《2023年中考数学压轴题培优教案专题08 将军饮马模型（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学压轴题培优教案专题08 将军饮马模型（含答案解析）.pdf（84页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题8将军饮马模型解题策略模 型 1:当两定点A、B 在直线/异侧时，在直线/上找一点P,使 出+P B 最小.B连接AB交直线/于点P,点P即为所求作的点.P A+P B的最小值为A B.模 型 2：当两定点A、B在直线/同侧时，在直线/上找一点尸，使得P A+P B最小.B作点B关于直线I的对称点8,连接A 3 交直线1于点P,点P即为所求作的点.P A+P B的最小值为A B 模型3：当两定点A、8 在直线/同侧时，在直线/上找一点P,使得最大.B.A连接AB并延长交直线I于点P,点P即为所求作的点,|PA-尸目的最大值为A B模型4
2、：当两定点A、8 在直线/异侧时，在直线/上找一点P,使得|尸 4-/8|最大.作点B关于直线/的对称点9,连 接 并 延 长 交 直 线I于 点 P,点P即为所求作的点.|PA-的最大值为A B,模型8：当两定点A、B 在直线/同侧时，在直线/上找一点P,使得最小.A.AB连接AB,作A B的垂直平分线交直线/于点P,点P即为所求作的点.-PB的最小值为0模 型6：点P在N A O B内部，在0 B边上找点D,OA边上找点C,使得k?周长最小.分别作点尸关于。4、的对称点P、尸 ,连接PP,交OA、0 B 于点C、。，点C、。即为所求.PCD周长的最小值为PP模 型7：点P在N A O B内
3、部，在O B边上找点D,OA边上找点C,使得P D+C D最小.作点P关于0 B的对称点户，过P作PC OA交O8,PO+C）的最小值为PC经典例题【例1】.（2022湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自 相 似 分 割 线 如 图1,在A8C 中,AB=AC=l,/BAC=108o,OE 垂直平分 48,且交 BC 于 点、。，连接 AD./B DC B（1）证明直线A C是AABC的自相似分割线;(2)如图2,点P为直线O E上一点，当点P运动到什么位置时，阴+PC的值最小
4、？求此时B4+PC的长度.(3)如图3,射线C F平分NAC8,点。为射线C F上一点，当4Q+与1CQ取最小值时，求N Q AC的正弦值.【例2】.(2021四川南充 模)如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=-T+b x+c经过点A(4,0)、B(0,4)、C.其对称轴/交x轴于点。，交直线A B于点尺交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)点尸为直线/上的动点，求PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点(点N不与点尸重合)，在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.例3(2022浙江衢州模拟预测)
5、如图,。是ABC的外接圆,A B为直径，弦A。平分NBAC,过点。作射线A C的垂线，垂足为M点E为线段A B上的动点.(1)求证：例。是。的切线；(2)若/8=30。/8=8,在点E运动过程中,EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到N 4C B的角平分线上，连接C E并延长，交。O于点F,交A D于点P,连接AF,CP=3,EF=4,求A F的长.例4(2022重庆巴蜀中学七年级期末)在放AABC中在R s C E H中,NCEH=45o,NEC7/=90。,连接AE.图2图3 如 图 1,若点E在 C B 延长线上，连接A H,且 A H
6、=6,求 AE的长；(2)如图2,若点E在 AC上,F为AE的中点，连接B F、BH,当2 H=2 8 F,N E H B+|/4 8 F=4 5。时,求证：A E=CE；(3)如图3,若点E在线段A C上运动，取A E的中点作 B C 交 A B 于 H,连接B E并延长到。，使得B E=O E,连接A。、C D；在线段8 c上取一点G,使得C G=A F,并连接E G；若点E在线段A C上运动的过程中，当ACO的周长取得最小值时,A A E O 的面积为2 5,请直接写出G E+B 的值.【例 5】(2 0 2 2 江苏九年级课时练习)如图,四边形4 8 C O 中/C B C,/B=9
7、0。工B=8,B C=2 0 H Z)=1 8,点。为 BC中点，动点P在线段AO边上以每秒2个单位的速度由点4向点。运动，设动点P的运动时间为t秒.(1)当 为何值时,四边形P 8 Q D 是平行四边形，请说明理由？(2)在 A。边上是否存在一点R,使得8、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出/的值:若不存在,请说明理由.(3)在线段P D上有一点M,且 P M=1 0,当点P从点A向右运动 秒时,四边形B C M P的周长最小，其最小值为.培优训练_ _ _ _ _ _ _ _ _ _/一、解答题1.(2 0 2 2.江苏八年级专题练习)如图，在Z k A B C 中,A
8、 B=A C,A。是A B C 底边B C上的中线，点 P为线段A B上一点.（1）在 AO上找一点E,使得PE+EB的值最小；（2）若点P为 AB的中点，当/B P E 满足什么条件时,A A B C 是等边三角形，并说明理由.2.（2 0 2 1 全国八年级专题练习）如图所示,在平面直角坐标系中，已知一次函数产$+1 的图象与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，以A 8 为边在第二象限内作正方形A B C D（2）求点CQ 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在点M,使Z i M C B 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.3.（2 0 2 2 江苏八年级专题练习）已
9、知Rt z A B C 中且B C=9,/B=3 0。.（1）如 图 1、2,若点。是 C B 上一点，且 C =3,点 E是 A B 上的动点，将 QB E 沿 OE对折，点 6的对应点为夕（点用和点C在直线A8的异侧）,D B A B 交于点H.当N E 4=2 0。时，求/EOB的度数.当 B H E 是等腰三角形时，求/Q E8的度数.（2）如图2,若点。是 C B 上一点，且 C D=3,M 是线段AC上的动点，以 为 直 角 构 造 等 腰 直 角（O,M,N三点顺时针方向排列），在点M 的运动过程中，直接写出C N+N 8 的最小值.4.（2 0 2 1 湖北武汉八年级期中）如图
10、，在 R t z M B C 中,N A C 8=9（T,/A 8 C=3 0。,A C=2,以 B C 为边向左作等边B C E,点。为 48中点，连接C D,点尸、。分别为C E、CO上的动点.(1)求证：A O C 为等边三角形;(2)求 P O+P Q+Q E 的最小值.5.（2 0 2 2 江苏八年级专题练习）如图，在 4 8 c 中，已知A B =4 C,4 8 的垂直平分线交4 B 于点。，交4 c 于点E,连接B E.（1）若 B C =6 8。,求N 4 E D 的度数；（2）若点尸为直线O E 上一点/B =Q,B C =6,求A P B C 周长的最小值.6.（2 0 2
11、 1 江苏星海实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中,直线/平行于x 轴，/上有两点4 8,且点 A坐 标 为（-1 4,8），点 B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q 分别从A、8出发，沿直线/向右运动，点 尸速度为2个单位/秒，点 Q 速度为6个单位/秒,设运动时间为，秒.（1）用含f 的代数式表示P、。的坐标：P（）（）;（2）在P、Q运动过程中,取线段PQ的中点。，当03。为直角三角形时，求出，的值及相应的点。的坐标；（3）取 满 足（2）中条件最右侧的。点，若坐标系中存在另一点E（-*一4），请问x轴上是否存在一点F,使 尸。一尸 的值最大，若存在,求出最大值；若不存在
12、，说明理由.7.（2021.全国.九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中，抛 物 线 尸 争2 一第x-遮 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点。，点E（4,）在抛物线上.（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC,PE.当APCE的面积最大时，连接CD,CB,点K是线段CB的中点，点M是C尸上的一点，点N是CQ上的一点，求KM+M N+N K的最小值；（3）点G是线段C E的中点，将抛物线-学-遍 沿x轴正方向平移得到新抛物线y,y经过点D,y 的顶点为点F.在新抛物线的对称轴上,是否存在一点。，使得FGQ为等腰三角形
13、？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在,请说明理由.8.（2021.四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作为DBC和RtzXABC,其中 ZA=/O=90O 4B=ACAC、B D 交于点、P.（1）如图 1,8P 平分/A B C,求证：B C=A B+A P;(2)如图2,过点A作分别交B P、B C于点E、点F,连接A Q,过A作A G L4 D,交8。于点G,连接CG,交A F于点H,求证：ZV I B G丝A O C；求证：G H=C H；(3)如图3,点 历为边A B的中点，点。是边8 c上一动点，连接M。,将线段M Q绕点、M逆时针旋转9 0。得到线段M
14、K,连接P K、C K,当/力8 c=1 5。,”=2时，请直接写出P K+C K的最小值.9.(2 0 2 1 广东岭南画派纪念中学八年级阶段练习)如图,在平面直角坐标系中，直线y=-%-2分别与小y轴交于A、C两点，点8 (1,0)在x轴上.(1)求直线B C的解析式；(2)若点C关于原点的对称点为C,问在A B的垂直平分线上是否存在一点G,使得 GBC的周长最小？若存在,求出点G的坐标和最小周长；若不存在,请说明理由.(3)设点尸是直线B C上异于点8、C的一个动点，过点P作 尸。x轴交直线4 c于点Q,过点Q作。轴于点M,再过点P作P N L x轴于点N,得到矩形P Q M N,在点P
15、的运动过程中，当矩形P Q W N为正方形时，求该正方形的边长.1 0.(2 02 1陕西宝鸡九年级期中)问题提出(1)在 图1中作出点B关于直线AC的对称点B问题探究(2)如图2,在仆ABC,AB=AC=6/B4C=1 2 0。，。为4c的中点,P为线段BC上一点，求4P +DP的最小值.问题解决（3）如图 3,四边形ABC。为小区绿化区,DA=D C A D C=9 0。,AB=6 +6 倔 8 c =1 2,Z F=3 0。,At 是以。为圆心,D 4 为半径的圆弧.现在规划在此，边BC 和边A C 上分别取一点P,E,F,使得DP +PE +E F+P F为这一区域小路，求小路长度的最
16、小值.1 1.（2 02 1 全国九年级专题练习）已知在R t 0 4 B 中,zZ M B=9 0。,乙48。=3 0,OB =4,将R t OA B 绕点0顺时针旋转6 0。,得到 ODC,点D 在8。上，连接BC.(1)如图，求线段8 C 的长;(2)(3)如图，连接4C,作OP 1 AC,垂足为P,求。P 的长度;如图，点M是线段O C 的中点，点N是线段O B 上的动点（不与点。重合），求A C MN周长的最小值.1 2.（2 02 1 全国九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,4（0,2）、5（-2,0）,。（2,2）,点后、F分别是直线力 B 和x 轴上的动点，求 CE F周
17、长的最小值.1 3.（2 02 1 全国九年级专题练习）如图,抛物线丫 =/+历：+（；与 轴交于4（一1,0）、B 两点，与y 轴交于点C(0,-3).图图(1)求抛物线的解析式：(2)如图，连接BC,点P是抛物线在第四象限上一点，连接P B,P C,求 BCP面积的最大值；(3)如图，点。为抛物线的顶点，点C关于抛物线对称轴的对称点为点E,连接。E.将抛物线沿x轴向右平移t个单位，点4 8的对应点分别为4、9，连接4。、夕E,当四边形4 0 E夕的周长取最小值时，求t的值.1 4.(2 02 2 全国八年级课时练习)如图，在四边形ABCD中=4。=9 0。,E,尸 分别是BC,CD上的点，
18、连接A E,A F,E F.(1)如图,AB=A D,Z.B A D =1 20,Z.E A F=6 0.求证：E F=B E +D F；(2)如图/BAD=1 2 0。,当?!1户周长最小时，求乙4E F+乙4FE的度数；(3)如图，若四边形力BCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且“4F=45。,若BE =3.DF=2,请求出线段E F的长度.1 5.(2 02 1 全国九年级专题练习)如图，等边 ABC的边长为6,点D,E分别是边BC/C的中点，连接BE.(1)如图，求点。到线段BE的最短距离；(2)点P,N分 别 是 上 的 动 点，连接P N、PD.如图，当P N +P C的
19、长度取得最小值时，求BP的长度；如图，点Q在8 E上，若BQ =1,连接Q N,求Q N +NP+P D的最小值.1 6.(2 02 1 全国九年级课时练习)在平面直角坐标系中，以点P(2禽,-3)为圆心的圆与x轴相交于4、B两点,与y轴相切于点C,抛物线y =ax2+b x +c经过点4、B、C,顶点为。.（1）求抛物线的表达式；（2）点M为y 轴上一点，连接DM,M P,是否存在点M使得A D MP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及4D M P 的周长最小值；若不存在,请说明理由.1 7.（2 02 1 全国九年级专题练习）如图，在R t A B C 中,/BAC=9 0。,“=3 0,
20、B C=4,0。是4 力 B C 的外接圆，。是 延 长 线 上 一 点，且BD=2,连接Z M,点P 是射线。4 上的动点（1）求证：D 4 是。0 的切线；（2）D P 的长度为多少时/B P C 的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；（3）点P 运动的过程中,P B+P C的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由.1 8.（2 02 1 全国九年级专题练习）如凰在A A B C 中,A D 是 B C 边上的中线，点 E是 A D 的中点，过点A 作 AF BC交 B E的延长线于F,连接CF.（2）若N BAC=9 0。,试判断四边形A D C F 的形状，并证明你
21、的结论；（3）在（2）的情况下，点 M 在 A C 线段上移动，请直接回答，当点M 移动到什么位置时,MB+MD 有最小值.1 9.（2 02 2 全国八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P 在乙40B内，过点P 分别作关于。4、。8 的对称点1、如图1,若10B=25,请直接写出乙P1OP2=;如图2,连接巳。2分别交。力、。8于C、。，若NCPO=98。,求乙40B的度数；在的条件下，若NCPD=戊度（90 a BC,当点P与。重合时,PA+PC=PB+PC=8C,此时 P4+PC 最小，设 BD=x,则 BC=x+1根据 DBA八48C,列出方程,解方程求解即可求得BD,进而即可求得
22、8 c 的长，即P4+PC最小值；(3)过点4 作4H 1 8 c 于点儿过点Q作QG 1 BC于点G,连接4G,设C尸与4。交于点M,根据已知条件求得GQ=在二CQ,进而转化为AQ+三二CQ=AQ+GQ,则当Q点落在4G上时，点G与点”重合，此时4Q+造二CQ的值4 4 4最小，最小值为4”,进而根据sin 4 4 C =sinHAC=翳求解即可.(1),.48C 中,A8=AC=1,N84C=108.,.Z B=Z C=i(1800-ZBAC)=362；)E 垂直平分A8:.AD=BD：.ZB=ZBAD=36：.Z C =ZBAD又；NB=NB:*DBASABC：.直线AD是AABC的自相
23、似分割线.(2)如图，连接PB/D,图2 DE垂直平分A3,.PA=PB.PA-PC=PB-l-PC BC当点尸与。重合时,PA+PC=P8+PC=B C M P A +PC最小，Z.ADC=乙8+乙BAD=720DAC=Z.BAC-乙BAD=72.0 /-ADC Z.DAC.CD=CA=1设8。=乜则BC=x+lDBA ABCBD _ AB 而=而x 1*一=-1 x+1A X2+X-1=0解得=手 x 0.V _ -1+V5.人-2V5+1BC=%+1=-2.向+PC粤二当点P运动到D点时,B4+PC的值最小，此时P4+PC=2(3)如图，过点4作4H 1 也于点H,过点Q作QG 1 BC
24、于点G,连接4G,设CF与4。交于点M,AB=AC,1.CH=-B C =V5+1-4-由(2)矢 l,QC=4C=1 CF平分乙4cBM3吁 妥 冷 号/.CM 1 AD1 V 5-1DM=AM=-AD=-2 4V 5-1 GQ=CQVs 1 AQ+-CQ=AQ+GQ AG4v AG AHQ点落在AG上时，点G与点重合,即此时4Q+亨CQ的值最小，最小值为4H AQAC=Z.HAC,AB=AC,AH 1 BC1 V 5+1:.CH =B C =-2 4CH V5+1 sinzQ/lC=sinz.HAC=-“AC 4 N Q AC的正弦值为包4【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,求角的正
25、弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键.【例 2】(2021 四川南充一 模)如图,在平面直角坐标系中，抛 物 线 丫=-平+bx+c经过点4(4,0)、B(0,4)、C.其对称轴/交x 轴于点Q,交直线AB于点F,交抛物线于点E.(2)点 P 为直线/上的动点，求PBC周长的最小值；(3)点 N 为直线4 8 上的一点(点N 不与点尸重合)，在抛物线上是否存在一点M,使以点、/、N、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(l)y=-/+3x+4 VT7+4V2 存 在,管 或(手,二 誉)或(4
26、-同7-2同）2 4【分析】(1)把点A(4,0)、B(0,4)代入抛物线产-1+灰+。中，求得人和c 即可;(2)作点8 关于直线/的对称轴长，连接夕C 交/于一点P,点 P 即为使PBC周长最小的点，由对称可知,即PBC周长的最小值为：BC+CB；(3)设 M(，公力2+3 计 4),当 E F 为边时，则 EF历N,则 N,所以MW=7三上，即 卜，层+3?+4-(-4m+4)|二求出胴的值，代入即可；当所为对角线时，所 的 中 点 为(|,g)，由中点坐标公式可求得点N 的坐标,再由点N 是直线A 8 匕一点，可知-3+m+4=z 后 3 +?,解得m的值即可.4(1)解：把点A(4,
27、0)、B(0,4)代入抛物线产-?+b x+c 中，得，尸6 tC =()，解得:：4 ,，抛物线的解析式为：y=-x2+3 x+4；(2)解：由抛物线解析式可知，对称轴直线/：x=l，点 A(4,0),.点 C(-1,0),如图，作点8关于直线/的对称轴/连接夕C交/于一点尸,点P 即为使 PB C 周长最小的点，设直线B C的解析式为产自+,.(3 k+瓦=4,口+d=0，解 得:C.直线夕C的解析式为：尸x+1,把尸|代入得：)=|+1=|，翁,V B (0,4),C(-1,0),B (3,4),.,.8 C=2 +4 2 =g,CB J(3 +1)2 +4 2=4 鱼,.P8 C 周长
28、的最小值为：V 17 +4 V 2:解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为弓，斗）或（把 包,_ 迥）或2 4 2 4（匕 且，上3更）.理由如下：2 4由抛物线解析式可知,E （1,）,2 4V A（4,0）、B（0,4）,/.直线A B的解析式为：产-工+4,：.F（旱）.2 2；.E F巨4设Af （肛-源+3川+4）,当七尸为边时，则E FM N,:N（m,-/n+4）,/.N M=E F=,HP-m2+3m+4-（-m+4）|=,4 4解得，=l （舍）或I或 把 严 或 手，：.M（手）或（酒,一11返）或（匕 竺 乃 坦）.2 4 2 4 2 4 当
29、E F为对角线时,E F的中点为号,自），N o/.点 N 的坐标为（3-/n,m2-3/n+-）,4；-3+，+4=解得加二|（舍），/%二|,/5 21、M（5彳）综上，满 足 以 点 反F、M M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为弓,与）或（如 笆,-Z坦 笆）或2 4 2 4（4-后 7-27312,4,【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题,解题过程中注意需要分类讨论.例3 （2 02 2浙江衢州模拟预测）如图,。0是a A B C的外接圆力B为直径，弦A D平分N8 AC,过点。作射线A C的垂线，垂足为M点E为线段A 8上的动点.(1)求证：是。
30、的切线；(2)若NB=3(T4B=8,在点E 运动过程中,EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E 恰好运动到/A C B 的角平分线上，连接C E并延长，交。0 于点F,交 AD于点P,连接A F,C P=3,E F=4,求 A F 的长.【答案】(1)证明见解析(2)存在,EC+EM的最小值为2 g,理由见解析(3)6【分析】(1)连接0D,交 BC于点M通过证明四边形CNDM为矩形得出。1 MD,利用切线的判定定理即可得出结论.(2)过点C 作CF 1 48,并延长交。于点F,连接MF,交 A B 丁点E,连接EC,利用将军饮马模型可知此时EC+E
31、M的值最小,由题意可得尸。为圆的直径，在RSFD M 中，利用勾股定理即可求得结论.(3)利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定凡 4P为等腰三角形，证明AF4EAFCA,利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论.(1)解：如图，连接交8 c 于点N,A B为直径4 A C B=90.乙 B C M=90.弦 平分/8AC,：.C D =B t)ON 1 B C.D M 1 A C,.四边形CNQM为矩形0D 1 MD.。为圆的半径是。的切线(2)解：在点E 运动过程中,EC+EM存在最小值，理由如下：过点C 作CF 1 AB,并延长交。O F 点 F,连接MF,交
32、A B 于点瓦连接EC,则此时EC+EM的值最小乙 B=30,44 cB=90,/.CAB=60.弦 4。平分/8AC,A ZLCAD=乙DAB=30.与附的度数为60 AB是直径AC=CD=RDAB 1 CD,AB 是直径:.AC=AF.A f+Ct)=180P7记为半圆./为圆的直径由(1)知：是。O 的切线FD 1 MD.由题意得：A 3 垂直平分FC EC=EF.EC+EM=EF+EM=FM 乙 CFD=DAB,/LDAB=30 乙CFD=30.v AB=8,FD=8.由(1)知：四边形CNDM为矩形 MD=NC.v ON 1 BC1二 CN=-B C.在 中BC sinzCAB=,A
33、B。V3 LBC=AB-sin60=8 x =4V3.1MD=CN=-B C =2V3.在RtAFDM中MF=JDF2+MD2=J 82+(2V3)2=2V19 EC+EM的最小值为M尸=2 g.解：如图FC 平分 44C B/AC B=90,4ACF=乙BCF=45乙 BAF=乙 BCF=45 平分 M AC,Z.CAD=乙 BADv Z.PAF=乙BAD+匕BAF,乙APF=乙ACF+Z.CAD,Z.PAF=Z.APF,AF=FP.FC=FP+CP=AF+3.:Z-FAB 乙ACF=45zF =乙F,LFAE lFCA.FA _ FE 丽=就FA2=FE FC=4(4F+3).AF2-4A
34、F-12=0.解得4尸=6或4尸=-2 (不合题意,舍去)AF=6.【点睛】本题是一道圆的综合题,此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论,轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形,特殊角的三角函数值，连接半径。和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键.例4(2022重庆巴蜀中学七年级期末)在即AABC中,AB=BC,在RgCEH中，/CEH=45,NECH=90。,连接AE.(1)如 图1,若点E在C8延长线上，连接AH,且AH=6,求AE的长；(2)如图2,若点E在AC上,F为AE的中点，连接BF、BH,当BH=28F,NEHB+
35、|NH8F=45。时,求证：AE=CE；(3)如图3,若点E在线段AC上运动，取 AE的中点F,作F H B C 交 A B 于 ”，连接跖并延长到。，使得B E=连接A。、CD；在线段BC上取一点G 使得CG=A并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当A C D的周长取得最小值时,AAE。的面积为25,请直接写出GE+8H，的值.【答案】(1)4E=6(2)见解析(3)GE+BH=i5+5旧2【分析】(1 )在 RtZkABC中，由 A8=BC得N8AC=NAC8=45。,从而得NACE=NACH,再找 CE=C”,进而证明人(?4AC”,即可得AE=A=6；(2)连接BE,设 B H
36、 与 A C 交于点G,可证得ABF丝CBG,从而得出BG=BBH=2BG”进而得出EG，g CG8,进一步得出结果；(3)作DN/AC作点、A的对称点4,连接AC交D N 于“连接BD,交4 c 与 ,则当点。在。处，点 E在点&处时,ZVIC。的周长最小，进而求得4 8 为等腰直角三角形，进而求得AF,A 9 和 EG,进一步得出结果.(1)解：在 Rt/ABC,AB=BC,：-Z B A C=ZACB=45,：Z E C H=90,：.ZACH=45,：.Z A C E=ZAC”,在 RfZC7/中,/CEH=45,；.NC”E=45,；.CE=C”,：AC=4C,；.ZVlCE9ZiA
37、CH(SAS),，AE=11EHB=：N C B G +；NABF,：,N C B G=ZA8F,：AB=AC,/4=/AC 8=45。,，AB/WZXCBG(ASA),：.BG=BF,:BH=2BF,：.BH=2BG；：N H E G=NBCG=45 ,NEGH=NCGB,：.丛E G H W 4 C G B(AAS),：.EG=CG,.四边形 E8CH是平行四边形,.8E/CH；.N B E G=NECH=90,：.AE=CE；A 作 W A C,作点A关于直线DM的对称点4,连 接A C交D N于。，连 接B O.交AC与，则当点。在。处，点E在点廿处时,A C。的周长最小，此时A C。
38、为等腰直角三角形,.S M O =2 a E 2=2 5,；.A E =5&,；.A C=2 A E =1 0 V,；.A 8=B C=4 C=1 0,：A F=2AE=2,2 2 2 2=月 厅=斗 尸=|,，8/=1 0 -|/,；4尸=C G,N B A F=/8 C 4=4 5。/8=C E,二 /A B F/C E G(S A S),；.B F=E G,；.E G=B F=B H 2+FH 2=J(y)2 +(|)2=|VTO,?.G E+B”=土;逗【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质以及勾股定理等知识，熟练掌握“将军饮马”等模型是解决问题的关键
39、.例5 (2 0 2 2江苏九年级课时练习)如图,四边形A 8 C D中/。8=3,点E是4 B上的动点，将OBE沿OE对折，点8的对应点为B（点 和 点C在直线AB的异侧）,D B，与 A B交于点H.当/B，E4=20。时，求的度数.当 是 等 腰 三 角 形 时，求NO E2的度数.（2）如图2,若点。是CB上一点，且C=3,例是线段AC上的动点，以 为 直 角 构 造 等 腰 直 角DMN（O,M,N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+N8的最小值.【答案】(1)50；105或 127.5；(2)3 m.【分析】(1)由题意利用翻折变换的性质求出N O E B,可得
40、结论；根据题意分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出/DEB即可；(2)根据题意连接C N,B N,过点N作直线于点7,作点C关于直线/的对称点Q,连接BQ.证明 O C M丝 N T D(4 4 S),推出C D=N T=3,推出点N在直线/上运动，由C,Q关于直线/对称，推出N C=N Q,C Q=2 N T=6,根据 C N+B N=N Q+B电B Q,求出 8 Q,可得结论.【详解】解：(1)当/8 4=2 0。时，由翻折的性质可知,/E 8=N E 8 =：3 6 0 -(1 8 0-2 0)=1 0 0,Z E B=1 8 0 -/D E B -NB=1 8 0 -1 0 0 -3
41、 0=5 0；(2)当 时,N B =N B=N A E B =3 0 ,N DEB=N DEB=：3 6 0 -(1 8 0 -3 0)=1 0 5；当 B H=B E 时,NA E B =N B H E=g(1 8 0 -3 0)=7 5,，N DEB=N DEB，=3 3 6 0 -(1 8 0 -7 5)=1 2 7.5 ,当 E 8 =E时,N A E 8 =1 8 0 -3 0 -3 0=1 2 0 ,:.N D E B=N D E B =3 3 6 0 -(1 8 0 -1 2 0)|=1 5 0 (舍 弃)，综上所述为1 0 5。或1 2 7.5；(3)如图3中，连接C N,B
42、 N,过点、N作直线l A C,NT C B于-点T,作点C关于直线/的对称点。，连接B Q./DCM=4M DN=Z D TN=9 0,：.Z C D M+Z TD N=9 0,Z TD N+Z T N D=9 0,N CDM=N D N T、在 O C M和中，L D C M =乙 N T D C D M =乙D N T ,.D M =N D:./D C Mq/NTD (A A S),:.CD=NT=3,.点N 在直线/上运动，：C,Q关于直线/对称，,NC=NQ,CQ=2NT=6,CN+BN=NQ+BNBQ.BQ=BC2+CQ2=V92+6 2=3 g,：.CN+BN3y/i3,：.CN
43、+BN的最小值为3V13.【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换和三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质以及两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.4.（2021 湖北武汉八年级期中）如图，在 RtZVIBC中,N 4C 8=9（）o,/C=30。,AC=2,以BC为边向左作等边BCE,点。为4 8 中点，连接C。,点 P、。分别为CE、C力上的动点.（1）求证：ACC为等边三角形；（2）求 PD+PQ+QE的最小值.【答案】（I）证明见解析；（2）4.【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得NB4C=60。,4。=CD,再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接
44、P4Q B,先根据等边三角形的性质可得4ACE=再根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分AD,然后根据线段垂直平分线的性质可得尸4=PD,同样的方法可得QB=QE,从而可得PC+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即可得出答案.【详解】证明：（1）ABCP,/-ACB=90,Zi4BC=30,/4C=2,/-BAC=60,48=2AC=4,:点、D是Rt 4 8 c斜边4 8 的中点，AD=AC=2,4DC是等边三角形;(2)如图，连接P 4 Q反 BCE和 4DC都是等边三角形，乙BCE=60,NACD=60,/.ACE=Z.ACB-乙BCE=30=-/.ACD,2 CE
45、垂直平分AD,PA=PD,同理可得：CD垂直平分BE,QB-QE,PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,由两点之间线段最短可知，当点A P,Q,8共线时,P4+PQ+QB取得最小值ZB,故PD+PQ+QE的最小值为4.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键.5.(2022江苏八年级专题练习)如图，在 ABC中，已知ZB=4 C S B的垂直平分线交4B于点。，交4 c于点E,连接BE.(1)若4ABC=68。,求N4ED的度数；(2)若点尸为直线DE上一点,AB=Q,BC=6,求4 PBC周长的最小值.【答案】（1）46
46、：（2）14【分析】（I）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求得乙1的度数，继而求得44ED；（2）利用最短路线模型计算即可；【详解】解：（1）,：AB=AC,.C =ZABC=68。，：.A=180-68-68=44,YOE垂直平分48,J./.ADE=90,.Z E D =90 44=46；（2）当点尸与点重合时,APBC的周长最小，理由：PB+PC=PA+PC AC,：.当点P 与点E重合时,P4+PC=A C M P B +PC最小值等于/C 的长，PBC的周长最小值为=AC+BC=8+6=14.【点睛】本题考查了最短路线问题问题以及等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记性质是
47、解题的关键.6.（2021江苏星海实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中,直线/平行于x 轴，/上有两点A、B,且点A 坐 标 为（-14,8）,点 B 位于A 点右侧，两点相距8 个单位，动点P、。分别从A、8 出发，沿直线/向右运动，点尸速度为2 个单位/秒，点。速度为6 个单位/秒,设运动时间为f 秒.（1）用含，的代数式表示P、。的坐标：P（）,Q（）；（2）在 P、。运动过程中，取线段PQ的中点。，当AOBO为直角三角形时，求出r 的值及相应的点。的坐标；（3）取 满 足（2）中条件最右侧的。点，若坐标系中存在另一点E（一学一4），请问x 轴上是否存在一点F,使 尸。一FE的值
48、最大，若存在,求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】(1)-14+2f,8；-6+6 r,8；(2)当08。为直角三角形时,t=2.5,点。的坐标为(0,8)或者t=今 点。的坐标为(系8)；x轴上存在一点F,使下。一所的值最大，最 大 值 为 旧ID O【分析】(1)根据点A坐 标 为(-14,8),点B位于A点右侧，两点相距8个单位可得点B的坐标，进而可得点P、。的坐标；(2)先表示出中点。的坐标,再根据08。为直角三角形画出相应图形逐个求解即可；(3)作点E关于x轴 的 对 称 点 口,连 接 并 延 长，交x轴于点F,连接EF,先利用两点之间线段最短证明F。一FE=取得最大值,最大值
49、为线段DE,的长，再利用两点间的距离公式计算即可求得答案.【详解】解：(1).点A坐 标 为(-14,8),点B位于A点右侧，两点相距8个单位，.点8的坐标为(-6,8),动点P、。分别从4、8出发，沿直线/向右运动，点P速度为2个单位/秒，点。速度为6个单位/秒,设运动时间为，秒，.点尸、0的坐标分别为 P(-14+2?,8),Q(6+61,8),故答案为：14+2*8；6+6f,8；(2)由 可 得：点p、Q的坐标分别为P(-1 4+2/,8),Q(-6+6/,8),.线段PQ的中点。的坐标为(T 4+2；-6+6 t,8),即 D(-1 0 +4C.8),.点。在直线/上，.NOBO不可
50、能是直角.如图，当/8 0 0=9 0。时，点。位于点。处，此时点。的坐标为(0,8),则一 10+4t=0,解得：t=2.5；当NBOD=90。时，点 位于点功处，则 0加+。2 =B/)2,:点 O(0,0),B(-6,8),D(-1 0 +4 t,8),.&+82)+(-10+4t产+82=(-10+4t+6)2+02,解得：t=?O21 02 -10+4t=-10+4 x-=,6 3 此时点。的坐标为(y,8),综上所述：当0 8。为直角三角形时,t =2.5,点。的坐标为(0,8)或者t =I点。的坐标为 噌,8)；63(3)如图，作点E关于x轴的对称点，连接。臼并延长，交无轴于点尸