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1、有效改进高中数学教学 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、课改中形成的基本共识一、课改中形成的基本共识核心：以学生的全面、和谐与可持续发核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本展为本教育中的教育中的“科学发展观科学发展观”教学目标教学目标全面关注学生的认知、能全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展向，促进学生全面、和谐、可持续发展数学育人。数学育人。教学要求教学要求
2、个性差异与统一要求的辩证个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础统一，但以个性差异为出发点和基础教学设计教学设计不仅从内容的教学需要预设不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成生成”，预设能引发学生独立思考、自，预设能引发学生独立思考、自主探究的主探究的“开放性问题开放性问题”，乃至强调，乃至强调“看看过问题三百个，不会解题也会问过问题三百个，不会解题也会问”教学方法教学方法讲授、问答、训练的综合，讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向
3、的活动式的融向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调合，强调“启发式讲授启发式讲授”的重要性的重要性学习方式学习方式接受与探究的融合，强调学接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合学习的结合教学过程教学过程知识发生发展过程（自然、知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生认知过程，以学水到渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）思维的展开、深度参与（教学的有效性）教学评价教学评价教师根据教学进程进行教教师根据教学进程进行教
4、学反馈、调节，学生通过自我监控调节学反馈、调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视形成性评价学习进程，重视形成性评价发展的发展的眼光眼光教学媒体教学媒体追求追求“必要性必要性”“”“平衡性平衡性”“”“广泛性广泛性”“”“实践性实践性”“”“有效性有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解服务于数学概念、原理的实质理解教改只能成功不能失败，因为人才的成教改只能成功不能失败，因为人才的成长没有重复机会，教育要绝对避免长没有重复机会，教育要绝对避免“折折腾腾”。教改必须教改必须“大胆创新，谨慎实践大胆创新，谨慎实践”。当前，与教育的本质相悖的当前，与教育的本质相悖的“功利化功利化”现象还占据主导地位
5、，需要我们共同努现象还占据主导地位，需要我们共同努力，为教育的理想而奋斗。力，为教育的理想而奋斗。二、提高二、提高“理解数学理解数学”的水平的水平老师理解好数学是提高教学质量的前提。老师理解好数学是提高教学质量的前提。理解数学概念的几个方面：理解数学概念的几个方面：从表面到本质从表面到本质把握概念的深层结构上把握概念的深层结构上的进步；的进步；从抽象到具体从抽象到具体对抽象概念的形象描述，对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；例子；从孤立到系统从孤立到系统对概念之间的关系、联对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；系的认识
6、，有层次性、立体化的认识；等。等。提高解读概念所反映的数学思想方法的提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是教师专业化发展的抓手能力是教师专业化发展的抓手 。例例1 1 几个数学概念的解读几个数学概念的解读如何理解诱导公式？如何理解诱导公式？推导等差数列前推导等差数列前n n项求和公式的思想方法项求和公式的思想方法是什么？是什么？如何理解两个变量的线性相关问题？如何理解两个变量的线性相关问题？三、课堂教学的高立意与低起点三、课堂教学的高立意与低起点 立意不高是普遍问题，许多教师的立意不高是普遍问题，许多教师的“匠匠气气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着漫着“功利
7、功利”，缺少思想、精神的追求，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。严重影响数学育人。数学的数学的“育人育人”功能如何体现？功能如何体现？挖挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。中将知识教学与价值观影响融为一体。关键：提高思想性。关键：提高思想性。“技术技术”：加强：加强“先行组织者先行组织者”的使用。的使用。例例2 2不等式基本性质不等式基本性质“立意立意”比较比较以往做法：数轴上点的顺序定义数的大以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到小关系，再到“基本事实基本事实”（考察两个（考察两个实数的大小，只要考察它们的差）
8、，再实数的大小，只要考察它们的差），再由由“利用比较实数大小的方法，可以推利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质出下列不等式的性质”：性质性质1 1，2 2，33证明证明例题例题练习、习题练习、习题人教人教A A版的教学设计版的教学设计数轴上点的顺序定义数的大小关系，再数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到到“基本事实基本事实”（考察两个实数的大小（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与可以统一化归为比较它们的差与0 0的大小）的大小）；从从“数及其运算数及其运算”的高度出发，以的高度出发，以“运运算中的不变性、规律性就是性质算中的不变性、规律性就是性质”为思为思想指导，以等式
9、的基本性质为起点，通想指导，以等式的基本性质为起点，通过类比等式的基本性质，得到不等式基过类比等式的基本性质，得到不等式基本性质的猜想；本性质的猜想；回到从回到从“基本事实基本事实”到到“基本性质基本性质”的的推理过程，给出证明；推理过程，给出证明；引导学生用不同语言表述引导学生用不同语言表述“基本性质基本性质”；从实例中概括基本不等式的作用从实例中概括基本不等式的作用明明确概括出思想方法。确概括出思想方法。核心：将等式与不等式纳入数及其运算核心：将等式与不等式纳入数及其运算的系统中，成为用运算律推导出的的系统中，成为用运算律推导出的“性性质质”。既要讲逻辑，更要讲思想，加快学生领既要讲逻辑，
10、更要讲思想，加快学生领悟思想的进程。悟思想的进程。四、提高概念的教学水平四、提高概念的教学水平问题：不重视概念教学，问题：不重视概念教学，“一个定义，一个定义，三项注意三项注意”式的抽象讲解，很快进入概式的抽象讲解，很快进入概念的综合应用。念的综合应用。概念教学的核心概念教学的核心概括：将凝结在数概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。属性，归纳得出数学概念。概念教学的基本环节概念教学的基
11、本环节典型丰富的具体例证典型丰富的具体例证属性的分析、属性的分析、比较、综合；比较、综合；概括共同本质特征得到概念的本质属性；概括共同本质特征得到概念的本质属性；下定义（准确的数学语言描述）；下定义（准确的数学语言描述）；概念的辨析概念的辨析以实例（正例、反例）以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；为载体分析关键词的含义；用概念作判断的具体事例用概念作判断的具体事例形成用概形成用概念作判断的具体步骤；念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”建立与相关概念的建立与相关概念的联系。联系。例例3 3 函数奇偶性的教学函数奇偶性的教学急功近利的做法急功近利的做法（1）给出函数）给出函数y=x
12、2和和y=x的图像，并提出的图像，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个问题：如果从图象的对称性观察，两个图像各有什么特点？图像各有什么特点？（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征）给表格并提问：数量关系上有啥特征？（3）能否描述一下函数）能否描述一下函数y=x2的特征？的特征？学生回答：当学生回答：当x取任意数时取任意数时y都取正数；都取正数；在在(,0)上为减函数，在上为减函数，在(0,)上为增上为增函数；函数图像关于函数；函数图像关于y轴对称；自变量取轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；一对相反数时，函数值相等；（4）对于定义域内任意一个）对于定义域内任意一个x，是否都有，是否都
13、有 f(x)f(x)？（5）能否描述一下偶函数的定义？）能否描述一下偶函数的定义？“一个函数打天下一个函数打天下”，缺乏概括的基础。，缺乏概括的基础。注重概括过程的做法注重概括过程的做法典型、丰富的例证典型、丰富的例证不止一个：不止一个：y=x2，y=|x|，y=2x2；从观察图像、概括共同特征入手；从观察图像、概括共同特征入手；列表，从数的角度描述特征；列表，从数的角度描述特征；形、数对照形、数对照从形到数从形到数用函数符号语用函数符号语言描述特征；言描述特征；概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织素的具体界定；组织建立相关知识的联建立
14、相关知识的联系。系。五、提高对抓五、提高对抓“基础基础”的认识的认识我国我国“双基双基”的优势正在丧失；的优势正在丧失；现象现象：（1 1）数学教学数学教学=解题教学解题教学=题型教学题型教学=刺激刺激反应（记忆、模仿型学习）；反应（记忆、模仿型学习）；（2 2）缺少知识的发生发展过程，以训练代）缺少知识的发生发展过程，以训练代替概念教学替概念教学应用可以促进理解，但应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；没有理解的应用是盲目的；（3 3）过分关注）过分关注“题型题型”及对应的技巧及对应的技巧技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无法穷尽，教技巧的结果可能是法穷
15、尽，教技巧的结果可能是“讲过练讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。；等。如何改变？如何改变？要强调知识及其蕴含的思想方法教学的要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性重要性无知者无能；无知者无能；不断回到概念去，从基本概念出发思考不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题问题、解决问题解题训练应该针对解题训练应该针对概念的理解和应用；概念的理解和应用；加强概念的联系性，从概念的联系中寻加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路找解决问题的新思路解题的灵活性解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠
16、的。靠的。应追求解决问题的应追求解决问题的“根本大法根本大法”基基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。导下的操作。例例4 4 向量加法运算及几何意义的教学设计向量加法运算及几何意义的教学设计先行组织者：类比数及其运算，引进一先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。研究运算律。位移、力的合成、速度的合成等物理原位移、力的合成、速度的合成等物理原理的回顾。理的回顾。学生带着问题看书：向量的加法法则的学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？关键词是什么？你如何理解
17、？汇报对定义和三角形法则、平行四边形汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对法则的理解，其中特别要注意对“关键关键词词”的理解，要求用自己的语言描述。的理解，要求用自己的语言描述。向量向量a，b不共线，作出不共线，作出a+b，要求说明作，要求说明作法。法。如果向量如果向量a，b共线，如何作共线，如何作a+b？与有理？与有理数加法运算有什么关系？数加法运算有什么关系？从三角形法则我们有从三角形法则我们有 ，变，变形有形有 ，你怎么看变形？，你怎么看变形？平行四边形法则的代数意义是什么？平行四边形法则的代数意义是什么？六、探究式教学的天时地利人和六、探究式教学的天时地利人和天
18、时：建设创新型社会，教育天时：建设创新型社会，教育“以培养以培养学生的创新精神和实践能力为重点学生的创新精神和实践能力为重点”；地利：教学内容是否适合于地利：教学内容是否适合于“探究探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教规定等；但更多的内容可采用探究式教学；学；例例5 5 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义先先“直观感受直观感受”、举例，再给出定义，、举例，再给出定义，并把主要精力放在对并把主要精力放在对“合理性合理性”的认识的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。上，通过正、反例理解定义的关键词。提示学生：用提示学生
19、：用“说得清道得明说得清道得明”的几何的几何关系（即关系（即“直线与直线垂直直线与直线垂直”）来定义）来定义“无法说清无法说清”的几何关系（即的几何关系（即“直线与直线与平面垂直平面垂直”）是一种公理化思想，学生）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可。则只要采用接受式学习方式即可。例例6 6 适宜探究的内容举例适宜探究的内容举例类比两条直线平行的判定与性质，提出类比两条直线平行的判定与性质，提出两个平面平行的判定与性质的猜想，再两个平面平行的判定与性质的猜想，再给出证明。给出证明。平面向量基本定理平面向量基本定理在在“用向量及其用向量及其运算表示几何元素运算表示几何元素”的思想下
20、，联系建的思想下，联系建立直角坐标系的方法、两条相交直线确立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得定一个平面等经验，让学生探究而获得结论。结论。人和：师生共同营造的人和：师生共同营造的“探究氛围探究氛围”，有，有赖于学生赖于学生“探究式学习的心向探究式学习的心向”，也有赖，也有赖于教师的于教师的“探究型教学的意识探究型教学的意识”。数学思想方法在自主探究中有关键作用，数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导需要教师的启发引导注意使用注意使用“先行先行组织者组织者”。七、怎样才算七、怎样才算“教完了教完了”？舍不得在概念、原理的发生发展过程上舍不得在概念
21、、原理的发生发展过程上花时间花时间“这样能教完吗？这样能教完吗？”给学生吃给学生吃“压缩饼干压缩饼干”：基础知识基础知识“一个定义，三项注意一个定义，三项注意”；解题教学解题教学“题型教学题型教学”，解题技巧，解题技巧大杂烩，大杂烩，“一步到位一步到位”。问题在那里？问题在那里？不不“准准”或者是没有围绕概念的核或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；心，或者教错了；不不“简简”在细枝末节上下功夫，把在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；简单问题复杂化了；不不“精精”让学生在知识的外围重复让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理
22、解。到对知识的深入理解。例例7 7 函数概念的函数概念的“注意事项注意事项”集合集合A，B都是数集；都是数集；任意性；任意性；唯一性；唯一性；可以一对一、多对一，但不能一对多；可以一对一、多对一，但不能一对多；y f(x)是一个整体，不是是一个整体，不是f与与x的乘积；的乘积；值域值域C=f(x)|xA是集合是集合B的子集；的子集；函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。域和对应法则唯一确定。在不适当的时候、用不适当的方法强调细在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生节，把学生“教糊涂了教糊涂了”。如何让学生体会如何让学生体会“定
23、义域定义域”的重要性：抽的重要性：抽象强调象强调“定义域很重要定义域很重要”，“解析式相同，解析式相同，定义域不同就是不同的函数定义域不同就是不同的函数”没有作用。没有作用。有实际意义的具体例子最有效：例如：某有实际意义的具体例子最有效：例如：某商品每件商品每件5 5元，总价元，总价y y与件数与件数x x之间的函数关之间的函数关系；步行速度系；步行速度5km/h5km/h，步行距离，步行距离y y与时间与时间x x之之间的函数关系；等。先让学生写出函数，间的函数关系；等。先让学生写出函数，再问再问“为什么？为什么？”“”“如何区别如何区别”等。等。“教完了教完了”应该以学生是否理解为准，应该
24、以学生是否理解为准，以学生是否达成教学目标为准，特别是以学生是否达成教学目标为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容有没有把内容“讲完讲完”。广种薄收是懒汉的做法。广种薄收是懒汉的做法。八、重结果轻过程的危害八、重结果轻过程的危害数学是思维的科学。数学思想方法孕育数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。于知识的发生发展过程中。“思想思想”是是概念的灵魂，是概念的灵魂，是“数学素养数学素养”的
25、源泉，的源泉，是从技能到能力的桥梁；是从技能到能力的桥梁；“过程过程”是是“思想思想”的载体，是领悟概念本质的平台，的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。土壤。没有过程没有过程=没有思想；没有思想；没有思想就难以理解概念的实质；没有思想就难以理解概念的实质；缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等可辨别性和稳定性等“功能指标功能指标”都会
26、大都会大打折扣。打折扣。没有没有“过程过程”的教学把的教学把“思维的体操思维的体操”降降格为格为“刺激刺激反应反应”训练，是教育功利化训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。在数学教学中的集中表现。例例8“8“递推数列递推数列”的教学的教学常见做法常见做法归纳题型，总结技巧：归纳题型，总结技巧：1利用利用a1=S1，an=SnSn-12an+1=k an+b型，分型，分k=1和和k1讨论，讨论，k1 时，设时，设an+1+m=k（an+m），），3an+1=kan+f(n)型，分型，分k=1、f(n)是否可求是否可求和，和，k1、f(n)=an+b，f(n)=qn(q 0，1)，等；等；4a
27、n+1=f(n)an型；型；5.an+2=pan+1+qan(p、q为常数为常数)型；型；题型套题型，题型何其多，没有思想方法作题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章。为主线，杂乱无章。an+1=p an+q型通项公式的教学型通项公式的教学设计设计求求an+1=p an+q型数列通项公式问题，一般型数列通项公式问题，一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。究问题的基本策略。问题问题1 已知已知a1=1，an+1=2an+1（n N*），），求通项公式。求通项公式。问题问题2 已知已知a1=1，an+1=2an+3（n N
28、*），），求通项公式。求通项公式。问题问题3 已知已知a1=1，an+1=2an+q（n N*），），求通项公式。求通项公式。问题问题4 已知已知a1=1，an+1=3an+1（n N*），），求通项公式。求通项公式。问题问题1、2、3可以可以“凑凑”，但问题，但问题4不能，不能，怎么办？注意观察前三个问题的解决过程，怎么办？注意观察前三个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题转化得到的结构有什么共性？对解决问题4有什么启发？有什么启发？结论：都转化为结论：都转化为an+1+t=k(an+t)的形式。的形式。问题问题5 一般地，对于一般地，对于a1=a，an+1=pan+1+q，
29、如何求通项公式？如何求通项公式？因为推广到了因为推广到了“同同类事物类事物”，所以要注意，所以要注意“完备性完备性”，细节、，细节、特例的追究。特例的追究。结束语结束语教育改革需要一定的理想化色彩；教育改革需要一定的理想化色彩；教育包括教育包括“生命的教育生命的教育”和和“生活的教生活的教育育”，不要忘记，不要忘记“教学生做人、做事教学生做人、做事”的双重职责；的双重职责；教研应该成为我们的生活方式，学而时教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，思想到了极致则开悟；习之，思想到了极致则开悟；能力的来源：信心，精进，正念，定力，能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；智慧；为人师表为人师表默而识之，学而不厌，诲默而识之，学而不厌，诲人不倦。人不倦。敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢