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1、第一节分拆的计数第二节完备分拆第五章第五章 整数的分拆整数的分拆第一节第一节 分拆的计数分拆的计数学习完本节内容，你会了解以下内容：1清楚与整数的分拆问题等价的问题及类似的三个问题及其求解；2理解整数的分拆的定义；掌握分拆计数的两个递推公式及证明；3会求部分数为1，2，3，4等情况的分拆个数；4会将某些特殊的整数分拆问题转化成一般的整数分拆问题.学习指导学习指导问题1：把个相异的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？个相异的小球放到问题2：把个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？问题3：把个相同的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同
2、的放法数？问题4：把个相同的小球放到个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？1问题的引入问题的引入问题1：把个相异的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？个相异的小球放到问题2：把个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？问题3：把个相同的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？问题4：把个相同的小球放到个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？答案：问题1：把个相异的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？个相异的小球放到问题2：把个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不
3、同的放法数？问题3：把个相同的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？问题4：把个相同的小球放到个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？2问题的一般化问题的一般化问题1：把个相异的小球放到个相异的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？方法：先分组再排列（第一章）；或容斥原理(第二章，P48)；或指数生成函数(第四章，P140)等.答案：个相异的小球放到问题2：把个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？参见第二类Stirling数的组合意义(第三章，P108).答案：注：问题2与问题1的联系.问题3：把个相同的小球放到个相异的盒子
4、里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？参见不定方程的正整数解数的计数公式(第一章，P20).或者用常生成函数的方法求（第四章，P121-125).答案：此问题等价于不定方程的正整数解的个数.与问题1，2，3相关的练习题n把10个师范大学毕业生分到3所中学实习，使得每所学校至少3人，有多少种不同的分法？n把8个人分成3组，每组至少2人，有多少种不同的分法？n把15个一样的（即不可分辩的）足球分给3个小朋友，每人至少3个，有多少种不同的分法？问题4：把个相同的小球放到个相同的盒子里，使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？此问题等价于不定方程选取个正整数使得求不同的选取方法数.3问题问题4的
5、等价问题的等价问题或等价于研究如下的整数分拆问题：的无序正整数解的个数.定义5.1：设是个正整数，如果则称分解式为n的一个恰有r个部分的（无序)分拆，或称其为一个部分数为r的n-分拆，称为该分拆的一个部分.以表示部分数为r的n-分拆的个数.4正整数分拆的定义正整数分拆的定义n1求部分数为3且没有一个部分等于1的15分拆的个数.对定义的理解对定义的理解n2把24颗水果糖分成5堆，每堆至少有3颗糖，有多少种分法？5两个递推公式两个递推公式作业：1.把10件彼此相异的物件分给3个人，使得每人至少分得3件物件，有多少种不同的分法？2.把8个人分成3组，每组至少2人，有多少种不同的分法？3.把15个一样的（即不可分辩的）足球分给3个小朋友，每人至少3个，不同的分法共有多少种？4.部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数是多少？5.求的值.