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1、第二部分第二部分 攻克专题得高分攻克专题得高分专题三专题三 第第25题综合与实践题综合与实践类型三 线段最值问题（20142018、2009.25）【类型解读】线段最值问题近10年考查3次；考查形式为利用两点之间线段最短和轴对称的性质，求线段的最小值、三角形或四边形周长的最小值.大题小做一、利用垂线段最短解决线段最值问题1.如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值是_2第1题图【解析】如解图，作PBOM于点B，则PQPBPA2.第1题解图方法指导 PQ属于直线外一定点与直线上一动点所连的线段，故与射线OM垂直时最短，再根据“角平分线上的点到角两
2、边的距离相等”即可得到答案.2.如图，在ABC中，ABAC5，BC6.若点P在AC上移动，则PB的最小值是_第2题图【解析】如解图，根据垂线段最短，得到BPAC时，BP最短，过A作ADBC，交BC于点D，ABAC，ADBC，D为BC的中点，又BC6，BDCD3，在RtADC中，AC5，CD3，根据勾股定理得AD 4，又SABC BCAD BPAC，BP .第2题解图方法指导 求一条线段的最小值通常作垂线，利用垂线段最短，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.3.如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值是_第3题图【解析
3、】由题意，知OP3，PQ切O于点Q，OQPQ，从而PQ (当OP l时，“”成立)方法指导 根据切线的性质可知OPQ是直角三角形，由勾股定理，有OQ2PQ2OP2，即22PQ2OP2，故欲求PQ的最小值，只需求OP的最小值，而OP属于直线外一定点与直线上一动点所连的线段，故OP与直线l垂直时最短.二、利用两点之间线段最短解决最值问题1.如图，在RtABC中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_第1题图【解析】如解图，连接AO，与O相交于点P，由已知结论可知，此时AP最短，ACB90，ACBC2，BC为直径，POCO1，AO ，A
4、P .第1题解图方法指导 圆外一定点与圆上一动点之间的距离的最小值，等于圆外一定点与圆心之间的距离与圆的半径之差.方法指导 由于ED2，求BDE周长的最小值即求BEBD的最小值，属于求“一定两动”型折线段的最小值问题，需设法将其转化为“两定一动”型之“将军饮马”问题，需要将两动点平移至一处(重合)，故将其中一条动线段平移至与另一条动线段的动端点重合，再作对称、连接并根据勾股定理进行计算.2.如图，sinC ，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC5，则BDE周长的最小值是_第2题图【解析】如解图，过点B作BHCF于点H，由sinC ，BC5，知BH3，平移DB至EB，连接
5、BB，可知四边形BDEB是平行四边形，故BBED2，BB ED，作点B关于CF对称的点G，连接EG，GB，GB，易知BG2BH6，BGBB，EBDBEBEBEBEGGB ，当点G，E，B三点共线时，“”成立，故BDE周长的最小值为 .第2题解图三、利用轴对称的性质求与线段有关的最值问题1.如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边中点，E是AB上一动点，则ECED的最小值为_第1题图【解析】如解图，若点C关于AB的对称点为点F，连接AF，BF，DF，DF交AB于点E，ACBC，ACB90，易得四边形AFBC为正方形，连接CE，CEEF，CEDEDF.根据两点之间线段最短，可知DF即为
6、ECED的最小值，在RtBDF中，DF ，ECED的最小值为 .第1题解图方法指导 求一定直线上的动点和直线同侧两定点的距离之和的最小值，作其中一定点关于定直线的对称点，对称点与另一点的连接与定直线的交点就是所要找的点.2.如图，半径为1的半圆弧上有两点C、D，点O为圆心，其中AOC30，BOD60，在直径AB上存在一点到C、D两点的距离和最短，这个最短距离为_(参考数据：cos15 )第2题图【解析】如解图，补全O，作点C关于AB的对称点C，则AOCAOC30，连接DC交AB于一点P，则点P到C、D两点的距离之和最小，为CD.BOD60，AOC30，COD90，CODCOACOACOD150
7、，DCO15，过点O作OECD于点E，则CD2CE，且CEOCcos15cos15 ，CD2CE .第2题解图3.如图，在锐角ABC中，AB ，BAC45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是_第3题图1【解析】如解图，作点N关于AD的对称点N，AD平分BAC，点N在AC上，易得MNMN，MNBMBMMN，当B、M、N三点共线且BNAC时，BN最短，BAC45，在RtABN中，BNABsin45 1，即BMMN的最小值为1.第3题解图方法指导 求一个定点与两个动点形成的两条动线段和的最小值，与“直线外一定点与直线上一动点连接的折线段长的最小值”模型接近
8、，需要将“后一个”动点“放在”另外一条定直线上(或者转移定点)，注意到角平分线自身具备的对称性，通过轴对称变换将其中一条动线段改变位置而不改变长度.104.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM2，点N是AC上的一个动点，则DNMN的最小值是_第4题图【解析】如解图，连接BN，BM，BM交AC于点E，四边形ABCD是正方形，BNDN，DNMNBNMNBM，正方形ABCD的边长为8，且DM2，BC8，CM6，BCM90，BM10，当点N在点E处时，DNMN有最小值10.第4题解图方法指导 求定直线上的动点与定直线同侧的两个定点的距离之和的最小值，首先作其中一个定点关于定直线的对称点
9、，注意到正方形自身的(轴)对称性，将发现点B与点D关于AC对称，故只需要连接BN，再应用“两点之间，线段最短”求最小值.方法指导 求PQR周长的最小值即求PQQRRP的最小值，属于“一定两动”型三动线段之和的最小值问题，分别作定点关于定直线的对称点，将其中两条动线段不改变长度而改变位置，把围在一起的封闭折线段转化为两定点之间的折线段，再根据“两点之间，线段最短”求最小值.5.如图，AOB45，P是AOB内一点，PO10，Q，R分别是OA，OB上的动点，则PQR周长的最小值是_第5题图【解析】如解图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连接P1Q，P2R，P1P2，OP1，OP2，由对称性可知，PQP1Q，PRP2R，OP1OP2OP10，P1OAPOA，P2OBPOB，从而有P1OP2P1OAAOPPOBBOP22(AOPPOB)2AOB90，PQQRRPP1QQRRP2P1P2 ，当点P1，Q，R，P2共线时，PQR有最小周长 .第5题解图