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1、专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法 试题特点试题特点 专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法 1.近三年高考函数近三年高考函数试题试题考考查查情况情况统计统计 2005年，函数与不等式解答试题是高考的热门话题，也是解答题的必考题型.当中的全国II、北京、天津各命制了2道.函数与不等式试题处在压轴位置的有7道，与导数知识交汇的试题有12道.当中，求函数的最值和值域的试题有9道，涉及函数单调性的有7道，求参数取值范围的有5道.2006年高考试题里，出现的函数种类比较多的有三次函数、分式函数、对数和指数复合的函数、绝对值函数、抽象函数等等.试题特点试题特点 2007年的高考在全国
2、19套试卷中，都有体现，重点考查了函数与导数的综合，处理最值、单调性问题、求解析式、求参数范围等.对二次函数进行了重点考查.据此可知，函数与不等式解答试题是高考命题的重要题型，它的解答需要用到导数的相关知识，其命题热点是伴随导数知识的考查，出现频率较高的题型是最值、范围命题，命题的趋向是函数迭代中的递推数列问题.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法2.主要特点主要特点 纵观近年来高考试题，特别是纵观近年来高考试题，特别是2007年高考试题，函数年高考试题，函数试题有如下特点：试题有如下特点：(1)全方位.近几年来的高考题中，函数的所有知识
3、点都考过，虽然近几年不强调知识的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减小.(2)多层次.在每年高考题中，函数题低档、高档难度都有，且选择、填空、解答题型齐全；低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透.试题特点试题特点 专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法 (3)巧综合.为了突出函数在中学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综
4、合程度.(4)变角度.出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活.试题特点试题特点 应试策略应试策略1.高考函数解答题，主要有以下几种形式：高考函数解答题，主要有以下几种形式：(1)函数内容本身的综合，如函数的概念、图象、性质等方面 的综合.(2)函数与其他知识的综合，如方程、不等式、数列、平面向 量、解析几何等内容与函数的综合，主要体现函数思想的 运用；(3)与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关 系的建立.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题
5、的解法应试策略应试策略 2.在系在系统统复复习阶习阶段，我段，我们们分分别别研究了函数的性研究了函数的性质质(单调单调性、性、奇偶性、最奇偶性、最值值等等)和和图图象象(画画图图、识图识图、用、用图图)，本，本轮轮复复习习的的 重点是函数重点是函数图图象和性象和性质综质综合合问题问题的解法的解法.在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考的频考点.函数的图象可以全面反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成用数形结合的思想方法解题的习惯.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法应试策略应试策略3.重视函数思想的指导作用重视函数思想的指导作用
6、.用变量和函数来思考问题的方用变量和函数来思考问题的方 法就是函数思想法就是函数思想.函数思想是函数概念、性质等知识在更函数思想是函数概念、性质等知识在更 高层次上的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用高层次上的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用 中抽象出来的带有观念性的指导方法中抽象出来的带有观念性的指导方法.函数思想的应用：函数思想的应用：(1)在求变量范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函 数，从而转化为求该函数的值域；(2)构造函数是函数思想的重要体现；(3)运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的那些规 律和性质，从而更快更好地解决问题.专题四专题四 函数解答题的解法函
7、数解答题的解法应试策略应试策略4.重重视导视导数在研究函数性数在研究函数性质质方面的重要作用方面的重要作用.利用利用导导数求数求闭闭 区区间间上上连续连续函数的极函数的极值值、最、最值值，研究函数在某一个，研究函数在某一个闭闭区区 间间上的上的单调单调性，求函数的性，求函数的单调单调区区间间，已，已经经成成为为新的命新的命题题 热热点，在学点，在学习习中中应给应给予足予足够够重重视视.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析1.（2007上海模拟题）已知函数f(x)=ax +，a1.（1）证明：函数f(x)在(1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数
8、根.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析（1）证明：设1x1x2,0 x1+1x2+1,又a1,y=ax在(1,+)上是增函数.ax1ax2 由得ax1+1 ax2+1 即f(x1)f(x2),f(x)在(1,+)上是增函数.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析（2）（反证法）设f(x)=0存在负数根x0(x00)，则ax0+=0 =ax0(0,1)x0(,2)，又x00矛盾，所以假设不成立.则f(x)=0没有负数根.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析 点点评评通过（1）的证明让学生在处理函数单调性的证明时，能充分
9、利用几种基本函数的性质直接处理，同时增强应变能力训练，通过（2）的证明使学生增强对反证法这种重要数学思想方法的认识.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析2.（2007岳阳市模拟题）设f(x)=(x0).（1）求f(x)的反函数f1(x)；（2）若x2时，不等式(x1)f1(x)a(a )恒成立，试 求实数a的取值范围.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析解析解析（1）x0 y=x=f 1(x)=(x1)专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析（2）(x1)f1(x)a(a )+1a2a (a+1)a21（*）x2,，显然
10、a+10 1当a+10时，（*）a11 a 1+专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析 2当a+10时，（*）a1 a ，综上所述：1a1+点评点评该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力，培养学生的转化能力及分类讨论思想.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析3.（2007杭州模拟题）已知函数f(x)=ax2+4(a为非零实数)，设函数F(x)=.（1）若f(2)=0，求F(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，解不等式1|F(x)|2;（3）设mn0,m+n0,试判断F(m)+F(n)能否大于0?专题四专题四 函数解答题的解法函数解
11、答题的解法考题剖析考题剖析解析解析（1）f(2)=0，4a+4=0,得a=1,f(x)=x2+4,F(x)=专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析（2）|F(x)|=|F(x)|,|F(x)|是偶函数,故可以先求x0的情况,当x0时,由|F(2)|=0,故 当0 x2时,解不等式 1 x2+42,得 x ;当x2时，解不等式1x242,得 x ;综合上述可知原不等式的解为：x 或 x 或 x 或 x .专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析（3）f(x)=ax2+4，F(x)=mn0,不妨设m0,则n0,又m+n0,mn0,m2n2,F(m)+F
12、(n)=am2+4an24=a(m2n2).所以当a0时,F(m)+F(n)能大于0,当a0时,F(m)+F(n)不能大于0.点点评评本题考查分段函数与解不等式，在第2问的处理中，先得到F(x)是偶函数，再利用偶函数的性质求解，这 样可减少运算量，也可提高解答的效率，在解题中要 善于利用函数的性质.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析4.（2007山西太原模拟题）如果f(x)在某个区间I内满足：对 任意的x1,x2I,都有 f(x1)+f(x2)f ，则称f(x)在 I上为下凸函数；已知函数f(x)=ax2+x.（）证明：当a0时，f(x)在R上为下凸函数；（）若x(
13、0,1)时，|f(x)|1,求实数a的取值范围.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析解析解析（）f(x1)+f(x2)2f()=+x22a()2+=,a0,f(x1)+f(x2)f(),当a0时,f(x)为R上的下凸函数.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析（）|f(x)|1,1ax2+x1,a .x(0,1),2a0.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法点点评评 本题给出了凸函数这个新概念，主要考查学 生阅读理解、自学的能力，在本题中要证明 f(x1)+f(x2)f()，主要是通过作差法 f(x1)+f(x2)2f()解决的，作差
14、是比较 大小的一种常用方法.考题剖析考题剖析专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法5.（2007黄冈中学模拟题）已知集合M是满足下列性质的函 数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有 f(xT)=Tf(x)成立.（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax(a0，且a1)的图象与y=x的图象有公共 点，证明：f(x)=axM.考题剖析考题剖析专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法解析解析(1)对于非零常数T，f(xT)=xT，Tf(x)=Tx.因为对任 意xR，xT=Tx不能恒成立，所以f(x)=x M.(2)因为函数f(x)=ax(a0且
15、a1)的图象与函数y=x的图象 有公共点，所以方程组：有解，消去y得 ax=x，显然x=0 不是方程ax=x的解，所以存在非零常数 T,使aT=T.于是对于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aTax=Tax=Tf(x)故f(x)=axM.考题剖析考题剖析点评点评 开放性、探索性问题是当今高考热点问题,通过此题培养 学生科学探索精神.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法考题剖析考题剖析6.已知函数f(x)=x22x3,x0,1,g(x)=x33a2x2a,x0,1.（1）求f(x)的值域M；（2）若a1，求g(x)的值域N；（3）在（2）的条件下，若对于任意的x0,1，总存在 x
16、00,1使得f(x1)=g(x0)，求a的取值范围.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法解析解析（1）f(x)=(x1)24,x0,1 故f(x)值域为M=4,3 考题剖析考题剖析专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法（2）g(x)=3x23a2=3(x2a2)x0,1,a1 x2a20 即g(x)0 g(x)=x33a2x2a在0,1上单调递减 故g(x)的值域为N=12a3a2,2a 考题剖析考题剖析（3）对任意x10,1，总存在x00,1 使f(x1)=g(x0)M N 又a1,a1,即点点评评 利用函数单调性求函数值域或最值是一种常用的方 法，在证明单调性时，既可以利用单调性的定义，也可以利用导数，在解题中要灵活运用.专题四专题四 函数解答题的解法函数解答题的解法