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1、第四节 基本不等式1.1.基本不等式：基本不等式：(1)(1)基本不等式成立的条件是基本不等式成立的条件是_._.(2)(2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当_时取等号时取等号.(3)(3)称为正数称为正数a,ba,b的的_，称为正数称为正数a,ba,b的的_._.(4)(4)语言叙述：两个正数的语言叙述：两个正数的_不小于它们的不小于它们的_._.a0,b0a0,b0a=ba=b算术平均数算术平均数几何几何平均数平均数算术平均数算术平均数几何平几何平均数均数2.2.基本不等式的变形基本不等式的变形(1)a+b_(a,b0).(1)a+b_(a,b0).(2)a(2)a2 2+
2、b+b2 2_(a,bR)._(a,bR).(3)(3)2ab2ab3.3.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值(1)(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a a，b b为为正实数，且正实数，且a ab bM M，M M为定值，则为定值，则 等号当且仅当等号当且仅当_时成立时成立.简记：和定积最大简记：和定积最大.(2)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a a，b b为为正实数，且正实数，且ababP P，P P为定值，则为定值，则 等号当且仅当等号当且仅当_时成立时成立.简
3、记：积定和最小简记：积定和最小.a ab ba ab b判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)函数函数 的最小值是的最小值是2.()2.()(2)(2)成立的条件是成立的条件是abab0.()0.()(3)(3)函数函数 的最小值等于的最小值等于4.()4.()(4)x0(4)x0且且y0y0是是 的充要条件的充要条件.().()(5)(5)若若a0a0，则，则 的最小值为的最小值为 .().()【解析解析】(1)(1)错误错误.当当x0 x0时，函数值一定为负，最小值不是时，函数值一定为负，最小值不是2.2.(2)(2)错误错误.
4、当当abab00 x0且且y0y0时一定有时一定有 但当但当 时，不时，不一定有一定有x0 x0且且y0y0，所以，所以x0 x0且且y0y0是是 的充分不必要条件的充分不必要条件.(5)(5)错误错误.虽有虽有 但不能说但不能说 就是就是的最小值，因为的最小值，因为 的值与的值与a a有关，不是一个定值有关，不是一个定值.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1.1.下列不等式中正确的是下列不等式中正确的是()()(A)(A)若若aRaR，则，则a a2 2+96a+96a(B)(B)若若a,bRa,bR，则，则(C)(C)若若a,ba,b00，则，则 (D)
5、(D)若若xRxR，则，则【解析解析】选选C.C.对于对于A A，a a2 2+9-6a=(a-3)+9-6a=(a-3)2 20,a0,a2 2+96a,+96a,故故A A不不正确正确.由基本不等式成立的条件知由基本不等式成立的条件知B B错误错误.对于对于C C，当，当a,ba,b00时，时，有有 所以所以 故故C C选项正确选项正确.对于对于D D，xR,xxR,x2 2+11,+11,故故D D错误错误.2.2.若若x0,y0 x0,y0，且，且x+yx+y=，则，则xyxy的最大值为的最大值为()()【解析解析】选选D.D.由基本不等式可得由基本不等式可得当且仅当当且仅当 时，时，
6、xyxy取最大值取最大值 故选故选D.D.3.3.函数函数f(xf(x)=3)=3x x+3+3-x-x的最小值是的最小值是()()(A)2 (B)1 (C)3 (D)(A)2 (B)1 (C)3 (D)【解析解析】选选A.A.由于由于3 3x x0,30,3-x-x00，所以，所以f(xf(x)=3)=3x x+3+3-x-x=当且仅当当且仅当3 3x x=3=3-x-x，即，即x=0 x=0时函数取得最小值时函数取得最小值2.2.4.4.某公司租地建仓库，每月土地占用费某公司租地建仓库，每月土地占用费y y1 1与仓库到车站的距离与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费成反比，而每月
7、库存货物的运费y y2 2与仓库到车站的距离成正比，与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站如果在距离车站1010千米处建仓库，这两项费用千米处建仓库，这两项费用y y1 1和和y y2 2分别为分别为2 2万万元和元和8 8万元万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站站_千米处千米处.【解析解析】设仓库到车站的距离为设仓库到车站的距离为x x千米，由题意设千米，由题意设 而当而当x=10 x=10时，时，y y1 1=2=2，y y2 2=8=8，于是，于是因此因此 当且仅当当且仅当x=5x=5时取等号，所以仓库应建在离车站时取等号，所
8、以仓库应建在离车站5 5千米处千米处.答案答案:5 55.5.已知已知a a，b b为正实数且为正实数且a+ba+b=1=1，则，则 的最小值为的最小值为_._.【解析解析】a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,同理同理等号成立的条件为等号成立的条件为a=b=.a=b=.答案答案:9 9 考向考向 1 1 利用基本不等式判断命题真假利用基本不等式判断命题真假【典例典例1 1】(1)(1)若若a,bRa,bR，且，且abab00，则下列不等式中，恒成立，则下列不等式中，恒成立的是的是()()(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考)下列不等式一定成立的是下列不等式一定成立的是(
9、)()【思路点拨思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质对每个选项进运用基本不等式和不等式的性质对每个选项进行分析判断，注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件行分析判断，注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足是否满足.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.对于对于A A，a a2 2+b+b2 22ab2ab，所以，所以A A错错.对于对于B B，C C，虽然，虽然abab00，但只能说明，但只能说明a,ba,b同号，若同号，若a,ba,b都小于都小于0 0时，时，B B，C C不对不对.abab0,0,故故D D正确正确.(2)(2)选选C.C.由于由于 所以所以当且仅当当且
10、仅当 即即 时取等号，故时取等号，故A A错误错误.当当sin x0sin x1a1时，时，当当abab00时，时，【变式训练变式训练】(2013(2013南通模拟南通模拟)给出下列结论：给出下列结论：若若x0 x0，则则 若若a0,b0a0,b0，则，则当当x(0,)x(0,)时，时，的最小值为的最小值为6 6；若若a,ba,b00，且，且abab=2=2，则，则 其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_._.【解析解析】对于对于，只有当，只有当x0 x0时，才有时，才有 成立，成立，故故错误；对于错误；对于，虽然有，虽然有a0,b0a0,b0，但，但lglg a a和和lglg b b不
11、一定都不一定都是正数，因此不一定有是正数，因此不一定有 故故错误；对于错误；对于，虽然当，虽然当x(0,)x(0,)时，时，sin x0sin x0，所以，所以 但其中的等号成立的条件是但其中的等号成立的条件是 即即sin x=3sin x=3，这显然是不可能的，因此不能说，这显然是不可能的，因此不能说 的最小的最小值为值为6 6，故，故错误；对于错误；对于，由于，由于 当且仅当当且仅当 时取等号，所以时取等号，所以正确正确.答案答案:考向考向2 2 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013南京模拟南京模拟)若若x0 x0 x0，则函数，则函数
12、 的最小值等于的最小值等于_._.(3)(2013(3)(2013余姚模拟余姚模拟)已知正数已知正数a,ba,b满足满足 则则a+ba+b的取的取值范围是值范围是_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)因为因为x0 x0，所以可对，所以可对 利用基本不利用基本不等式求最小值等式求最小值.(2)(2)将函数解析式变形为将函数解析式变形为 再对再对 运运用基本不等式求最值用基本不等式求最值.(3)(3)一种思路是根据一种思路是根据 将将a+ba+b中的中的b b用用a a表示，然后用基表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对本不等式求范围；另一种思路是对 变形，获得变形，获得a+ba+b与与a
13、bab的关系，然后利用解不等式消去的关系，然后利用解不等式消去abab建立建立a+ba+b的不等式求解的不等式求解.【规范解答规范解答】(1)(1)由于由于x0 x0,b0a0,b0，可得，可得 于是于是当且仅当当且仅当 即即 时取等号，所以时取等号，所以a+ba+b的取值范的取值范围是围是方法二：由方法二：由 得得a+ba+b=3ab.=3ab.由于由于 所以所以即即4(a+b)3(a+b)4(a+b)3(a+b)2 2，所以，所以即即a+ba+b的取值范围是的取值范围是答案答案:【互动探究互动探究】本例题本例题(3)(3)中，条件不变，则中，条件不变，则abab的取值范围是的取值范围是_.
14、_.【解析解析】由于由于 所以所以 即即9(ab)9(ab)2 24ab4ab，所，所以以 即即abab的取值范围是的取值范围是答案答案:【拓展提升拓展提升】两个正数的和与积的转化两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将基本不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积式积式”转化为转化为“和式和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直
15、接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.【提醒提醒】形如形如 的函数求最值时，首先考虑用的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解.【变式备选变式备选】(1)(2012(1)(2012济宁模拟济宁模拟)已知已知x0,y0,x+2y+2xy=8,x0,y0,x+2y+2xy=8,则则x+2yx+2y的最小值是的最小值是()()【解析解析】选选B.B.由于由于x0,y0 x0,y0，所以，所以 而而2xy=8-(x+2y)2xy=8
16、-(x+2y)，于是有，于是有 令令x+2y=tx+2y=t，则则t t2 2+4t-320+4t-320，解得，解得t4t4或或t-8(t-8(舍去舍去)，因此，因此x+2y4x+2y4，即即x+2yx+2y的最小值是的最小值是4 4，故选，故选B.B.(2)(2012(2)(2012海口模拟海口模拟)函数函数 的最的最小值是小值是_._.【解析解析】因为因为0 x0 x，所以，所以0sin x1.00y0得得x4(x4(x-4舍去舍去)，所以函数在所以函数在(4,+)(4,+)上单调递增，于是当上单调递增，于是当x=5x=5时，时，y y取得最小值取得最小值13 18013 180元元.【
17、拓展提升拓展提升】注意变量的取值范围注意变量的取值范围 在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值求最值
18、.【变式备选变式备选】某种汽车，购车费用为某种汽车，购车费用为1010万元，每年的保险费、万元，每年的保险费、汽油费约为汽油费约为0.90.9万元，年维修费第一年是万元，年维修费第一年是0.20.2万元，以后逐年递万元，以后逐年递增增0.20.2万元万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析解析】由于由于“年维修费第一年是年维修费第一年是0.20.2万元，以后逐年递增万元，以后逐年递增0.20.2万元万元”，可知汽车每年维修费构成以，可知汽车每年维修费构成以0.20.2万元为首项，万元为首项，0.20.2万元万元为公差的等差数列，因此，汽车
19、使用为公差的等差数列，因此，汽车使用x x年时总的维修费用为年时总的维修费用为 万元万元.设汽车的年平均费用为设汽车的年平均费用为y y万元，则有万元，则有当且仅当当且仅当 即即x=10 x=10时，时，y y取得最小值取得最小值.答：汽车使用答：汽车使用1010年时，它的年平均费用最少年时，它的年平均费用最少.【易错误区易错误区】忽视基本不等式等号成立的条件致误忽视基本不等式等号成立的条件致误【典例典例】(2012(2012浙江高考浙江高考)若正数若正数x x，y y满足满足x+3y=5xyx+3y=5xy，则，则3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是()()【误区警示误区警示】本题在求解
20、中容易出现的错误是：对本题在求解中容易出现的错误是：对x+3yx+3y运用基运用基本不等式得到本不等式得到 的范围，再对的范围，再对3x+4y3x+4y运用基本不等式，然后运用基本不等式，然后通过不等式的传递性得到通过不等式的传递性得到3x+4y3x+4y的最值，忽视了基本不等式中的最值，忽视了基本不等式中等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致，从而导致错误的条件不一致，从而导致错误.【规范解答规范解答】选选C.C.由由x+3y=5xyx+3y=5xy可得可得所以所以当且仅当当且仅当x=1,x=1,时取等号，故时
21、取等号，故3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是5.5.【思考点评思考点评】1.1.连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致取值存在且一致.因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.2.2.妙用妙用“1 1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的的代换求代数式的最值：在求解含有两
22、个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1 1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值而可利用基本不等式求最值.1.(20131.(2013临沂模拟临沂模拟)若若a0,b0a0,b0，且，且a+ba+b=2=2，则下列不等式，则下列不等式中正确的是中正确的是()()(A)ab1 (B)ab1(A)ab1 (B)ab1(C)a(C)a2 2
23、+b+b2 24 (D)a4 (D)a2 2+b+b2 244【解析解析】选选A.A.由已知可得由已知可得而而a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=4-2ab2-2ab=4-2ab2，故只有，故只有A A正确正确.2.(20132.(2013韶关模拟韶关模拟)若若a1,a1,则则 的最大值是的最大值是()()【解析解析】选选C.C.因为因为a1,a1,所以所以a-10a-10,b0a0,b0，若不等式，若不等式恒成立，则恒成立，则m m的最大值等于的最大值等于()()(A)10 (B)9 (C)8 (D)7(A)10 (B)9 (C)8 (D)7【解析解析】选选B.
24、B.由于由于a0,b0a0,b0，所以不等式可化为，所以不等式可化为 而而 当且仅当当且仅当 即即a=ba=b时时(2a+b)()(2a+b)()取最小值取最小值9 9，所以不等式恒成立时，所以不等式恒成立时m m的最大值等于的最大值等于9.9.1.1.下列结论中正确的是下列结论中正确的是()()(A)(A)若若a0,a0,则则 (B)(B)若若x0,x0,则则 (C)(C)若若a+ba+b=1,=1,则则 (D)(D)若若a+ba+b=1,=1,则则【解析解析】选选C.C.当当a0a0时，有时，有 故故A A错误错误.当当x0 x0时，不一定有时，不一定有lnln x0 x0，故，故 不一定成立，不一定成立，B B错错误误.当当a+ba+b=1=1时，时，故故a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=1-2ab-2ab=1-2ab 因此因此C C正确，正确，D D错误错误.2.2.已知已知a,ba,b都是正实数，函数都是正实数，函数y=2aey=2aex x+b+b的图象过的图象过(0,1)(0,1)点，点，则则 的最小值是的最小值是()()【解析解析】选选A.A.依题意得依题意得2a+b=12a+b=1，于是，于是 当且仅当当且仅当 即即 时，时，取最小值取最小值