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1、天津市年中考数学题型专项训练：旋转问题(含答案名师（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),ABO为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60,P点的对应点为点Q.()求点B的坐标;()当点P在x轴负半轴运动时,求证:ABQ=90;()连接OQ,在点P运动的过程中,当OQ平行AB时,求点P的坐标. 第1题图解:()如解图,过点B作BCx轴于点C,AOB为等边三角形,且OA=2,AOB=60,OB=OA=2,BOC=30,而OCB=90,BC=OB=1,OC=,点B的坐
2、标为B(,1);()APQ、AOB均为等边三角形,AP=AQ, AO=AB, PAQ=OAB,PAO=QAB, 在APO与AQB中,APOAQB,ABQ=AOP=90;()当点P在x轴正半轴上时,OAB=60,将AP绕点A逆时针旋转60时,点Q在点B上方,OQ和AB必相交,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,ABOQ,BQO=90,BOQ=ABO=60.在RtBOQ中,OB=2,OBQ=90BOQ=30,BQ=,由()可知,APOAQB,OP=BQ=,此时点P的坐标为(,0). 图 图 第1题解图2.在直角坐标系中,OA=CD,OB=OD,CDx轴于D,E、F分别是OB、OD中点,连接E
3、F交AC于点G.()如图,若点A的坐标为(2,0),SOCD=5,求点B的坐标;()如图,当OB=2OA时,求证:点G为AC的中点;()如图,当OB2OA,ABO绕原点O顺时针旋转(045),()中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. 第2题图解:()A(2,0),OA=2,CDOD,CD=OA=2,又SOCD=5,OD2=5,OD=5,OB=OD=5,B(0,5);()如解图,连接EC、AE、CF.OB=2OA,CD=OA,OD=OB,CD=OB,EB=EO,OF=DF,OECD,OE=CD,四边形OECD是平行四边形,EC=OD,AF=OD=EC,EC=AF,ECAF,
4、四边形AECF是平行四边形,AG=CG,即点G为AC的中点;()成立.理由:如解图,连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.OB=OD,OE=EB,OF=DF,OE=DF,AOE=FDC,OA=CD,AOECDF,AE=CF=CH,AEO=CFD,OE=OF,OEF=OFE,AEG=AEOOEF,CHG=180CHF=180CFH=180(180OFECFD)=OFECFD,AEG=CHG,AGE=CGH,AEGCHG,AG=CG,即点G为AC的中点. 图 图 第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(8,0),直线BC经过点B(8,6),C(0,6),将四
5、边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度得到四边形OABC,此时边OA与边BC交于点P,边BC与BC的延长线交于点Q,连接AP.()求证:四边形OABC是矩形;()在旋转过程中,当PAO=POA,求P点坐标.()在旋转过程中,当P为线段BQ中点时,连接OQ,求OPQ的面积. 第3题图()证明:点A的坐标为(8,0),点B(8,6),C(0,6),COA=OAB=B=90,四边形OABC是矩形.()解:如解图,过点P作PEAO于点E,PAO=POA,PA=PO,PEAO,AE=EO=4,P(4,6);()解:如解图,在RtOCQ和RtOCQ中,RtOCQRtOCQ,OQC=OQC,又OPCQ,PO
6、Q=OQC,POQ=PQO,PO=PQ,BP=QP,BP=OP=x,在RtOPC中,x2=(8x)262,解得:x=.故SOPQ=COPQ=6=. 图 图 第3题解图4.如图,在平面直角坐标系中A(,0),B(0,1),点P为OAB内任一点,连接PO、PA、PB,将ABP绕着点A顺时针旋转60得到ABP,连接PP.()求点B的坐标;()当OPA与APB满足什么条件时,POPAPB的值最小,并求出此最小值;()试直接写出()中的点P坐标.解:()A(,0),B(0,1),AB=2,BAO=30,将ABP绕着点A顺时针旋转60得到ABP,AB=2,BAO=90,B(,2);()由旋转可得,APP是
7、等边三角形,PP=PA,又PB=PB,POPAPB=POPPPB,如解图,当O、P、P、B四点共线时,POPAPB的值最小,当OPA=APB=APB=120时,POPAPB的值最小,此时,POPAPB=OB=;()如解图,将()中的OPB绕着点O逆时针旋转60得到OBP,则BOB=60,OB=OB=1点B的坐标为(,),由()可知A、P、P、B四点共线,点P为OB与AB的交点,根据A、B两点的坐标可得直线AB的解析式为y=x,根据B的坐标可得直线OB的解析式为y=x,联立方程组,解得P(,). 图 图 第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有COD=ABO=90,OCD=
8、45,AOB=60,且AO=CD=8.现将RtAOB绕点O逆时针旋转,旋转角为(0180).在旋转过程中,直线CD分别与直线AB,OA交于点F,G.()当旋转角=45时,求点B的坐标;()在旋转过程中,当GF=AF,求的值;()在旋转过程中,当BOD=60时,求直线AB的解析式. 第5题图解:()如解图,过点B作BHx轴于点H,在RtAOB中,AOB=60,OA=8,OB=OA=4,当=45时,即BOC=45,OH=BH,OH2BH2=42OH=BH=2,B(2,2);()当75180时,存在FA=FG(如解图),A=FGA=30,COG=4530=15=AOM,=BOC=1801560=10
9、5,当FG=AF时，=105;()当点B在第一象限时(如解图),过点B作BMOC于点M,BOD=60,BOC=30,OM=OBcosBOC42,BM=OBsinBOC42,B(2,2),点A在y轴上A(0,8),设直线AB的解析式为y=kxb,解得:,直线AB的解析式为:y=x8;当点B在第二象限时,(如解图),过点B作BEx轴于点E,过点A作AHBE于H,BOD=60,BOE=30,EBO=60,ABH=30,又OB=4,OE=OBcosBOE42,BE=OBcosBOE42,B(2,2),BEO=AHB=90,ABH=BOE,OBEBAH,AH=2,BH=6A(4,4)设直线AB的解析式为
10、y=kxb,解得,直线AB的解析式为:y=x8. 图 图 图 图 第5题解图6.如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4),C是x轴上一动点,过C作CDAB交y轴于点D.()求的值;()若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标;()将AOB绕点A按顺时针方向旋转90得到AOB,设D的坐标为(0,n),当点D落在AOB内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出答案即可) 第6题图解:()点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,4),OA=3,OB=4.CDAB,AOBCOD,;()设OC=3x,则OD=4x,则AC=33x,BD=44x,当点C在x轴负半轴上时
11、:四边形ABCD的面积是54,ACBD=54,即(33x)(44x)=54,解得:x=2或4(舍去).则点C的坐标是(6,0);当点C在x轴的正半轴上时,S四边形ABCD=3x4x34=54,解得:x=或x=(舍去).则点C的坐标是(3,0);()O的坐标是(3,3),则OB与y轴的交点坐标是(0,3);则B的坐标是(1,3).设AB的解析式是y=kxb,根据题意得:,解得:,则函数的解析式是y=x,当x=0时,y=.即直线AB与y轴的交点是(0,).则n的范围是n3. 第6题解图7.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=9,OC=
12、15,将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90得到矩形OA1B1C1.将矩形OA1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D.()求点B2的坐标;()求折痕A1D所在直线的解析式;()在x轴上是否存在点P,使得BPB1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 第7题图解:()由条件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9,在RtA1OB2中,OB212,点B2坐标为(12,0);()B2C1=1512=3,DC1=m,则B1D=9m, B1D=B2D,9m,解得m=4,D点的坐标为(15,4),又A1(0,9),设折痕A1D所在直
13、线的解析式为y=kxb(k0),解得,即折痕A1D所在直线的解析式为yx9;()假设存在P点,BPABPB1B1PC1=180,BPB1=90,BPAB1PC1=90,BAP=90,ABPBPA=90,ABP=B1PC1.在BAP和PC1B1中,BAPPC1B1.,AB=15,C1B1=9,AC1=24,设PC1的长为m,解得m1=15或m2=9.经检验m1=15或m2=9是方程的两根,当PC1=15时,P点坐标为(0,0);当PC1=9时,P点坐标为(6,0).综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0). 第7题解图 8.如图,在平面直角坐标系中,已知AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4
14、),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到ABD.()求点B的坐标及直线AB的解析式;()当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;()是否存在点P,使OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可) 第8题图解:()如解图,过点B作BEy轴于点E,作BFx轴于点F.由已知得:BF=OE=2,OF=2,点B的坐标是(2,2).设直线AB的解析式是y=kxb(k0),则有,.直线AB的解析式是y=x4;()ABD由AOP旋转得到,ABDAOP.AP=AD,DAB=PAO.DAP=BAO
15、=60,ADP是等边三角形.如解图,过点D作DHx轴于点H,延长EB交DH于点G,则BGDH.在RtBDG中,BGD=90,DBG=60,BG=BDcos60=t=.DG=BDsin60=t.OH=EG=2t,DH=2t.点D的坐标为(2t,2t);()存在.假设存在点P,在它的运动过程中,使OPD的面积等于,设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:当t0时,如解图,BD=OP=t,DG=t,DH=2t.OPD的面积等于,t(2t)=,t1=,t2=(舍去).点P1的坐标为(,0).当D在x轴上时,如解图,根据锐角三角函数求出BD=OP=,当t0时,如解图,BD=OP=t,BG=t,DH=GF
16、=2(t)=2t.OPD的面积等于,t(2t)=,t1=,t2=,点P2的坐标为(,0),点P3的坐标为(,0).当t时,BD=OP=t,BG=t,DH=t2.OPD的面积等于,(t)(2t)=,t1=,t2=(舍去).点P4的坐标为(,0).综上所述,点P的坐标分别为P1(,0),P2(,0),P3(,0),P4(,0). 图 图 图 第8题解图9.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(2,0),C(0,2),点D,点E分别是AC,BC的中点,将CDE绕点C逆时针旋转得到CDE,旋转角为,连接AD,BE.()如图,若090,当ADCE时,求的大小;()如图,若90180,当点D落在线段BE
17、上时,求sinCBE的值;()若直线AD与直线BE相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围. 第9题图解:()如解图,A(-2,0),B(2,0),C(0,2),OA=OB=OC,ACB=90,CDE是CDE旋转得到的,DCE=90,ADCE,ADC=DCE=90,D为AC的中点,CD=AC,CD=CD,CD=AC,在RtACD中,cos=,=60;()设F为DE的中点，连接CF,如解图,CD=CE,ECD=90,CFBE,CF=DE=1,又BC=2,在RtBCF中,sinCBE=;()如解图中,以C为圆心,CD为半径作C,当BE与C相切时AP最长,则四边形CDPE是正方形,作PHAB于H.CD
18、=CD=AC=,C的半径为,在RtACD中,AD=,AP=ADPD=,cosPAB=,AH=2,点P横坐标的最大值为.如解图中,当BE与C相切时AP最短,则四边形CDPE是正方形,作PHAB于H.根据对称性可知OH=,点P横坐标的最小值为,点P横坐标的取值范围为m. 图 图 图 图 第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(3,0)、(0,3),点M为AB上一点,AM:BM=2:1,EMF在AB的下方以M为中心旋转且EMF=45,ME交y轴于点P,MF交x轴于点Q.()求点M的坐标;()设AQ的长为y,BP的长为x.求y与
19、x的函数关系式;()当P为OB的中点时,求四边形OQMP的面积. 第10题图解:()正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(3,0)、(0,3),OA=OB=OC=OD=3,在RtAOB中由勾股定理,得AB=3.AM:BM=2:1,AM=2,BM=,作MGAC于点G,MGBD,AMGABO,MG=2,AG=2,OG=1,M(1,2);()四边形ABCD是正方形,且AC、BD是对角线, 1=5=45,34=135,EMF=45,24=135,2=3,有1=5,BMPAQM,解得:y=;()P为OB的中点, BP=OB=,y=AQ=.作MHBD于H,MSAC于S,由勾股定理可以求得:MH=1,MS=2,S四边形OQMP=. 图 图 图 第10题解图