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1、自主招生考试中的递推数列问题（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）- 1 -自主招生考试中的递推数列问题 上海市徐汇区冯志刚名师工作室学员 吴坚 数列是中学数学的重要内容, 是初等数学与高等数学的衔接部分, 且与其他数学知识有着广泛的联系 . 在与数列有关的问题中, 从数列的递推关系式出发寻找通项公式, 往往是解决问题的突破口与关键点, 递推数列是高考与自主招生考试关注的焦点 .在近几年的“华约” 、 “北约” 、 “卓越联盟”以及复旦大学的千分考中,从递推公式推导通项公式,用 递推公式研究数列性质等问题的考查频率相当高, 往往可以占到数列考查内容的 40%50%
2、. 与高考不同的 是,自主招生考试对递推数列的考查方式更加灵活,难度也更加高,有些问题往往需要用到不动点方程与 特征方程的相关知识 . 知识储备与拓展 】数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,表示递推关系的式子叫做递推公式,由递推关系和初始 条件给出的数列叫做递推数列 .(一 递推数列的常见类型及其通项公式的求法 1. 形如 1( n n a a f n +=+的递推关系式,其通项求法为1111111( ( n n n k k k k a a aa a f k -+=+-=+,我们称这种方法为“累加法” .2. 形如 1( n n a f n a +=的递推关系式,其通项求法为3211121
3、(1(2(3(1(2 n n n a a a a a a f f f f n n a a a -=-, 我们称这种方法为“迭乘法” .3. 形如 1(1 n n a pa q p +=+的递推关系式,其通项求法为方法一:由 1n n a pa q +=+及 1n n a pa q -=+, 两式相减得 11( n n n n a a p a a +-=-, 可知 1n n a a +-是 首项为 21a a -,且公比为 p 的等比数列,先求出 1n n a a +-,再求出 n a .方法二:两边同时加上1-p q ,变为-+=-+111p q a p p qa n n ,- 2 -显然 1
4、nqa p +-是以 11-+p q a 为首项, p 为公比的等比数列 .无论是方法一还是方法二,都是将 1(1 n n a pa q p +=+转化为常见的等比数列来处理 . 4. 形如 (n f pa a n n +=+1的递推关系式,其中 ( f n 不是常数,其通项求法为若 1p =,显然 111(, 2n n i a a f i n -=+;若 1p ,两边同时除以 1n p +,变形为(111+=n nn n n pn f pa pa .令 n n na b p=,得 11( n n n f n b b p+=+,利用“累加法”可以求得(-=+=1111n i i nn pi f
5、 pa pa ,从而(+=-=-1111n i i n n p i f a pa . 5. 形如 1qn n a pa +=(0, 0n p a 的递推关系式,其通项求法为两边取对数有 1lg lg lg n n a q a p +=+,令 lg n n b a =,则 1lg n n b qb p +=+,仿类型 3可以求得 n b ,从 而得到 n a 的通项公式 .(二 递推数列通项公式的两种特殊求法 1. 特征方程法【定理 1】若数列 n a 满足:112221, , (n n n a m a m a pa qa p q +=+、 是常数, *n N ,则称数列n a 为二阶线性 .对
6、于递推数列 21n n n a pa qa +=+,定义方程 2x px q =+为数列 n a 的特征方程,该方程的根称为特征根 .(1若方程 2x px q =+有两相异根 、 ,则数列通项可以设成 12n n n a c c =+, (其中 12c c 、 是待定常数 ;(2若方程 2x px q =+有两相同根 ,则数列通项可以写成 12( n n a c nc =+, (其中 12c c 、 是待- 3 -再利用 1122, , a m a m =可求得 12, c c ,进而求得 n a . 2. 不动点法不动点的概念是由荷兰数学家布劳威尔提出的,我们把满足方程 ( f x x =
7、的 x 叫做函数 ( f x 的不动 点 .【 定 理 2】 若 ( (0, 1 f x ax b a a =+, p 是 ( f x 的 不 动 点 . 若 n a 满 足 递 推 关 系1( (2 n n a f a n -=,则 (1p a a p a n n -=-,即 p a n -是公比为 a 的等比数列 .【定理 3】若 0, 0( (-+=bc ad c dcx b ax x f , n a 满足递推关系 1(2 n n a f a n -=,且初始值 11( a f a .(1若 (x f 有两个相异的不动点 p q 、 ,则qa p a k qa p a n n n n -
8、=-11(这里 qca pc a k -=;(2若 (x f 只有唯一不动点 p ,则k pa pa n n +-=-111(这里 da c k +=2 .【例 1】 (2007年复旦大学 已知数列 n a 满足 134(1 n n a a n +=, 且 19a =, 其前 n 项和为 n S , 则 满足不等式 1|6|125n S n -的最小整数 n 为 ( .A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析 由于 134n n a a +=,则 11433n n a a +=-+,于是111(1 3n n a a +-=-,所以 1n a -是首项为 8,公比为 13-的等比数列 . 从
9、而1211|6|(1 (1 (1-6|=|6( |,有 n n x y 恒成立 .证明 212n n n x x x +=+对应的特征方程为 2210x x -= ,特征根是 11+-. 根据定理 1 可设12(1(1nn n x =+-,同理可设 122(1 n nn y =+-. 所以 1122(12(1(1 nnn nn n x y -=+-+-.- 8 -由于 112212(1(1(3(3x x =+-=+-,于是 112142( 0222x x -=+, 同理, 1121( 06y y =+.又因为 222222(1(1 (|,|n n-+, 121(12n n+,根据指数函数的性质
10、可知,当 n 充分大时, 11(12nn+-也充分大,即存在正整数 0n ,对任意正整数 0n n ,都有 n n x y 恒成立 .【例 8】 (2002年上海交通大学 设数列 n a 满足关系式 2121(1, 2, 3, n n a a n +=-= ,若存在 N 满足1(2, 3, N a N = ,试证明:(11|1a ; (212cos2N k a -=(k 为整数 .证明 (1考虑用反证法,若 1|1a ,则由条件知23111n a a a ,即不存在 N ,使得 1(2, 3, N a N = ,矛盾,从而 1|1a .(2由于 1|1a , 于是令 1cos a =, 则 2
11、22c o s1c o s2a =-=, 2232cos 21cos 2a =-=, ,1cos 21N N a -=,故 122( N k k -=Z ,即 12cos2N k a -=(k Z .评注 三角换元也是研究递推数列性质的重要工具与手段,下面再举一例加以说明: 已知 1n a a =,求数列 n a 的通项公式 .分析与解 由数学归纳法,不难证明 *02( n a n N ,故可设 2cos (0 2n n n a =(3由于当 2n 时, n P 单调递减,且有下界 0,所以 lim n n P 一定存在 .于是对 141(5 16n n n P P P n -=-两边同时取极
12、限,可以得到 lim 0n n P =.统计意义:当投掷次数足够多时,不出现连续三次正面向上的次数非常少,趋近于零 .评注 本题第三小问中用到了高等数学中的一个结论:单调有界数列必有极限 . 在对学生的考查中注重 初等数学与高等数学知识的联系与比较,渗透高等数学的研究思想,这也是自主招生考试命题的一个重要 特点 .在自主招生考试中，对递推数列的考查往往与三角函数、概率、极限等 相关知识相结合， 题目灵活多变， 而且难度较大， 需要同学们在平时学习中， 多练习，多思考，多总结. 更多更详细的资料可以参考本人参与编写的名 牌大学自主招生同步辅导一书. - 11 - 征方程法求解递推关系中的数列通项
13、 湖北省竹溪县第一高级中学徐 wybylw 毕业论文2021-9-19 1:48:18考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足 其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，数列是以为公比的等比数列，故当时，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定
14、理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换
15、则是特征方程的根，将该式代入式得 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化： 由是方程的两个相同的根可以求得将此式代入式得令则故数列是以为公差的等差数列.其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于
16、都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）对于都有（2）令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.（3）令则对于（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.
17、当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.相关论文 数学活动是初中数学教学的主旨 越复数的多元数（二） 组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗 放创新，以情施教 怎样将数学教学变为数学活动的教学浅析特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理
18、1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，数列是以为公比的等比数列，故当时，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定
19、（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解:依定理作特征方程变
20、形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有即例5已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.练习题：求下列数列的通项公式：1、 在数列中，求。（key：）2、 在
21、数列中，且，求。（key：）3、 在数列中，求。（key：）4、 在数列中，求。（key：）5、 在数列中，求。（key：）6、 在数列中，且.求.（key：时，；时，）7、 在数列中，（是非0常数）.求.（key： ()； ）()8、在数列中，给定，.求.(key:；若，上式不能应用，此时，附定理3的证明定理3(分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定
22、理的第（1）部分.作交换则 是特征方程的根，将该式代入式得 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化： 由是方程的两个相同的根可以求得 将此式代入式得令则故数列是以为公差的等差数列.其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列
23、是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.思维高中数学的灵魂 曾有这样一个故事：一个商人在翻越一座山时，遭遇了一个拦路抢劫的匪。商人走投无路，便钻进了一个山洞，山匪也进了山洞里。在洞的深处，商人未能逃过山匪的追逐-黑暗中他被山匪逮住了，身上所有的钱财，包括一把准备夜间照明用的火把，都被山匪掳去了。之后，两人各自寻找着洞的出口。这山洞纵横交错，两人置身洞里，像置身于一个地下迷宫。山匪庆幸自己从商人那里抢来了火把，他把火把点着，借着火把的光亮在洞中行走。他能看清脚下石块，能看清周围的石壁。但走来走去
24、，就是走不出这个洞。最终，他力竭而死。商人失去了火把，他在黑暗中摸索行走得十分艰辛，他不时碰壁，不时被石块绊倒，跌得鼻青脸肿。但是，正是因为他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能够敏锐地感受到洞口透来的微光，他迎着这缕微光摸索爬行，终于逃离了山洞。由此想到我们的高中数学教学，教师给足学生以“火把”把知识正确地，全面地，甚至高密度地传授给学生，仅仅如此，他们是否能够走出“山洞”。有专家如是说“当一个人把所学的知识都忘了以后，还保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢？就是能力，是思维素质。知识会随时间的推移而遗忘，而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。 思维是一种反应
25、。数学思维力求近似到一种非条件反射，比如吃饭自然就有拿筷子和碗，而不需刻意去记着吃饭就要有筷子，有碗。高中数学本身的特点，摒弃了单调的记忆和机械的计算，更多的是一此理性化的东西，故只有丢弃固有的框架，让学生思维不受到束缚，他们才能在知识的黑洞里畅游。 下面就自已在教学中的体会，以高中数学认识过程为例，进行一些探讨：一、已有知识，包括定义，定理，公式的正确处理。教学中重视知识的形成过程的教学，使学生在掌握知识的思维实践中既获得了识， 得到思维训练。学生往往认为学习定义，定理，公式等只要记着就行了，对定理的证明，公式的推导很少能给以足够的重视；教师也往往只重视让学生把定义，定理，公式正确地，全面地
26、接受下来，而不去探讨它们的由来和实质，课堂上认真地，严格地对每一个定理加以证明，对每一个公式给以推导，忽略证明和推导的原因。这样学生只会机械的记公式，套定理，而会忽视了运用的前提，条件。例如，求数列1的前n项和，学生会毫不犹豫地应用等比数列前项和公式，得出结果。其一，忽视该公式应用的条件，而在本题中公比q有可能为1，此时，得到一常数列，其前项和是；其二，忽视等比数列的条件：等比数列中，其公比和数列中的项不可能为0，而本题中x可以为0，得数列1，0，0，-，其前n项和。加深理解“等比数列(公比)的前项和公式”后，面临这类问题不会顾此失彼了。还有数列的通项公式与前项和公式的关系：n=1，很多学生也只是勉强记忆，其实只要回归就很明了清晰了。一， 精心设计课堂教学，用连系的方法教学，同时，训练学生的思维。 我们说一个稍微用功的学生，在课堂上听懂教师讲的课并不难，仿照例题解几道题也完全可以，但是要用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的了。故必须放弃“前提结论”式的教学，而用以思维为主流，以链结式的学生的思路展开。 例数列概念一节的教学，概念较多。如不注重思维引导，只