行排序。将同类考生的学科原始分数从大到小进行排序。(2)计算每一个分数计算每一个分数Xi以下的考生占考生总数的百分比以下的考生占考生总数的百分比Pi或百或百分等级分等级PRi。(
9、3)由每个原始分数对应的百分比由每个原始分数对应的百分比Pi或百分等级或百分等级PRi，利用正，利用正态分布表，经过简单计算，即可确定所对应的正态分数态分布表，经过简单计算，即可确定所对应的正态分数Zi，从而得到每一个原始分数所对应的标准分。从而得到每一个原始分数所对应的标准分。(4)进行线性变换，我们确定的量表平均分为进行线性变换，我们确定的量表平均分为500，标准差为，标准差为100，线性变换公式为：，线性变换公式为：D=500+100Zi 从而得到常模量表分数。从而得到常模量表分数。确定录取分数线确定录取分数线例：某区拟对参加是学竞赛的2000名人中前500人予以奖励，考试的平均分数为7
10、5分，标准差为9，问授奖的分数线是多少？确定等级评定的人数确定等级评定的人数例：500名学生的逻辑思维能力呈正态分布，拟将之分成A、B、C、D、E五个等距的等级，问各等级Z值分界点是多少？各等级应当有多少人？品质评定数量化品质评定数量化等级各位教师评定的人数教师甲教师乙教师丙优1040良201012中51220差5108极差040总和404040被评学生评定者甲乙丙A优良中B良优中表表5.5 5.5 三位教师对三位教师对4040名学生普通话比赛等级评定的数量化分数名学生普通话比赛等级评定的数量化分数等级等级评定者评定者教师甲教师甲教师乙教师乙教师丙教师丙N N比率比率本组本组1/21/2至至一
11、下面一下面积之和积之和中位数中位数N N比率比率本组本组1/21/2至至一下面一下面积之和积之和中位数中位数N N比率比率本组本组1/21/2至至一下面一下面积之和积之和中位数中位数优优10100.250.250.8750.8751.150 1.150 4 40.10.10.950.951.645 1.645 0 00 00 00.000 0.000 良良20200.50.50.50.50.000 0.000 10100.30.30.7750.7750.755 0.755 12120.30.30.850.851.036 1.036 中中5 50.130.130.18750.1875-0.887
12、-0.887 12120.30.30.50.50.000 0.000 20200.50.50.450.45-0.126-0.126 差差5 50.130.130.06250.0625-1.534-1.534 10100.30.30.2250.225-0.755-0.755 8 80.20.2极差极差0 00 00 00.000 0.000 4 40.10.10.050.05-1.645-1.645 0 00 0总和总和404040404040学生A：(1.150+0.755-0.126)/3=0.593学生B：(0.000+1.645-0.126)/3=0.506表表5.5 5.5 三位教师对
13、三位教师对4040名学生普通话比赛等级评定的数量化分数名学生普通话比赛等级评定的数量化分数等级评定者教师甲教师乙教师丙N比率本组1/2至一下面积之和中位数N比率本组1/2至一下面积之和中位数N比率本组1/2至一下面积之和中位数优100.250.8751.150 40.10.951.645 0000.000 良200.50.50.000 100.250.7750.755 120.30.851.036 中50.130.1875-0.887 120.30.50.000 200.50.45-0.126 差50.130.0625-1.534 100.250.225-0.755 80.2极差0000.000 40.10.05-1.645 00总和404040学生A:(1.150+0.755-0.126)/3=0.593学生B 0.000+1.645-0.126)/3=0.506