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1、数列复习数列复习1、数列的定义；、数列的定义；按一定次序排成的一列数叫数列。按一定次序排成的一列数叫数列。2、有穷数列与无穷数列；、有穷数列与无穷数列；项数有限的数列叫有穷数列；项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫无穷数列。项数无限的数列叫无穷数列。3、递增（减）、摆动、常数列；递增（减）、摆动、常数列；4、数列数列an的通项公式的通项公式an；5、数列数列an的递推公式；的递推公式；6、数列数列an的前的前n项和项和Sn一、一般数列的基本概念一、一般数列的基本概念练习：练习：1.写出下面数列的一个通项公式，写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：使它的前几项分别是下列各
2、数：2)3）为正奇数为正奇数为正偶数为正偶数知识点：知识点：2.设数列设数列 前前 项的和项的和求求 的通项公式的通项公式.设设 数列数列 的前的前 项和，项和，即即 则则知和求项知和求项:单调性：单调性：（1）若）若an+1an恒成立，则恒成立，则an为递增数列为递增数列（2）若）若an+1an恒成立，则恒成立，则an为递减数列为递减数列返回返回最值问题最值问题求数列求数列 中的数值最大的项中的数值最大的项.解解:求数列中最大最小项的方法：求数列中最大最小项的方法：1 1）最小）最小 最大最大 2 2）考虑数列的单调性）考虑数列的单调性二、等差数列知识点二、等差数列知识点1定义：定义：2通项
3、：通项：推广：推广：3前前n项的和：项的和：4中项：若中项：若a，b，c等差数列，则等差数列，则b为为a与与c的的等差中项等差中项:2b=a+c5简单性质简单性质:(1)(2)组成公差为组成公差为 的等差数的等差数列列(3)组成公差为组成公差为 的的等等 差数列差数列.特别地特别地 m+n=2pm+n=2pa am m+a+an n2a2ap p(等差数列等差数列)A等差数列的判定方法等差数列的判定方法(1)定义法定义法:(2)中项法中项法:(3)通项法通项法:(4)前前n项和法项和法:B.知知三三求求二二(),要要求求选选用用公公式式要要恰恰当当C设元技巧设元技巧:三数三数:四数四数:6 6
4、、思维点拔、思维点拔返回返回Sn是是an前前n项项和，和，Bn是是bn前前n项项和，和，则则an，bn分分别别是等差、等比数列的是（是等差、等比数列的是（）ASn=n2+n+1，Bn=2n 1BSn=2n，Bn=2n 3CSn=n2+n，Bn=2n+1DSn=an+bn，Bn=2n 1为等差数列为等差数列1.5.在等差数列在等差数列an中，中，S10=100，S100=10，求，求S110练习：练习：0=-30=-110-3；2；-5/2；266.已知已知 是两个等差数列，前是两个等差数列，前 项和项和分别是分别是 和和 且且 求求另解：另解：令：令：则则等差（比）列的判断与证明例例 1 已知
5、数列已知数列an，anN*，Sn=（1）求）求证证：an是等差数列；是等差数列；（2）若）若b1=1，b2=4，bn前前n项项和和为为Bn，且且Bn+1=（a n+1 a n+1）Bn+（a n a n+1）Bn 1（n2）.求求bn通通项项公式公式.2等差数列中基本量的计算等差数列中基本量的计算例例 2 等差数列的前等差数列的前n项和为项和为Sn，若，若S12=84，S20=460，求，求S28.1 1定义：从第二项起定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常每一项与它前一项的比等于同一个常 数的数列称作等比数列数的数列称作等比数列.2 2通项公式通项公式 ,推广形式推广形式:,:,
6、变式：变式：3 3前前n n项和项和 4 4等比中项等比中项:若若a a、b b、c c成等比数列成等比数列,则则b b是是a a、c c的等比的等比 中项中项,且且三、等比数列知识点三、等比数列知识点5 5在等比数列在等比数列 中有如下性质中有如下性质:(1)(1)若若(2)(2)下标成等差数列的项构成等比数列下标成等差数列的项构成等比数列6 6证明数列为等比数列的方法证明数列为等比数列的方法:(1)(1)定义法定义法:若若(2)(2)等比中项法等比中项法:-若若(3)(3)通项法通项法:若若 (4)(4)前前n n项和法项和法:若若7 7解决等比数列有关问题的常见思维方法解决等比数列有关问
7、题的常见思维方法(1)(1)方程的思想方程的思想(“知三求二知三求二”问题问题a a1 1、a an n、s sn n、q q、n n)(2)(2)分类的思想分类的思想运运用用等等比比数数列列的的求求和和公公式式时时,需需要要对对 -讨论讨论 当当 返回返回1、在等比数列、在等比数列 中，中，（1）若）若 则则（2）若）若 则则（4）若）若 则则（3）已知）已知 求求=3050324练习：练习：1、观察法猜想求通项：、观察法猜想求通项：一、求通项公式的几种方法一、求通项公式的几种方法2、特殊数列的通项：、特殊数列的通项：3、公式法求通项：、公式法求通项：6、构造法求通项、构造法求通项4、累加、
8、累加法，如法，如5、累乘、累乘法，如法，如等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项求和求和中项中项变形变形公式公式a n+1 a n=da n =a 1+(n 1)da n =a 1 q n 1(a 1,q0)2b=a+c,则则a,b,c成等差成等差 G 2=ab,则则 a,G,b 成等比成等比1)当当m+n=p+q 时时 a m+a n=a p+a q2)a n=a m+(n m)d1)当当m+n=p+q 时时 a m a n=a p a q2)a n=a m q n m例例1、在等差数列、在等差数列 a n 中，中，a 1 a 4 a 8 a 12+a 15=2，求求 a 3+a
9、13 的值。的值。解：由题解：由题 a 1+a 15 =a 4+a 12=2a 8 a 8=2故故 a 3+a 13=2a 8=4例例2、已知、已知 a n 是等比数列，且是等比数列，且 a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，a n 0，求，求 a 3+a 5 的值。的值。解：由题解：由题 a 32=a 2a 4，a 52=a 4a 6，a 32+2a 3a 5+a 52=25即即 (a 3+a 5)2=25故故 a 3+a 5 =5 a n 0典型例题典型例题例例3、一个等差数列的前、一个等差数列的前 12 项的和为项的和为 354，前，前 12 项中的偶项中的偶数项的和与奇数项
10、的和之比为数项的和与奇数项的和之比为 32：27，求公差，求公差 d.6d=S偶偶 S 奇奇故故 d=5例例4、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为列，首末两项的和为21，中间两个数的和是，中间两个数的和是 18，求此四个数。，求此四个数。法一：设四个数为法一：设四个数为 a、b、c、d法二：设四个数为法二：设四个数为 、a d、a、a+d法三：设四个数为法三：设四个数为 a、b、18 b，21 a故所求数为故所求数为 3，6，12，18 或或例例5.数列数列64-4n的前多少项和最大？并求出最大值的前多少项和最大？并
11、求出最大值.解法解法1 Sn最大最大 an 0,an+1 0解法解法2 求出求出Sn的表达式的表达式Sn=-2n2+62n03115.16自我小结：自我小结：一个等差数列一个等差数列的前的前n项项和和Sn，在在什么什么时时候候 有最大有最大值值？什么什么时时候有候有最小最小值值？当d0时,Sn有最小值.1、已知数列、已知数列 a n 的前的前 n 项和为项和为 S n=3n 2+2n，求，求 a n解：当解：当 n 2 时，时，a n=S n S n 1=6n 1当当 n=1 时，时，a 1=S 1=5故故 a n=6n 12、已知数列、已知数列 a n 的前的前 n 项和为项和为 S n=3
12、 n+1，求，求 a n解：当解：当 n 2 时，时，a n=S n S n 1=3 n 3 n 1=3 n 1(3 1 )=23 n 1 当当 n=1 时，时，a 1=S 1=4故故 a n=典型例题典型例题求和的几种方法求和的几种方法倒序相加法倒序相加法求和，如求和，如an=3n+1错项相减法错项相减法求和，如求和，如an=(2n-1)2n拆项法拆项法求和，求和，如如an=2n+3n 裂项相加法裂项相加法求和，如求和，如an=1/n(n+1)公式法公式法求和，求和，如如an=2n2-5n例例1、求、求 1+a +a 2+a 3+a n 的值的值。解：由题知解：由题知 a n 1 是公比为是
13、公比为 a 的等比数列的等比数列当当 a=1 时，时，S =n+1 当当 a 1 时，时，归纳：公式法：归纳：公式法：1）判断）判断 _ 2）运用）运用 _ 3）化简结果。）化简结果。是否是等差或等比是否是等差或等比求和公式，注求和公式，注q 是否为是否为1设设 S=1+a+a 2+a n典型例题典型例题例例2、求数列、求数列1，2a，3a 2，na n 1，的前的前 n 项的和。项的和。解：由题解：由题 a n=na n 1 等差数列等差数列等比数列等比数列设设 S=1+2a+3a 2+4a 3+(n 1)a n 2+na n 1 a S=a+2a 2+3a 3+(n 1)a n 1+na
14、n)(1a)S=1+a+a 2+a 3+a n 1 na n 当当 a=1 时，时，S=1+2+3+n 当当 a 1 时，时，(1a)S=na n错位相减法：错位相减法：1)特征：等差、等比相乘得到的新数列；特征：等差、等比相乘得到的新数列；2)乘公比相减；乘公比相减；3)化简结果。化简结果。例例3、求数列、求数列 ，前前 n 项的和。项的和。解：通项：解：通项：练习：练习：1.1.求下列各数列的前求下列各数列的前n n项和项和(1)(2)2.求求的值的值1.某布匹批发市场一布商在某布匹批发市场一布商在10月月20日投资购日投资购进进4000匹布，匹布，21日开始销售，且日开始销售，且 每天他都能每天他都能销售前一天的销售前一天的20%，并新进，并新进1000匹新布匹新布.设设n天后所剩布匹的数目为天后所剩布匹的数目为 （第一天为（第一天为20日）日）.（1）计算）计算 并求并求 ；（2）若干天后，布商所剩布匹能否稳定在）若干天后，布商所剩布匹能否稳定在4900到到5000匹之内？若能，说出是几天后；匹之内？若能，说出是几天后；若不能，说明理由若不能，说明理由.六、应用问题：六、应用问题：