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1、有效改进数学课堂教学有效改进数学课堂教学人民教育出版社人民教育出版社章建跃章建跃一、有效教学的关键一、有效教学的关键理解数学，理解学生，理解教学。理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中科知识；中小学数学课程结构体系、教学小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。估学生的知识理解水平的知识；等。特别特别是，是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的理解水
2、平决定了教学所能达到的水平和的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。效果。例例1：为什么说：为什么说在有理数乘法在有理数乘法法则的教材设法则的教材设计中，渗透了计中，渗透了数系扩充的基数系扩充的基本思想本思想原原有数系的运算有数系的运算和运算律保持和运算律保持不变？不变？例例2：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的意义。那么，难点在哪里？意义。那么，难点在哪里？难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变化用正数表示，向指定方向
3、的相反方向变化用负化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示这与学生的日常经验有一定的矛盾，需数表示这与学生的日常经验有一定的矛盾，需要一个要一个“心理转换心理转换”：把：把“体重减少体重减少1kg”转换为转换为“体重增长体重增长1kg”，需要对，需要对“负负”与与“正正”的相的相对性有较好的理解。对性有较好的理解。例例3 3 在在“二元一次方程组二元一次方程组”的学习中，学的学习中，学生在认知上会有哪些问题？应如何生在认知上会有哪些问题？应如何化解化解？例4 方程概念的本质是什么？方程是含有未知数的等式方程是含有未知数的等式重要吗？例如：重要吗？例如：ab=ba，是含有字母的恒等式，是
4、不是方程？，是含有字母的恒等式，是不是方程？0 x=0，xx=0，x=1也是含有也是含有“未知数未知数”的等式，值得的等式，值得研究吗？研究吗？理解方程，其核心在于：理解方程，其核心在于：引入方程概念的目的是为了求未知数；引入方程概念的目的是为了求未知数；方程是一种关系，方程是一种关系，即在未知数和已知数之间产生即在未知数和已知数之间产生的一种关系；的一种关系；方程是一种等式关系，借助等式的同解变换，方程是一种等式关系，借助等式的同解变换，经经过对消和还原，将未知数暴露出来。过对消和还原，将未知数暴露出来。方程的这些思想方法，是代数方法不同于方程的这些思想方法，是代数方法不同于算术方法的本质所
5、在。算术方法的本质所在。方程使用的代数方法，和算术方法的思路方程使用的代数方法，和算术方法的思路是相反的。如果把未知数当做在河对岸的是相反的。如果把未知数当做在河对岸的宝石，那么算术方法是摸着石头过河，一宝石，那么算术方法是摸着石头过河，一步步地接近宝石；代数的方程解法，则是步步地接近宝石；代数的方程解法，则是把带钩子的绳子甩过河，勾住宝石（建立把带钩子的绳子甩过河，勾住宝石（建立关系），然后一把一把地拉过河，最后得关系），然后一把一把地拉过河，最后得到宝石。到宝石。有效教学的基本标准有效教学的基本标准以自然的、水到渠成的知识发生发展过程以自然的、水到渠成的知识发生发展过程为载体设计学生的数学
6、活动过程，充分发为载体设计学生的数学活动过程，充分发挥学生学习的主动性、积极性，强调学生挥学生学习的主动性、积极性，强调学生数学思维的展开、深度参与，强调数学概数学思维的展开、深度参与，强调数学概念、原理和思想方法的实质性理解，强调念、原理和思想方法的实质性理解，强调用数学解决问题的能力的落实。用数学解决问题的能力的落实。二、数学教学存在的主要问题二、数学教学存在的主要问题数学教学数学教学“不自然不自然”，强加于人，强加于人，对学生对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响数学学习兴趣与内部动机都有不利影响；缺乏问题意识缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践，对学生的创新精神和实践能力培养能力培养
7、不利不利；重结果轻过程，重结果轻过程，“掐头去尾烧中段掐头去尾烧中段”，关，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整完整；重解题技能、技巧轻普适性思考方重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次学思维层次不高不高；讲逻辑而不讲思想，讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利养的提高不利。三、关于教学目三、关于教学目标标的思考的思考1.如何理解三维目标如何理解三维目标
8、当前，教学目标的表达比较混乱。较多的当前，教学目标的表达比较混乱。较多的老师采用了老师采用了“三维目标三维目标”分别阐述的方式分别阐述的方式呈现目标。呈现目标。例例5同位角、内同位角、内错错角、同旁内角角、同旁内角（一）知识与技能目标：（一）知识与技能目标：1理解同位角、内错角、同旁内角的概念；理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2能在基本的图形中识别同位角、内错角、能在基本的图形中识别同位角、内错角、同旁内角；同旁内角；（二）过程与方法目标：（二）过程与方法目标：1经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；2从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳从现实
9、生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；过程；3体会分类分步、化归等数学思维方法；体会分类分步、化归等数学思维方法；（三）情感与发展目标：（三）情感与发展目标：1从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣；趣；2从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；程，感受数学的发展与变化关系；3培养学生独立思考、合作学习等能力。培养学生独立思考、合作学习等能力。对对上述上述“目目标标”的的评评价价好的方面：已经注意了课堂教学不仅是教好的方面：已经注意了课堂教学不仅是教知识，关注到显性目标与隐性目标
10、的不同。知识，关注到显性目标与隐性目标的不同。需要改进的：贴标签；没有反应内容的特需要改进的：贴标签；没有反应内容的特点；不具体；对教学的定向作用不充分；点；不具体；对教学的定向作用不充分；表述混乱；表述混乱；特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。的关系。“三三维维目目标标”的理解的理解“三维目标三维目标”是课程目标，不是课堂教学目标！是课程目标，不是课堂教学目标！“三维目标三维目标”有内在统一性，都指向人的发展，有内在统一性，都指向人的发展，是交融互进的：是交融互进的：“知识和技能知识和技能”只有在学生积极只有在学生积极反思、大胆批判和实践运用中，才
11、能实现知识的反思、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；意义建构；“情感、态度和价值观情感、态度和价值观”只有伴随着只有伴随着学生对学科知识技能的反思、批判与运用，才能学生对学科知识技能的反思、批判与运用，才能得到提升；得到提升；“过程和方法过程和方法”，只有学生以积极的，只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。象，才能体现它的存在价值。“三维目标三维目标”是课程目标的设计思路，是课程目标的设计思路，是同一学习过程中的三个心理维度，不是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。是教学目标的维度
12、。教学目标取决于教学内容的特点，要在教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度三个维度”的指导下，综合考虑学段的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；课堂教目标、内容特点和学情来确定；课堂教学不是为了体现课程目标的学不是为了体现课程目标的“三个维度三个维度”而存在，而是要具体而扎实地把课程而存在，而是要具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。内容传递给学生，促进学生健康发展。课堂教学目标：知识、技能、方法为载体，课堂教学目标：知识、技能、方法为载体，在过程中渗透情感态度价值观教育。在过程中渗透情感态度价值观教育。教学目标要聚焦在数学知识和技能、数学教学目标要聚焦在数学知
13、识和技能、数学思维能力、理性精神上。思维能力、理性精神上。数学教学目数学教学目标标系系统统教育方针教育方针学校一切学科的目标。学校一切学科的目标。课程目标课程目标宏观目标，要付出大量时间宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；通常包含多方面的、更为具体的目标。果；通常包含多方面的、更为具体的目标。目前采用目前采用“总体目标总体目标+学段目标学段目标”的方式来的方式来呈现呈现。单元目标单元目标中观目标，用于计划需要几中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。例如，标的具体
14、化。例如，“了了解函数的概念解函数的概念”就就是一个单元目标，因为函数的概念包含是一个单元目标，因为函数的概念包含了函数的定义、图像、性质等众多内容。了函数的定义、图像、性质等众多内容。从这个单元目标到课堂教学目标，还需要从这个单元目标到课堂教学目标，还需要教师的工作。教师的工作。课堂教学目标课堂教学目标微观目标。专注于具体内容的微观目标。专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。作用。例如，例如，“了解函数的概念了解函数的概念”这一单元目标这一单元目标要具体化为：要具体化为：了解函数的定义和三种表示法，能用函数的概念了解函数的定
15、义和三种表示法，能用函数的概念作简单判断（是不是函数）。作简单判断（是不是函数）。能分析简单实际问题中的函数关系。能分析简单实际问题中的函数关系。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。之间的关系。结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。行初步讨论。正确理解内容基正确理解内容基础础上制上制订订目目标标例例6“三线八角三线八角”的内容理解的内容理解“两条直线两条直线”被被
16、“第三条直线所截第三条直线所截”，得，得到八个角到八个角图形的结构。图形的结构。对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，都是描述一对角的位置关系；内角，都是描述一对角的位置关系；核心：根据图形结构特征进行分类核心：根据图形结构特征进行分类正正确识别的前提。确识别的前提。“三三线线八角八角”的教学目的教学目标标能以能以“结构特征结构特征”为依据对角的位置关系为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。进行分类，从中体会分类思想。能正确地分析图形的结构特征，从中找到能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线两条直线”和和“第三条直线第三条直线”，并识别
17、，并识别出同位角、内错角、同旁出同位角、内错角、同旁内角内角。在在“三线八角三线八角”概念的引入过程中，体验概念的引入过程中，体验研究几何图形的基本思路，如：两条直线研究几何图形的基本思路，如：两条直线三条直线，共顶点的角三条直线，共顶点的角不共顶点的角；不共顶点的角；借助第三条直线研究平行线；等。借助第三条直线研究平行线；等。例例7三角形的有关概念三角形的有关概念内容理解内容理解面临一个新的数学对象，应如何搭建面临一个新的数学对象，应如何搭建“研究框架研究框架”？给学生展示一个研究的给学生展示一个研究的“基本套路基本套路”：（1）界定研究对象，即给定义（什么叫三角形）界定研究对象，即给定义（
18、什么叫三角形）共同特征的概括（内涵的把握）；共同特征的概括（内涵的把握）；（2）对象的组成要素、记号（边、角、顶点等）；）对象的组成要素、记号（边、角、顶点等）；（3）分类）分类依据本质属性的异同点，选定分类标依据本质属性的异同点，选定分类标准（如，单一属性：角的大小，关系属性：边相准（如，单一属性：角的大小，关系属性：边相等，还有联合属性：等腰直角三角形）；等，还有联合属性：等腰直角三角形）；（4 4）要素之间的关系）要素之间的关系边、角之间的关系；边、角之间的关系；（5 5）相关要素及其关系）相关要素及其关系高、中线、角平高、中线、角平分线，外角等；分线，外角等；（6 6）其他性质，推广和
19、应用等。）其他性质，推广和应用等。教学目标教学目标知道三角形的有关概念及三角形的分类，从中体知道三角形的有关概念及三角形的分类，从中体会分类思想。会分类思想。掌握掌握“三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边”的性的性质并能初步运用。质并能初步运用。理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。三条高所在的直线的交点情况。通过三角形有关概念的讨论过程，初步体会研究通过三角形有关概念的讨论过程，初步体会研究一个几何对象的一个几何
20、对象的“基本套路基本套路”，培养良好的数学，培养良好的数学思维习惯。思维习惯。四、课堂教学的高立意与低起点四、课堂教学的高立意与低起点立意不高立意不高许多教师的许多教师的“匠气匠气”太浓，太浓，“题型题型+技巧技巧”的教学，弥漫着的教学，弥漫着“功利功利”，缺少思想、精神的追求。缺少思想、精神的追求。数学的数学的“育人育人”功能如何体现？功能如何体现？挖掘挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。知识教学与价值观影响融为一体。关键：提高思想性。关键：提高思想性。“技术技术”：加强：加强“先行组织者先行组织者”的使用。的使用。例例8
21、四边形的四边形的“先行组织者先行组织者”概括三角形中研究的问题、线索概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定和基本方法：定义（组成元素、分类）义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）关系和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三特殊三角形的研究（角形的研究（角特殊角特殊直角三角形、直角三角形、边特殊边特殊等等腰三角形腰三角形，性质、判定），性质、判定）相似三角形（性质、相似三角形（性质、判定）判定）目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的目的：给学生一个类比对
22、象，使他们知道研究的“基本套路基本套路”。引导学生类比，思考引导学生类比，思考“四边形四边形”研究的问题、线研究的问题、线索和方法等：索和方法等：一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）；一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊性边的特殊性平行四边形：性质和判定；平行四边形：性质和判定；“性质性质”研究的是在研究的是在“平行四边形平行四边形”的条件下，它的组成元的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；系、对角线
23、的关系等；“判定判定”研究的是具备什么研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；特殊的平行四边形：角的特殊特殊的平行四边形：角的特殊矩形，矩形，边的特殊边的特殊菱形，边角都特殊菱形，边角都特殊正方正方形，都要研究性质和判定。形，都要研究性质和判定。研究的方法：化归为三角形、平行线的性研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识；质等已有知识；特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形角形的知识：矩形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形；等腰三角形；梯形梯形例例9 9 乘法公式的理解
24、及教学设计乘法公式的理解及教学设计多项式运算就是含有字母符号的算式之间多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；以字母也满足运算律）；两个多项式的乘积就是用分配律把它归于两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算计算运算法则；运算法则；乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个模式。是一个模式。乘法公式蕴含的思想方法乘法公式蕴含的思
25、想方法乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例特例”的考察，寻找一个模式：的考察，寻找一个模式：在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）c=a，d=b时时为平方差公式；为平方差公式；（2）c=a，d=b时时为完全平方和公式；等。为完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例考察特例”是是数学研究的数学研究的“基本套路基本套路”。教学过程设计教学过程设计1复习与引入复习与引入问题问题1 前面我们学习了单项式、多项式的前
26、面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？依据是什么？设计意图：回顾运算法则，强化设计意图：回顾运算法则，强化“用运算用运算律计算律计算”的意识。的意识。先行组织者：先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系
27、，得到了一些有用特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。情形值得研究。2公式的探究公式的探究问题问题2(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结可以利用公式直接写出结果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x时的特例。在时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？些特殊情形？你能得到什么？设计意图：通过设计意图：通过“先行组织者先行组织者”，渗透从，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对一般到特殊，考察特例，深入认识数学对
28、象的方法；在让学生自主活动之前，先指象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比，使学生有一个类比对象，明确思考方向。对象，明确思考方向。问题问题3请你用自己的语言表述平方差公式、请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。完全平方公式。设计意图：帮助学生理解公式。设计意图：帮助学生理解公式。3例题例题本环节主要目的是通过变式（字母本环节主要目的是通过变式（字母a，b取取数、式等各种变形），让学生体会公式在数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算形式化运算”中的作用。另外，通过适中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要
29、让当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式学生明确：第一，具备形式(a+b)(ab)或或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪个，就可以用公式；第二，要注意哪个代表代表a，哪个代表，哪个代表b。4公式的多元联系表示公式的多元联系表示问题问题4如果如果a，b表示线段的长，则表示线段的长，则a2，b2分分别表示正方形的面积。你能根据公式的形别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？吗？设计意图：通过构造几何模型表示公式，设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形以开拓学生的思路
30、。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。直观，以加深理解、增强记忆。5小结小结（1）请你总结一下本节课讨论问题的基本）请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。过程。设计意图：引导学生总结设计意图：引导学生总结“基本套路基本套路”，即即“多项式乘法（一般）多项式乘法（一般）乘法公式乘法公式（特殊）（特殊）公式特征分析公式特征分析与相关知与相关知识的联系识的联系”。（2）你能说说公式的结构特点吗？应用时你能说说公式的结构特点吗？应用时应注意哪些问题？应注意哪些问题？设计意图：注重知识的使用条件。设计意图：注重知识的使用条件。（3）能否循着上述思路，再提出一些值得）能否循着上述思路，再提出一些
31、值得研究的问题？研究的问题？设计意图：引导学生自主研究。必要时可设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广中，推广“次数次数”，可以研究，可以研究(a+b)3，(a+b)4；或推广字母个数或推广字母个数(a+b+c)2。虽不是。虽不是“课标课标”的要求，但对学生思维发展是有好处的。的要求，但对学生思维发展是有好处的。提高课堂教学的立意，是落实提高课堂教学的立意，是落实“教育中的教育中的科学发展观科学发展观”，全面关注学生的发展。，全面关注学生的发展。当前，社会功利化、各级政府的教育行政当前，社会功利化、各级政府的教育行政主管部门等以
32、升学率为主要考核标准的不主管部门等以升学率为主要考核标准的不良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注全面关注”变成了变成了“只关注分数只关注分数”，而，而且为了分数可以不择手段且为了分数可以不择手段竭泽而渔。竭泽而渔。五、提高概念的教学水平五、提高概念的教学水平1 1当前概念教学的问题当前概念教学的问题概念教学走过场，常常采用概念教学走过场，常常采用“一个定义，一个定义，三项注意三项注意”的方式，在概念的背景引入上的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目质特征
33、的机会，认为让学生多做几道题目更实惠更实惠有些老师不知如何教概念有些老师不知如何教概念危害以解题教学代替概念教学的做法严重偏离以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨学生在数学上耗费大量时了数学的正轨学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，法和意义知之甚少，“数学育人数学育人”终将落终将落空空2 2教概念的意义教概念的意义李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！是玩技巧技巧不足道也！3 3概念教学的核心概念教学的核心概念教学的核心是概括：将凝结在数学概概念教学的
34、核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。纳得出数学概念。4 4理论依据理论依据概括是人们掌握概念的直接前提；概括是人们掌握概念的直接前提；概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；创造程度等思维品质的基础；概括是科学研究的关键机制；概括是科学研究的关键机制；学习和应用知识的过程也是概括的过程；学习和应用知识的
35、过程也是概括的过程；数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学能力训练的基础；的训练是数学能力训练的基础；概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。基础。5.5.概念教学的基本环节概念教学的基本环节概念的引入概念的引入借助具体事例，借助具体事例，从数学概念体系从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的概括概念属性的概括提供提供典型丰富的具体例证，典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的进行属性的分析、比较、综合
36、，概括不同例证的共同特征；共同特征；概念的明确与表示概念的明确与表示下定义，给出准确的数学下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；（恰当使用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；形成用概念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”纳入概念系统，建立与相关纳入概念系统，建立与相关概念的联系。概念的联系。例例10 10 数轴概念的教学设计数轴概念的教学设计（一）内容和内容分析（一）内容和内容分析
37、内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数（点与数的一一对应）。（点与数的一一对应）。内容分析：数形结合思想的产物。由此，内容分析：数形结合思想的产物。由此，数的概念和运算与位置、方向、距离相统数的概念和运算与位置、方向、距离相统一，使数的语言得到了几何解释，数有了一，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义，有助于数的概念的理解，还可直观意义，有助于数的概念的理解，还可以从中得到启发而提出新的问题或结论，以从中得到启发而提出新的问题或结论，如相反数、绝对值等。如相反数、绝对值等。数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴上的点一一对
38、应（存在性、唯一性）。上的点一一对应（存在性、唯一性）。这样要求的意义：等价性，将问题转化后这样要求的意义：等价性，将问题转化后所得到的结论就是原问题的结过所得到的结论就是原问题的结过需要需要学生逐渐体会。学生逐渐体会。在这样的要求下，明确规定原点、方向和在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度单位长度“三要素三要素”是必须而且自然的。是必须而且自然的。数轴的数轴的“三要素三要素”与实数集的与实数集的“三要素三要素”原点原点0（原点和（原点和0的的“基准基准”作用）作用）单位长度单位长度1（“单位单位”的的“标准标准”作用）作用）方向方向符号（符号（“方向方向”、“长度长度”是标记是标记“
39、空间位置差别空间位置差别”的两个要素。数轴的方的两个要素。数轴的方向向“左左”“右右”，具有，具有“相反意义相反意义”，对，对应于负数、正数。应于负数、正数。教学重点是：体会数轴的三要素；体会用教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性。数轴上的点表示数的合理性。（二）目标和目标解析（二）目标和目标解析目标目标（1 1）能用数轴上的点表示有理数；）能用数轴上的点表示有理数；（2 2）能借助具体实例，解释数轴三要素的作）能借助具体实例，解释数轴三要素的作用。用。目标解析：目标解析：目标（目标（1 1）属于）属于“理解理解”层次，是指学生能画出数轴层次，是指学生能画出数轴并找到表
40、示给定数的点；并找到表示给定数的点；目标（目标（2 2）也属）也属“理解理解”层次，是指学生能判断一种层次，是指学生能判断一种情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要素分别对应起来。素分别对应起来。从发展的角度看，学生还应体会到，从发展的角度看，学生还应体会到，“用点表示数用点表示数”时，数轴时，数轴“三要素三要素”保证了点与数的保证了点与数的“一一对应一一对应”，即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，为什么要轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，为什
41、么要这样定义，好处是什么，需要逐步体会。另外，还要这样定义，好处是什么，需要逐步体会。另外，还要逐步学会借助数轴研究问题，如与绝对值相关的问题逐步学会借助数轴研究问题，如与绝对值相关的问题等。等。（三）教学问题诊断分析（三）教学问题诊断分析学生第一次遇到用形表示数的问题，领会学生第一次遇到用形表示数的问题，领会其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生活经验。在基本思想上，还是要借助于具活经验。在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进体情境，教师先讲解，学生获得体验后进
42、行模仿式举例。行模仿式举例。教学难点：数轴教学难点：数轴“三要素三要素”与数集中与数集中0 0，1 1以及数的符号的对应性。以及数的符号的对应性。(四四)教学过程设计教学过程设计 1 1问题情境下的三次抽象问题情境下的三次抽象问题问题1 1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3 3和和7.5m7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m3m和和4.8m4.8m处分别处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境师生活动：师生活动：学生小组
43、讨论解决问题的方法，学生代表画图演示学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示 学生画图后提问：学生画图后提问：（1 1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）马路可以用什么几何图形代表？（直线）（2 2）你认为站牌起什么作用？（基准点）你认为站牌起什么作用？（基准点）（3 3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）设计意图：设计意图：“三要素三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象说明：学生也
44、可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便与下面的方法做比较，看哪个更方便问题问题2上面的问题中，上面的问题中，“东东”与与“西西”、“左左”与与“右右”都具有相反都具有相反意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？学生画图表示后提问：学生画图表示后提问：（1）0代表什么？（基准点）代表什么？（基准点）（2）数的符号的实际意义是什
45、么？（方向）数的符号的实际意义是什么？（方向）（3）如图，在一条直线上，）如图，在一条直线上，A，B的距离等于的距离等于B，C的距离，的距离，B点用点用3表表示，示，C点用点用7.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）境不符）E D O A B C4.830137.5（4）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例如，如，4.8表示位于汽车站牌西侧表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线杆你能自己再举个处的电线杆你能自己再举个例子吗？例子吗？设计意图：继续以设计意
46、图：继续以“三要素三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础象，为定义数轴概念提供直观基础问题问题3 3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？教师可以先解释教师可以先解释0 0度的含义（冰水混合物的温度规定为度的含义（冰水混合物的温度规定为0 0度度温度的基准点）温度的基准点）设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用引导学生用用
47、引导学生用“三要素三要素”表达，为定义数轴概念提供又表达，为定义数轴概念提供又一个直观基础一个直观基础问题问题4 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？你能说说上述两个实例的共同点吗？设计意图：完成第三次概括，即进一步明确设计意图：完成第三次概括，即进一步明确“三要素三要素”的的意义，体会意义，体会“用点表示数用点表示数”和和“用数表示点用数表示点”的思想方法，的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础为定义数轴概念提供进一步的直观基础 2 2定义、辨析数轴概念定义、辨析数轴概念请你带着下列问题阅读教科书：请你带着下列问题阅读教科书：（1 1）画数轴的步骤是什么？）画数轴的步骤是什么？（2
48、2）根据上述实例的经验，）根据上述实例的经验，“原点原点”起什么作用？（起什么作用？（“原点原点”是数轴的是数轴的“基准基准”，表示，表示0 0，是表示正数和负数的，是表示正数和负数的分界点）分界点）（3 3）你是怎么理解）你是怎么理解“选取适当的长度为单位长度选取适当的长度为单位长度”的？的？（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些等）等）（4 4）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数数 ；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数 （宏观看
49、大小）（宏观看大小）设计意图：明晰概念，加深对数轴设计意图：明晰概念，加深对数轴“三要素三要素”的理解的理解3练习、巩固概念练习、巩固概念（1）课本练习）课本练习1，2；（2）数轴上表示）数轴上表示3的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？表示数少个单位长度？表示数-2的点在原点的哪一侧？与原点的的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设距离是多少个单位长度？设a是一个正数，对表示是一个正数，对表示a的点和的点和表示表示a的点进行同样的讨论的点进行同样的讨论设计意图：设计意图：练习（练习（1）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的）包
50、括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示有的有理数都可以用数轴上的点表示练习（练习（2）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具体置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力的数到字母表示的数）能力 4 4小结、布置作业小结、布置作业教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：以下问题