《2023年中考数学压轴题培优教案专题07 弦图与垂直模型（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学压轴题培优教案专题07 弦图与垂直模型（含答案解析）.pdf（78页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题7弦图与垂直模型解题策略_ _7模 型1:垂直模型如图：Z D=ZB CA =ZE=90,BC=AC,结论：RtABCDRtACAf.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长,相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如图、图,这也是由弦图演变而来的.模 型2：弦图模型如 图，在正方形 A BCD 中，8 F _ L C G,C G _ 1 _ D H.D H J _ A E,A E _ L
2、3 E J ：ABE ABCF ACDG ADAH.经典例题【例11.（2021.全国.八年级专题练习）如 图1,正方形ABC力中，点。是对角线AC的中点，点尸是线段上（不与点4 0重合）的一个动点，过点P作尸8且PE交边CC于点D A DB C B图 1 图 2(1)求证：P E=P B；(2)如图2,若正方形A B C D的边长为2,过点E作 E/U A C 于点F,在点尸运动的过程中，P 尸的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值：若变化，请说明理由；(3)用等式表示线段P C,孙,C E 之间的数量关系.【例 2】(2 0 2 1 黑龙江 哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习)正
3、方形A 8 C Z)中，点 E、尸在B C、C 力上，且B E=C R A E 与 B F 交于点、G.(1)如 图 1,求证A E L 8 F；(2)如图2,在 G F上截取G M=G B,Z M A D的平分线交C D于点H,交 B F 于点、N,连接C N,求证：A N+C N=&B N；图1 图2 备用图【例 3】(2 0 2 1 云南曲靖八年级期末)如图1,在正方形4 B C D 中,E 为B C 上一点，连接4 E,过点B 作B G 1 A E 于点乩交C。于点G.Kl(1)求证：AE =B G；(2)如图2,连接力G、GE,点M、N、P、Q分别是4B、AG.G E、EB的中点，试
4、判断四边形MNPQ的形状，并说明理由:(3)如图3,点F、R分别在正方形ZBCD的边4 B、CC上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点4 过点4 作4。1 FR 于点、0,若AB =1,正方形的边长为3,求线段OF的长.例 4(2021河南商丘八年级期中)在平面直角坐标系中，点4 的坐标为(4,0),点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限作等腰R t x AB C.图 1图 2图 3“如 图 1,若0B=3,则点C的坐标为；(2)如图2,若。8=4,点D为。4 延长线上一点，以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰R m BDE,连接4E,
5、求证：AE L AB-.(3)如图3,以B为直角顶点,。8 为直角边在第三象限作等腰R柩O B F.连接C凡交y轴于点P,求线段BP的长度.【例 5】.(2 0 2 1 黑龙江 哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习)如图1,正方形A 8 C D 中，点 E是边8 c 延长线上一点，连接。反过点B作 8 尸，D E,垂足为点F,BF与C。相交于点G.(1)求证：/X B C G Q A D C E；(2)如图 2,连接 BD,若 B E=4 V*D G=2 或,求 tanZDBG 的值.-P-P图1 图2培优训练_ _Z一、解答题1.(2 0 2 2 江 苏 八年级课时练习)如 图 1,在4 4B
6、C 中，乙4 cB =9 0。/。=D,BE 1 M N 于 E.M D M、N N图 1图2=B C,直线MN经过点C,且A D 1 M N 于M图 3(1)由图 1,证明：DE=AD+B E；(2)当直线MN绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出D E,A D,B E 的等量关系并说明理由;(3)当直线MN绕点C 旋转到图3的位置时，试问D E/D,B E 乂具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系(不必说明理由).2.(2 0 2 2 全国八年级专题练习)如图所示,4 B C 中=A C B A C=90。,点。为力B 上一点，过点B 作直线C D 的垂线，垂足为E,连接A E,过点4
7、作A E 的垂线交C E 于点F.图1图2图3(1)如 图1,求EC的度数；(2)如图 2,连接B F,且乙4 B F -/.E AB=1 5。,求证：B F=2 C F；(3)如图3,在(2)的条件下,G为D F上一点，连接A G,若乙4 G。=N E B F/G =2,求C F的长.3.(2 0 2 0北京市第十三中学九年级期中)己知：放A A B C中,N A C 8=90。4C=B C.(1)如 图1,点。是B C边上一点(不与点8,C重 合)，连接A。,过点8作B E,4。,交4。的延长线于点E,连接C E.若N B A O=a,求 的 大 小(用 含a的式子表示)；用等式表示线段E
8、 4,E 8和E C之间的数量关系，并证明.(2)如图2,点。在线段B C的延长线上时，连接A D,过点B作B E L A。,垂足E在线段4力上，连 接C E.依题意补全图2；直接写出线段E A,仍 和E C之间的数量关系.4.(2 0 2 1四川省成都市七中育才学校七年级期中)已知：力B C中/4 C B =90。,A C =C B,D为直线山上一动点，连接A D,在直线4 c右侧作4 E 1 AD,R AE =AD.E(1)如 图 1,当点。在线段B C 上时，过点E 作E H _ L 4 C 于H,连接DE.求证：E H=A C；(2)如图2,当点。在线段B C 的延长线上时，连接B E
9、 交C 4 的延长线于点M.求证：B M =EM；(3)当点。在直线C B 上时，连接B E 交直线4 c 于M,若2 4 c =5 C M,请求出受也的值.5.(2 0 2 2 江苏八年级课时练习)在 A B C 中,4 B =B C/B =90。,点。为直线8 c 上的一个动点(不与B、C重 合)，连结A D,将线段A。绕点。按顺时针方向旋转90。,使点A旋转到点E,连结E C.(1)如果点。在线段BC上运动，如 图 1：求证：L B AD =/.E D C(2)如果点。在线段2c上运动，请写出4c与 C E 的位置关系.通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作E F 1 B C
10、 交直线8 C 于尸，如图2所示，通过证明 D E F 三4 A B D,可推证A C E F 等腰直角三角形,从而得出AC与 C E的位置关系,请你写出证明过程.(3)如果点。在线段C B的延长线上运动,利用图3画图分析，(2)中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立,请说明理由.6.(2 0 2 1.黑龙江.哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试)如图，己知A/I B C 中/B =4 C/B 4 c =90。,分别过8、C 向过4 的直线作垂线，垂足分别为E、F.(1)如 图 1,过A 的直线与斜边B C 不相交时,直接写出线段E F、B E、C F 的 数 量 关 系 是；(2)如图2,
11、过A 的直线与斜边B C 相交时，探究线段E F、B E、C F 的数量关系并加以证明；(3)在(2)的条件下，如图3,直线必交B C 于点H,延长B E 交A C 于点G,连接B F、F G、G,若N 4 HB =乙 GHC,E F=C F =6,E H=2 F H,四边形4 B F G 的面积是90,求 G H C 的面积.7.(2021.江苏泰州.八年级期末)如图,正方形ABCD边长为4,点G在边AO上(不 与 点A、。重 合)，8G的垂直平分线分别交A8、CQ于E、F两点，连接EG.(1)当AG=1时，求EG的长；(2)当AG的值等于 时,BE=8-2力 尸；(3)过G点作GM_LEG
12、交 8于M求证：GB平分N4GM；设AG=x,CM=y，试说明招 W-1的值为定值.8.(2021.全国八年级专题练习)已知，如图，在RtAAfiC中,N5AC=9()o,N4BC=45。,点D为直线BC上一动点(点。不与点B,C重合).以AO为边作正方形AQEF,连接CF,当点。在线段BC的反向延长线上，且点A1分别在直线BC的两侧时.(1)求证：ABQZVICF；(2)若正方形AOEF的边长为2 a,对角线AE,。尸相交于点。，连接OC,求。的长度.9.(2021 安徽安庆 八年级期末)如图1,点E为正方形48C D内一点,NAEB=90。,将心AABE绕点B按顺时针方向旋转90 （即N
13、E 8E=90。），得到 C B 9（点A的对应点为点C）延长A E交C E于点F,连接D E.图1 图2（1）试判断四边形B E，F E的形状，并说明理由.（2）如图2,若D 4=O E,请猜想线段C尸于尸E的数量关系并加以证明.（3）如 图1,若A 8=g,C尸=3,请直接写出。E的长.1 0.（2 0 2 1湖北鄂州八年级期末）如图，四边形力B C D是正方形，点P是线段4 B的延长线上一点，点M是线段A B上一点，连接O M,以点M为直角顶点作M N 1 O M交4 c B p的角平分线于N,过点C作C E MN交4 0于E,连接E M,C N,D N.（2）求证：E M/C N.（3
14、）若AE =1,B N=3四,求O N的长.1 1.（20 22.广东塘厦初中八年级期中）四边形A B C 为正方形，点E为线段A C上一点，连接。E,过点E作E F _ L O E,交射线2 c于点F,以D E、E F为邻边作矩形O E F G,连接C G.备用图（1）如图,求证：矩形。E F G 是正方形；（2）若 A B=4,C E=2e，求 CG的长度；（3）当线段D E与正方形A B C O 的某条边的夹角是4 0。时，直接写出NE尸 C的度数.1 2.（20 21 山西八年级期末）综合与实践：如 图 1,在正方形A B C D 中，连接对角线4 C,点。是4 C 的中点，点 E是线
15、段。4 上任意一点（不与点A,0 重合），连接过点E作E F _ L DE 交直线B C 于点F.（1）试猜想线段。E 与E F 的数量关系,并说明理由；（2）试猜想线段C E,C D,C F 之间的数量关系,并说明理由；（3）如图2,当 E在线段c o 上 时（不与点C,0 重合），E F 交8 c 延长线于点F,保持其余条件不变，直接写出线段C E,C D,C F 之间的数量关系.1 3.（20 21.全国.八年级专题练习）如 图 1,已知正方形A B C D 和正方形C E G F,点F,C,B 在同一直线上，连接与E G 相交于点M.（1）求证：B E =FD.（2）如图2,N是BC边
16、上的一点,连接力N交BE于点H,且 瞿=需DC GC求证：B N =E C；若CE=2DE,直接写出器的值.AB14.（2021.全国八年级专题练习）探究证明：（1）如 图 1,正方形ABCD中，点 M、N 分别在边BC、CD上,AM_LBN.求证：BN=AM；（2）如图2,矩形ABCD中，点 M 在 BC上,EFJ_AM,EF分别交AB、CD于点E、F.求证：=AM AB（3）如图 3,四边形 ABCD 中,/ABC=9（r,AB=AD=10,BC=CD=5,AMJ_DNM、N 分别在边 BC、AB ,求器的值.AM15.（2021全国八年级专题练习）如图，已知AABC是等腰直角三角形,NB
17、AC=90。,点 D 是 BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C 分别在DG和 DE上，连接AE,BG.（1）试猜想线段BG和 AE的 关 系（直接写出答案,不用证明）；（2）将正方形DEFG绕点D 逆时针方向旋转a（0a=90,V ZMPB+ZMBP=90,NEPN=/M BP.在 RtZPNC 中，NPCN=45,PNC是等腰直角三角形，:PN=CN、:BM=CN=PN,:BMPQPNE CASA）,：.PB=PE.（2）解：在 P 点运动的过程中,P F 的长度不发生变化.理由：如图2,连接。氏 点 O 是正方形ABCD对角线AC的中点，:.OBLAC,：.ZAOB=90,NAOB=N
18、EFP=90,.NOBP+NBPO=90.：.ZBPE=90,：.ZBPO+ZOPE=90,：.ZO BP=ZO PE.由（1）得 PB=PE,:OBP之IXFPE（AAS）,：.PF=OB,.,A8=2,ZUBO是等腰直角三角形，0B=专=a.二P F 的长为定值V L（3）解：PC =PA+V 2E C.理由:如图 1,：N BAC=4 5 ,.,.AM P 是等腰直角三角形，：-PA=V 2P M.由（【）知PM=N E,.PA=V 2N E.,：7 可是等腰直角三角形，.PC =V 2N C =a（N E +E C）=y/2N E +五 E C =PA+E C.【点睛】本题主要考查了四
19、边形综合应用,通过对三角形全等的证明找出边之间的关系,准确分析代换求解是解题的关键.【例 2】.（20 21.黑龙江哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形ABC。中，点 、尸在B C、C D上，且B E=C R A E 与B F 交于点G.（1）如 图 1,求证AE _ L BF；（2）如图2,在 GF上截取G M=G 8,/M 4 O 的平分线交CO于点H,交 8尸于点N,连接C N,求证：A N+C N=&BN；图1图2 备用图【答案】（D 见解析；（2）见解析；【分析】（1）根据正方形 的 性 质 得=乙 B C D=9 0。,用 S AS 证明 A B E三 4 BC F,得/B
20、AE =/C BF,根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B作B H 1 B N,交 A N于点、，根据正方形的性质和平行线的性质，用 S AS 证明 AGB d 4 G M,得BAG =N M 4 G,根据角平分线性质得N BH 4 =乙 GAN=4 5。,则4H B N 是等腰直角三角形，用 S AS 证明A B H W A C B N,得 AH=C N,在R t H B N 中，根据勾股定理即可得；【详解】解：（1）.四边形ABC。是正方形，：.AB=BC,Z.ABC=乙 BCD=90。，在AZBE和ABC尸中，(AB=BCz-ABE=乙 BCF(BE=CF：.ABE=LBCF
21、(SA S),:乙BAE=乙 CBF,Z E 8 +(BAE=180-Z.ABC=180-90=90,.4AEB+4CBF=90。，E G B =180-(44EB+乙CBF)=180-90=90,A/IE I F F；(2)如图所示，过点8 作BH LBM 交 AN于点出四边形ABCD是正方形，：.AB=AC,.ABC=乙 HBN=90,:乙 HBN=乙 HBA+乙 ABN=90,Z.ABC=乙 CBN+乙A BN=90,，乙 HBA=乙 CBN,由 得,AE 1 BF,：.LAGB=LAGM=90,：.Z.HBG=Z.AGM=90,:HB“AE,：.Z.BHA=LEAN、在A/GB和A/G
22、M 中，(AG=AG乙 AGB=Z.AGM(GB=GM：.AGB 三4GM(SAS),:乙BAG=Z.MAG,4N平分Z/MM,:,乙DAN=乙 MAN,，乙BAG+Z.MAG+AMAN+乙 DAN=90,2Z.MAG+2Z.MAN=90。，/.MAG+乙 MAN=45,乙 GAN=45,：.Z.BHA=乙 GAN=45,:乙BNH=180 一 乙HBN-乙BHA=180 90-45=45,.HBN是等腰直角三角形，,BH=BN,在 ABH和 CBN中，BH=BNZ.HBA=乙 C BNAB=C B:q ABH CB N (SAS),:AH=C N,在At H8N中,根据勾股定理HN=y/BH
23、2 4-BN2=&B N,:.AN+C N=AN+AH=HN=&B M【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点.【例3】.(2021云南曲靖,八年级期末)如图1,在正方形48CD中,E为BC上一点，连接4E,过点B作BG _L4E于点H,交C。于点G.Kl（1）求证：AE =B G；（2）如图2,连接力G、G E,点M、N、P、Q 分别是4 B、AG.G E、E B 的中点，试判断四边形M N P Q 的形状，并说明理由:（3）如图3,点F、R 分别在正方形Z B
24、 C D 的边4 B、C C 上，把正方形沿直线F R 翻折，使得B C 的对应边B C 恰好经过点4过点4 作4。1 FR 于点。，若AB =1,正方形的边长为3,求线段O F 的长.【答案】（1）见解析；（2）四边形M N P Q 为正方形,理由见解析；（3）平【分析】（1）由四边形4 B C D 为正方形,可得乙4 BC =乙 B C D=9 0。,推得乙4 BG +乙 C B G=9 0。,由BG 1 4 E,可得N B4 E +Z/4 BG =9 0 ,可证 AB E 三 段 BC G Q 4 S 4）艮 口 可；（2）M、N为A B、4 G 中点，可得MN为 4 BG 的中位线，可
25、证=BG,由点M、N、P、Q 分别是AB.AG.G E、E B 的中点，可得PQ是 B E G 的 中 位 线,为 A B E 的中位线,N 尸为 A E G 的中位线，可证PQ/B G,PQ=WBG,MQ“AE、MQ=三 AE,N P“A E、N P=可证四边形M N P Q 为平行四边形.再证四边形M N P Q 为菱形，最后证M N 1 MQ即可；（3）延长4。交B C 于点S,由 对 称 性 可 得=B F,AB =B S =L A O =S O,由勾股定理可求AS =V T 6,可得AO =AS=手,设力尸=%,在R t AB F 中2+(3-x)2=解得*=，在&A A O F 中
26、，可求。尸=9.【详解】（1）证明：四边形4 8C。为正方形,:.乙 AB C =4 B C D=9 0 ,：.Z.AB G+Z.C B G=9 0 ,:B G 1 AE,二 N448=90,：.Z-BAE+Z.ABG=90,：.BAE=乙 CBG,在 ABE与 BCG中，Z.BAE=Z.CBGAB=BC,./.ABC=乙 BCD：.LABE=BCG(ASA：.AE=BG.(2)解：四边形MNPQ为正方形，理由如下：TM、N为AB、AG中点，.MN为ABG的中位线，：.MN/BG,MN=|BG,.点M、N、P、Q分别是ZB、AG,GE、EB的中点，.尸。是4 BEG的中位线。为 ABE的中位线
27、,收为4 AEG的中位线,：.PQ/BG,PQ=三 BG、MQ“AE,MQ=三 AE,NPAE,NP=AE,:.MN=PQ,MQ=NP,.四边形MNPQ为平行四边形.：AE=BG,:.MN=MQ,.四边形MNPQ为菱形，VBG 1 AE,MQ/AE,：.MQ 1 BG,JMN/BG,:.MN 1 MQ,.四边形MNPQ为正方形.(3)解：延长AO交BC于点S,由对称性可知BF=BF,AB=BS=1,AO=SO,在Rt 力BS中，AS =7 A B 2+B S?=V10,A4 O八 =1 AA SG =A/I。，2 2设 NF=二则 8F=BF=3 在R%AB午中，l2+(3-%)2=%2,5x
28、=?.二,在R tM O F中，0 F=-4。2=J(|)2(v)2=等【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识,掌握以上知识是解题关键.【例4】.(2021河南商丘八年级期中)在平面直角坐标系中，点4的坐标为(4,0),点8为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点,4B为直角边在第一象限作等腰R t x AB C.图1图2图3(1)如 图I,若0B=3,则点C的坐标为；(2)如图2,若0B=4,点。为04延长线上一点，以0为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰R t&BDE,连接A
29、E,求证：AE L AB-,(3)如图3,以8为直角顶点,0B为直角边在第三象限作等腰/?/0 B F.连接CF,交y轴于点P,求线段BP的长度.【答案】点C(3,7)；(2)证明见详解过程；(3)2.【分析】(1)如 图1,过点C作C”_Ly轴,由“AAS”可证“8 0丝8CH,可得CH=O5=3.BH=AO=4,可求解；(2)过点E作E凡Lx轴于尸，由“AAS可证 台。丝BC”,可得80=。尸 由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性质可得/8 4。=45。,/4尸 =/4EF=45。,可得结论；(3)由(1)可知A/WO丝8CG,可得 2O=GC,AO=BG=4,再由“AAS”可证ACPG
30、丝FP8,可得 P8=PG=2.(1)如 图I,过点C作C_Ly轴于”，Z CHB=ZABC=ZAOB=90：.Z BCH+Z HBC=90=Z HBC+A A BO.：./ABO=/BCH,在AB。和3CH 中，Z.CHB=Z.AOBZ-BCH=乙ABO,BC=AB:ABCXABCH(A A S),:.CH=OB=3.BH=AO=4,：.OH=1,点 C(3,7),故答案为：(3,7)；(2)过点E 作轴于F,，N BDO+/EDF=90Q=N BDO+N DBO,：./DBO=NEDF,在3 0。和DFE中，NBOD=乙EFDZ.DB0=乙EDF,BD=ED:BODQRDFE(A A S)
31、,：B0=DF=4,OD=EF,点A 的坐标为(4,0),：.OA=OB=4,，ZBAO=45,；0A=DF=4,：OD=AF=EF,ZEAF=ZAEF=45,，ZBAE=90,：.BA1.AE；(3)过点C作CGJ_y轴G,：.B0=GC.A0=BG=4y*：BF=B0,N0BF=9Q0,BF=GC,Z CGP=Z 产8 片 90。，又：NCPG=NFPB,:A C P G m 4FPB(A A S),:BP;GP,：.BP=-BG=2.2【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.【例5】.(2021黑龙江
32、 哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习)如图1,正方形A8CD中，点E是边8 c延长线上一点，连 接 过 点B作8Fd_E,垂足为点F,BF马C相交于点G.(1)求证：BCGQ/XDCE、(2)如图2,连接BD,若 BE=4a,DG=2&,求tan A DBG的值.DD【答案】（1）见解析；（2）!【分析】（1）由正方形的性质结合已知条件，利用AS4判定三角形全等即可；（2）过点G 作垂足为“，由全等求得CG=CE,进一步结合图形求得8。和 CG的长,然后在/?/8DC中求得G 和 8”的长,最后在RTABHG再利用tanNOBG=M，即可求得答案.【详解】(1)证明：.四边形A8CO是正方形,:
33、.ZBCG=NDC E=9()o,BC=C D,*：BFDE,:NDFG=NBCG=90。,:/B G C=/D G F,:NCBG=NCDE.ZC BG=乙C DE在BCG 和 ：中，BC =C D/BCG=Z.DC E:ABC G 必 DC E,（2）解：过点G 作 力 垂 足 为,:4BCG 沿 2DCE,：.C G=CE,；BE=BC+CE=4a,DG=CD-CG=2&,BC=CD=3 近,CG=CE=&,在 RrABDC 中，ZBCD=90,:.BDKCD2+B C 2=J（3 或）2 +格立）2 =&:NDHG=45,NDHG=90,DG=2企,嘿=疝45。=争：.DH=2,：.G
34、H=DH=2,：BH=BD-DH,:.BH=6-2=4,在 中,ZBHG=90,：.tan ZDBG=,B H【点睛】本题考查三角形全等的证明，直角三角形中锐角三角函数的定义等相关知识点，熟练掌握数形结合思想解题是重点.培优训练一、解答题1.(2022江苏八年级课时练习)如 图1,在4 ABCACB=90,/4C=8C,直线MN经过点C,且4D 1 MN于D,BE 1 MN 于 E.图1图2图3(1)由图 1,证明：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE,4。,BE的等量关系并说明理由;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问OEM。,BE又具有怎样的等
35、量关系？请直接写出这个等量关系(不必说明理由).【答案】(1)证明见解析；(2)DE=/D BE,证明过程见解析：(3)DE=BE /。,证明过程见解析【分析】先证明得到A。=C E Q L 3瓦进而得到E=CE+QC=AQ+8E即可；同中思路，证明AOC0ZCEB,进而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；同中思路，证明AOC丝 民 进 而 得 到DE=DC-CE=BE-AD即可.【详解】解：证明：在TABC中：乙1CB=9O。,A C 0 +NBCE=90。，9：AD 1 MN,：.Z.AC D Z.C AD=90,:乙BC E=/.C AD.又/C=B Q A D C=乙 C EB=90
36、,：.A D C=CE B(A A S：.AD=C E,DC =BE,直线MN经过点C,：.DE=C E+DC =AD BE；(2)DESD,8E的等量关系为：DE=A D-BE,理由如下：9：AD 1 MN 于。方 E 1 MN 于 E：.Z.ADC =乙 BEC =乙 AC B=90,：.Z.C AD+Z.AC D=90。,，力 CD+乙 BC E=90,:乙C AD=乙 BC E,(Z.C AD=乙 BC E在 A D C CEBz.ADC=(BEC =90,(AC =C B：.A D C=C EB(A AS):C E=AD,CD=BE,：.DE=C E-C D=AD-BE(3)当MN旋
37、转到图3的位置时刀E、AD.BE所满足的等量关系是OE=BE-4D,理由如下：aAD 1 MN 于。,BE 1 MN 于 E：.Z-ADC =Z-BEC =.AC B=90,：.Z.C AD +乙 AC D =9 0。,乙 4 c o +乙 B C E =9 0 ,：.L C AD =乙 B C E,(乙 C AD =乙 B C E在 AD C L C E B 中 4 4 0 C =乙B E C=9 0 ,(AC =C B：.AD C =C E B (A AS)：C E =AD,C D =B E,：.D E =C D -C E =B E -AD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角
38、三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键.2.(20 22 全国 八年级专题练习)如图所示,力 8 C 中,4 8 =A C B A C=9 0。,点。为4 8 上一点，过点8 作直线。的垂线,垂足为民连接4 邑过点4 作4 E 的垂线交C E 于点F.图 1 图 2 图 3(1)如 图 1,求乙4 E C 的度数；(2)如图 2,连接B F,且N 4 B F-N E 4 B =15 ,求证：B F=2C F；(3)如图3,在(2)的条件下,G 为D F 上一点，连接4 G,若=N E B F/G =2,求C F 的长.【答案】(1)4 5 ；(2)见解析
39、；(3)2【分析】(1)先证明/E AB =N 凡 4 C,4 AE B =4 4 ,再证明A A BE三?!,再利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得答案：(2)利用全等三角形的性质先求解4 E B F =6 0。,证明B E =C F,再求解N E F B =30。,从而可得结论；(3)如图，过4 作4Ml E F 于M,交B F于N,连接E N,证明 B E N 为等边三角形，再证明 4GM三 E N M,再利用全等三角形的性质可得答案.【详解】解：(1)-,/.B AC =9 0 ,AE 1 AF,：./.E AB +Z.D AF=/.D AF+Z.FAC=9 0 ,/.E
40、AF=9 0 ,Z.E AB =Z-FAC,v B E 1 C E,乙BED=90。,/./-AEB=(BED+Z.AEF=90+AEF=LAFC,即4AEB=Z-AFC.:.ABE=ACF,AE=AFAEC=45.(2)v ABE 三4ACF,:.乙ABE=乙ACF,BE=CF,:.Z.AEB=/.AFC=90+45=135,LEBA+乙EAB=45,/,ABF-/.EAB=15,乙ABF=15。+4 E4B,乙EBF=Z.EBA+Z-ABF=乙EBA+/.EAB+15=60。，A 乙BFE=90-60=30,：.BF=2BE,:BE=CF,:,BF=2CF.图2(3)如图，过4作AM 1
41、EF于M,交BF于N,连接EN,图3-AE=AFfAM 1 EF,AE 1 AF,EM=MF=AM,NE=NFf Z.NEF=乙NFE=30,4ENB=乙NEF+乙NFE=60,乙 EBN=4 ENB=60,BEN为等边三角形/E N F=12。,BE=BN=泗=FN=EN,/-AGD=乙EBF=60,AM 1 EF,乙ENM=3 乙ENF=60。，v AM=EM,Z.AMG=乙EMN=90,乙4GM=乙ENM=60,AGM=ENM,：.AG=EN=2,：.C F=BE=2.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边的半，等边三角形的判定与性质
42、，含30。的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.3.（2020.北京市第十三中学九年级期中）已知：中,NACB=90AC=8C.（1）如 图 1,点。是 8 c 边上一点（不与点8,C重合），连接AD,过点3 作 2，4。,交4。的延长线于点瓦连接CE.若NBAQ=a,求/。BE的 大 小（用含a 的式子表示）；用 等 式 表 示 线 段 和 EC之间的数量关系，并证明.（2）如图2,点。在线段BC的延长线上时，连接AO,过点B 作垂足E 在线段AD上，连接C E.依题意补全图2；直接写出线段EA,EB和 EC之间的数量关系.【答案】（1）NO8E=45o-a；AE-3E=迎,证明
43、见解析；（2）补全图形见解析：EB-EA=y2EC.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到NCAB=45。,即可求出/。=45。-防根据三角形的内角和即可求出/O5E=N CAD=45。-a；过点C作CR_LCE交AE于凡然后证明4CRg/8CE,得到4/?=8瓦CR=C即可得到 /?是等腰直角三角形,ER=鱼CE,由此即可求解；（2）根据题目要求作图即可；过点C作交AO的延长线于点F.根据三角形的内角和定理得到NCAQNC8区证明8CE.根据全等三角形的性质有4F=BE,C/三C E.根据等腰直角三角形的性质有所=/氐.则有”-E4二&EC,即可求出线段4,E3和EC之间的数量关系.【详
44、解】解：（1）如图1中，ZACB=90AC=BC,：.NCA3=45。，,/NBAD=a,.ZCAD=45-a.:ZACB=9OBE1.AD,ZADC=NBDE,：.ZDBE=NC4O=45。-a；结论：AE-BE=y/2EC.理由：如图，过点C作CRJ_CE交AE于R./ACB=Z/?CE=90,:./ACR=NBCE、Z CA R+NA DC=90,Z CBE+Z BDE=90,ZADC=Z BDE,:/CAR=NCBE,在ACR和8CE中，LACR=乙 BCECA=CB,Z.CAR=Z.CBE：./ACR/BCE(ASA),:AR=BE,CR=CE,.CER是等腰直角三角形,*.ER=y
45、fCE,猜想：当 D 在 8。边的延长线上时,E 8-E 4=&E C；理由如下:过点C作 CFLC邑交AO的延长线于点F,*/ZACB=90 ZACD=90,二 ZE C F+ZAC E=ZAC B+ZAC E,即 ZAC F ZB C E,/C AF+N AO8=9(r,N C B E+/AD B=9 0。，：.4C AF=N C B E,在AC T 和B C E 中，ZX C F =2B C EAC =B C ,Z.C AF=/.C B E：.AC F/B C E (AS A),:.AF=B E,C F=C E.Z C F=9 0 ,.C E尸是等腰直角三角形，；.E F=E C,即 A
46、F-E A=mE C.：.E B -E A=V 2E C.【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理,全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.4.(20 21四川省成都市七中育才学校七年级期中)己知：AAB C中/4 C B =9 0。,4。=C B,。为直线B C上一动点，连接AD,在直线4 c右侧作4 E 1 4 D,且4 E =AD.(1)如 图1,当点D在线段B C上时，过点E作E H 1 4 C于H,连接D E.求证：E H=AC-,(2)如图2,当点。在线段B C的延长线上时，连接B E交C 4的延长线于点M.求证：B M =E M；(3
47、)当点。在直线C B上时，连接B E交直线AC于M,若24 C =5 C M,请求出受些的值.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)或5【分析】(1)由“/U S 可 证 /。4,可得 二A。,即可求证；(2)过点E作EN 1 4 a交C4延长线于N,由“A4S，可证 ANE d DQ4,可得4C=EN=BC,由“A4S可证ENM d BCM,可得 BM=EM；(3)4C=5a,CM=2a,分三种情况：当点。在线段3 C上，点。在线段3 c的延长线上，点。在线段CB的延长线上,由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解.【详解】证 明(1)9：AE 1 ADACB=9
48、0,：.Z.EAH=90-AC ADADC=90-4 CAD,/.EAH=乙4DC,在/H E与 DC力中Z.AHE=乙 ACB=90Z.EAH=/.ADC,AE=AD =DCA(AAS EH=AC(2)如图2,过点E作1 4 c，交。4延长线于N,图2*：AE LA D A C B=90,L E A N =90 一 匕CAD,4ADC=90-乙CAD,二 LEAN=乙ADC,在4NE与DC4中，ZANE=Z.DCA=90乙 ENA=Z.ACDAN=ADANE*DCA(AAS),EN=AC.XV/IC=BC,EN=BC、又在aE N M与ABCM中，乙 EMN=乙 BMCZ.N=Z.BCA=9
49、0EN=BC/.ENM=8cM(7MS),则 BM=EM；(3)如图，当点。在线段8C上时,V2AC=5CM.；可设 4 c =5a,CM=2a,由(1)得：&AHE=DCA,则 AH=CD.EH=AC=BC=5a,由:乙EHM=乙BCM=90。/B M C =乙EMH,：.LM H E=M CB(A 4 S),：.CM=HM,即 HM=CM=2a,：.AH=AC-CM-HM=5a-2a-2a=a,：.AM=AH+HM=3a,CD=AH=a,EH=AC=Sa,BD=BC-C D =4a,.=I。=*a x 5 a _ 上S“EM-AMxEH 3ax5Q-3如图，点。在CB延长线上时，过点E作E
50、N 1 4C,交4C延长线于N,V 2 AC=5cM,，可设 AC=5a,CM=2a,VEN 1 AC,AE 1 AD,:乙ANE=Z.EAD=乙4cB=90,L E A N =90-4 CAD&DC=90-乙CAD,/.(EAN=U D C,在 ZkANE 与DC4 中，ZANE=ADCA=90乙 ENA=乙A CDAN=AD/.ANE G DCA(AAS),:.EN=AC.AN=CD,又/C=8C,EN=BC,又在ENM与BCM中，乙 EMN=乙 BMC乙 N=乙BCA=90EN=BC ENM BCM(AAS：.CM=NM=2a,NE=BC=AC=5a,：.AN=AC+CM+MN=9Q,A