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1、1.2.2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）公式及导数的运算法则（二）大通县第一完全中学大通县第一完全中学 哈延君哈延君1.基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：常函数幂函数三角函数指数函数对数函数2.导数的运算法则导数的运算法则1.f(x)g(x)=f(x)g(x);2.f(x).g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);思思考考 如何求函数如何求函数y=y=（3x+23x+2）的导数呢？）的导数呢？我们无法用现有的方法求函数我们无法用现有的方法求函数y=（x+2）的导数）的导数.下面，我们先分析下面，我们先分析这个函数的结构特点这个函数的结构特点
2、.若设若设u=3x+2，则，则y=ln u.即即y=（3x+2）可以看成是由可以看成是由y=ln u和和u=3x+2经过经过“复合复合”得到的，即得到的，即y可以通过中间变量可以通过中间变量u表示为表示为自变量自变量x的函数的函数.如如果果把把y与与u的的关关系系记记作作yf(u)，u与与x的的关关系系记记作作ug(x)，复复合合过过程程可可表表示示为为y f(u)fg(x)ln(3x2)如如函函数数y(2x3)2，是是由由yu2和和u2x3复合而成的复合而成的复合函数复合函数复合函数复合函数 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x)，如果通过变量，如果通过变量u,
3、y可以表示可以表示成成x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数.记做记做y=f(g(x).复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u)y=f(u)，u=g(x)u=g(x)的导数间的关系为的导数间的关系为即即y y对对x x的导数等于的导数等于y y对对u u的导数与的导数与u u对对x x的导数的乘积的导数的乘积.复合函数的导数复合函数的导数复合函数的导数复合函数的导数问题解答问题解答 由此可得，由此可得，y=y=(3x+2)(3x+2)对对x x的导数的导数等于等于y=y=u u对对u
4、 u的导数与的导数与u=3x+2u=3x+2对对x x的的导数的乘积，即导数的乘积，即例例1：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成成说出下列函数分别由哪几个函数复合而成成 点拨：点拨：找复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初找复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，最里层应为关于等函数，最里层应为关于x x的基本函数的基本函数解：函数的复合关系分别是：解：函数的复合关系分别是：(1)yum，uabxn；例例2：求求yln(2x3)的导数的导数 分析复合函数求导三步曲：复合函数求导三步曲：第一步：分层第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量从外向内分解成基本函数用到
5、中间变量)第二步：层层求导第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导将分解所得的基本函数进行求导)第第 三三 步步：作作 积积 还还 原原(将将 各各 层层 基基 本本 函函 数数 的的 导导 数数 相相 乘乘，并并 将将 中中 间间 变量还原变量还原)例例3：已已知知函函数数f(x)是是偶偶函函数数，f(x)可可导导，求求证证：f(x)为奇函数为奇函数证法一：由于证法一：由于f(x)是偶函数是偶函数，故故f(x)f(x)对对f(x)f(x)两两边边取取x x的的导导数数，则则f(x)(x)f(x)，即即f(x)f(x)因此因此f(x)为奇函数为奇函数f(x)所以所以f(x)为奇函数为奇函
6、数.类类似似的的结结论论是是：若若奇奇函函数数f f(x x)是是可可导导函函数数，则则f f(x x)是偶函数是偶函数1.函数y(3x4)2的导数是()A4(3x2)B6xC6x(3x4)D6(3x4)解析：y(3x4)2 2(3x4)3 6(3x4)答案：D随堂练习随堂练习2函数y2sin3x的导数是()A2cos3x B2cos3xC6sin3x D6cos3x解析：y(2sin3x)2cos3x(3x)6cos3x.答案：D答案：D4、求曲线求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离的最短距离解：设曲线在解：设曲线在点点平行则切点平行则切点p到直线到
7、直线2x-y+3=0的距离即为的距离即为所求所求处的切线与处的切线与2x-y+3=0 切点为（切点为（1，0）小小 结结 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)y=f(u)和和u=g(x)u=g(x)，如果通过变量，如果通过变量u,yu,y可以表示成可以表示成x x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)y=f(u)和和u=g(x)u=g(x)的的复合函数复合函数.记做记做y=f(g(x).y=f(g(x).1.复合函数的定义复合函数的定义2.复合函数求导步骤复合函数求导步骤第一步：分层第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量从外向内分解成基本函数用到中间变量)第二步：层层求导第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导将分解所得的基本函数进行求导)第三步：作积还原第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中将各层基本函数的导数相乘，并将中 间间变量还原变量还原)作业：作业：习题习题1.2：A组组 4、6、7 请留下您宝贵的意见吧！请留下您宝贵的意见吧！