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1、89排列组合二项式定理 一、内容归纳一、内容归纳1知识精讲：知识精讲：（1）二项式定理）二项式定理：其通项是其通项是 知知4求求1，如：，如：特别地：特别地：（2）二项展开式系数的性质：）二项展开式系数的性质：对称性对称性,在在二项展开式中，与首末两端二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两的两项的二项式系数相等，项的二项式系数相等，其中，其中，是二项式系数。而系数是字母前的常数。是二项式系数。而系数是字母前的常数。即：即：增增减减性性与与最最大大值值：在在二二项项式式展展开开式式中中，二二项项式式系系数数先先增增后后减减，且且在在中中间间取取得得最最大大值值。如如果果二二项项式式的的幂幂
2、指指数数是是偶偶数数，中中间间一一项项的的二二项式系数最大，即项式系数最大，即n n偶数：偶数：如如果果二二项项式式的的幂幂指指数数是是奇奇数数，中中间间两两项项的的二二项式系数相等并且最大，即。项式系数相等并且最大，即。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于 即即奇奇数数项项的的二二项项式式系系数数和和与与偶偶数数项项的的二二项项式式系系数数和相等，即和相等，即（3 3）二项式定理的应用：近似计算和估计、）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式证不等式,如证明：如证明：取取的展开式中的四项即可。的展开式中的四项即可。2重点难点重点难点:二项式定理和二
3、项展开式的性质。二项式定理和二项展开式的性质。3思维方式思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。一般与特殊的转化，赋值法的应用。4特别注意特别注意:二项式的展开式共有二项式的展开式共有n+1n+1项，项，是第是第r+1r+1项。项。通通项项是是（r=0,1,2,n）中中含含有有五五个个元元素素，只只要要知知道道其其中中四四个个即可求第五个元素。即可求第五个元素。注意二项式系数与某一项系数的异同。注意二项式系数与某一项系数的异同。当当n n不不是是很很大大，|x|x|比比较较小小时时可可以以用用展展开开式式的的前几项求前几项求 的近似值。的近似值。二、问题讨论二、问题讨论例例1（1）等于等于（
4、）A、B、C、D、（2）若）若n为奇数，则为奇数，则被被9除得的余数是除得的余数是（）A、0B、2C、7D、8DC例例2、（、（1）(优化设计优化设计P179例例1)如果在如果在的的展展开开式式中中，前前三三项项的的系系数数成成等等差差数数列列，求求展开式中的有理项。展开式中的有理项。（2）(优化设计优化设计P179例例2)求求的展开式的常数项。的展开式的常数项。（3）在在的的展展开开式式中中，求求x的的系系数数（即含（即含x的项的系数）的项的系数）【思维点拨】【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定时，常用通项公式，用待定系数法确
5、定r。练习：练习：(优化设计优化设计P180思考讨论思考讨论)（1）在）在的展开式中，求的展开式中，求的系数。的系数。（2）求）求 的展开式中的常数项。的展开式中的常数项。（3）求）求 的展开式中的展开式中 的系数。的系数。141120。例例3(优化设计优化设计P180例例3)、设设a an n1 1q qq q2 2q qn n1 1(nN(nN*，q1)q1)，A An n(1)(1)用用q q 和和n n 表示表示A An n(2)(2)当当 时时,求求【思维点拨】【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及：本题逆用了二项式定理及 例例4、若、若 =，求（求（1）的值。的值。（2）的值。的值。
6、【思维点拨】【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。用赋值法时要注意展开式的形式。思考题：设思考题：设则则 0备用题：备用题：例例5已知已知,（1）若若展展开开式式中中第第5项项、第第6项项与与第第7项项的的二二项项式式系系数数成成等等差差数数列列，求求展展开开式式中中二二项项式式系系数最大项的系数。数最大项的系数。（2 2）若若展展开开式式前前三三项项的的二二项项式式系系数数和和等等于于79，求展开式中系数最大的项。，求展开式中系数最大的项。【思思维维点点拨拨】二二项项式式系系数数与与展展开开式式某某一一项项系系数是不同的概念。数是不同的概念。例例6：当：当 且且n1n1，求证，求证 【思
7、思维维点点拨拨】这这类类是是二二项项式式定定理理的的应应用用问问题，它的取舍根据题目而定。题，它的取舍根据题目而定。三、课堂小结：三、课堂小结：1、二二项项式式定定理理及及二二项项式式系系数数的的性性质质。通通项项公公式。式。2、要要区区分分二二项项式式系系数数与与展展开开式式项项的的系系数数的的异异同。同。3、证明组合恒等式常用赋值法。、证明组合恒等式常用赋值法。四、课四、课 前前 热热 身身91.已知已知的展开式中，的展开式中，x3的系数为的系数为，则，则常数常数a的值为的值为_.2.在在的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为_.15【解题回顾】在不影响结果的前提下，有时只要写【解题回顾
8、】在不影响结果的前提下，有时只要写出二项展开式的部分项，此可称为出二项展开式的部分项，此可称为“局部运算法局部运算法”.B3.若若的展开式中含有的展开式中含有x4的项，则的项，则n的的一个值是一个值是()(A)11(B)10(C)9(D)8B4.的展开式中系数大于的展开式中系数大于-1的项共有的项共有()(A)5项项(B)4项项(C)3项项(D)2项项B5.在在的展开式中，常数项是的展开式中，常数项是()(A)第第11项项(B)第第7项项(C)第第6项项(D)第第5项项返回返回.已知已知(3-2x)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则，则(1)a2+a3+a4+a5的值为
9、的值为_；(2)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=_.56828827.2C02n+C12n+2C22n+C32n+2C2k2n+C2k+12n+C2n-12n+2C2n2n=_.322n-18.若若的展开式中只有第的展开式中只有第6项的系数最大，则项的系数最大，则不含不含x的项为的项为()(A)462(B)252(C)210(D)10C9.已知已知(2x+1)n(nN+)的展开式中各项的二项式系数之的展开式中各项的二项式系数之和为和为Sn，各项的系数和为，各项的系数和为Tn，则，则()(A)-1(B)0(C)12(D)1A10.1-90C110+902C210-903C310
10、+(-1)k90kCk10+9010C1010除以除以88的余数是的余数是()(A)-1(B)1(C)-87(D)87A返回返回五、能力思维方法1.若若(x+m)2n+1和和(mx+1)2n(nN+，mR且且m0)的的展展开开式式的的xn 项项的的系系数数相相等等，求求实实数数m的的取取值值范范围围.【解【解题题回回顾顾】注意区分二】注意区分二项项式系数与式系数与项项的系数的系数.2.在二在二项项式式的展开式中，前三的展开式中，前三项项的的系数成等差数列，求展开式中的有理系数成等差数列，求展开式中的有理项项.【解题回顾】展开式中有理项的特点是字母【解题回顾】展开式中有理项的特点是字母x的的指数
11、指数即可，而不需要指数即可，而不需要指数3.求求的展开式中，系数的的展开式中，系数的绝对值绝对值最最大的大的项项和系数最大的和系数最大的项项.【解解题题回回顾顾】由由于于这这个个二二项项式式的的第第二二项项分分母母中中有有数数字字2，所所以以展展开开式式中中的的系系数数不不是是二二项项式式系系数数，因因此不能死背书上结论，以为中间项系数最大此不能死背书上结论，以为中间项系数最大.返回返回4.求证求证及及的展开式中不能同的展开式中不能同5.时含有常数项时含有常数项.【解解题题回回顾顾】二二项项式式定定理理解解题题活活动动中中，涉涉及及到到的的很很多多问问题题都都是是关关于于整整数数的的讨讨论论，
12、要要注注意意其其中中的字母取整数这一隐含条件的应用的字母取整数这一隐含条件的应用.5.(1)求证：求证：kCkn=nCk-1n-1;(2)等比数列等比数列an中，中，an0，试化简，试化简 A=lga1-C1nlga2+C2nlga3-+(-1)nCnnlgan+1.【解解题题回回顾顾】不不仅仅要要掌掌握握二二项项式式的的展展开开式式，而而且且要要习习惯惯二二项项展展开开式式的的逆逆用用，即即应应用用二二项项式式定定理理来来“压压缩缩”一一个个复复杂杂的的和和式式，这这一一解解题题思思想想方法是很重要的方法是很重要的.返回返回【解解题题回回顾顾】解解一一、解解二二各各有有优优点点，在在具具体体
13、的的问问题题中中应视情况不同选用应视情况不同选用.6.求求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的的展展开开式式中中x2的的系数系数.7.已知已知展开式的各项系数之和比展开式的各项系数之和比(1+2x)2n展展开开式式的的二二项项式式系系数数之之和和小小240，求求展展开开式中式中系数最大的项系数最大的项.【解题回顾】在【解题回顾】在展开式中，各项系数之和展开式中，各项系数之和就等于二项式系数之和；而在就等于二项式系数之和；而在(1+2x)2n展开式中各项展开式中各项系数之和不等于二项式系数之和，解题时要细心审系数之和不等于二项式系数之和，解题时要细心审题，加以区分
14、题，加以区分.8.已知已知(3x-1)7a7x7+a6x6+a1x+a0，求：求：(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.【解解题题回回顾顾】本本题题采采用用的的方方法法是是“赋赋值值法法”，多多项项式式f(x)的各项系数和均为的各项系数和均为f(1)，奇数项系数和为，奇数项系数和为偶数项的系数和为偶数项的系数和为9.填空题：填空题：(1)1.9975精确到精确到0.001的近似值为的近似值为_；(2)在在(1+x+x2)(1-x)10的的展展开开式式中中，x5的的系系数数是是_；(3)1919除以除以5的余数为的余数为_；(4)和和SC110+2C
15、210+3C310+10C1010的的值值为为_.-1624512031.761【解解题题回回顾顾】用用二二项项式式定定理理讨讨论论一一个个式式子子被被m除除的的余余数数时时，一一般般把把其其主主要要式式子子写写成成(a+bm)n(a、bZ)的的形形式式，即即首首项项外外其其余余各各项项均均能能被被m整整除除.而而对对于于不不满满足足C0n+C1n+C2n+Cnn2n的的组组合合数数运运算算时时，要要注注意意转转化化利用利用kCknnCk-1n-1.返回返回10.(1)今天是星期一，问今天是星期一，问1090天后是星期几天后是星期几?(2)证明：证明：2n+23n+5n-4能被能被25整除整除.【解解题题回回顾顾】数数学学解解题题活活动动的的本本质质就就是是化化归归，将将不不熟熟悉悉的的问问题题向向熟熟悉悉的的问问题题转转化化应应当当是是数数学学解解题题活活动动的的基基本思想方法本思想方法.返回返回