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1、第三讲分类讨论思想第三讲分类讨论思想 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、或同一种运算、或同一个定理、或同一种方法去解决，因而会用同一标准、或同一种运算、或同一个定理、或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答实质上究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答实质上分类讨论是分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整化
2、整为零，各个击破，再积零为整”的策略分类讨论时应注的策略分类讨论时应注意意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论标准，不重复、不遗漏地分类讨论”1分类讨论时必须遵循的原则分类讨论时必须遵循的原则 (1)施行分类的集合的全集必须是确定的；施行分类的集合的全集必须是确定的；(2)分类的标准必须是统一的；分类的标准必须是统一的；(3)分类必须是完整的，不能出现遗漏；分类必须是完整的，不能出现遗漏；(4)各子集域必须是互斥的，不出现重复；各子集域必须是互斥的，不出现重复；(5)如需
3、多级分类，必须逐级进行，不得越级如需多级分类，必须逐级进行，不得越级2分类讨论的步骤分类讨论的步骤 (1)明确讨论的对象，确定对象的全体；明确讨论的对象，确定对象的全体；(2)确定分类的标准，正确进行分类；确定分类的标准，正确进行分类；(3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果；逐类进行讨论，获得阶段性的结果；(4)归纳小结，总结出结论归纳小结，总结出结论3分类讨论的常见类型分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直 线斜率、指数函数、对数函数等线斜率、指数函数、对数函数等 (2)由性质、定理、公
4、式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和项和 公式、函数的单调性等公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等一个正数、负数，三角函数的定
5、义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、
6、组合由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用中的计数问题时常用4简化和避免分类讨论的策略：简化和避免分类讨论的策略：(1)直接回避，如运用反直接回避，如运用反证证法、消参法等；法、消参法等；(2)变变更主元，如分离参数、更主元，如分离参数、变变参置参置换换，构造以，构造以讨论对讨论对象象为变为变量的函数量的函数 的形式；的形式；(3)合理运算，如利用函数奇偶性、合理运算，如利用函数奇偶性、变变量的量的对对称称轮换轮换以及公式的合理以及公式的合理选选 用等；用等；(4)数形数形结结合，利用函数合，利用函数图图象、几何象、几何图图形的直形的直观观性和性和对
7、对称特点称特点 拓展提升拓展提升开开阔阔思路提思路提炼炼方法方法 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题类，从而全面完整地解决问题拓展提升拓展提升开开阔阔思路提思路提炼炼方法方法 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论要进行分类讨论点击此处进入点击此处进入 专题强化训练专题强化训练