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1、逆矩阵的计算初等变换法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）逆矩阵的计算初等变换法1用初等变换法求逆矩阵如果A = ，那么A的逆矩阵A-1应当使A-1 = 用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可以求A-1取E1 = ，那么E1A = = ，所得矩阵的左下角元素为0取E2 = ，那么E2(E1A) = = ，所得矩阵的右上角元素为0取E3 = ，那么E3(E2E1A) = = 因此，E3E2E1A = E，而A-1A = E，所以A-1 = E3E2E1 = = = 2解释矩阵A = 将单位正方形OABC变为四边形OABC（图1），则A-1应该把OABC变回到
2、OABC O A B C O A B COABCCBA 图1下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OABC逐步变回到OABCE1 = ，它把OABC变为OXYZ（图2） O A B C O X Y ZOZYXCBA 图2E1是切变矩阵，它把OABC往Ox轴上作切变，使OX与OA重合E2 = ，它把OXYZ变为OAPQ（图3）OZYA(X)PQ O X Y Z O A P Q 图3E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变E3 = ，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）OAPQ O A P Q O A B CBC 图4E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩
3、- ，得到正方形OABC矩阵初等变换的一个应用马盼云（甘肃庆阳 745000）摘 要：本文是在学习了初等矩阵后，灵活运用了矩阵的初等变换来求若干个正整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式，在理论研究的基础上并通过具体的实例来说明用高级数学的方法解决初等数学问题，可以带来意想不到的方便和简捷。（正确和合理是没有问题的，所以就改为方便两字，可以通过。）关键词：矩阵；初等变换；多项式；最大公因数；最大公因式预备知识:在线性代数和高等代数中矩阵的初等变换指的是在一般的数域F里以下三种变换：（1） 用一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）;（2） 用一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行（列）上
4、;（3） 交换矩阵的两行（列）的位置。1、环和数域的简单介绍、数环设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数来说，都是S中的数，那么S就是一个数环。、设F是一个数环，如果1 F含有一个不等于零的数；2 如果 a,bF，且b,则F那么就称F是一个数域2、多项式环里的矩阵的初等变换在整数环Z 里矩阵的初等变换和在数域F里一样的，而对于多项式环里的矩阵A=，的初等变换指：1） 用一个非零的多项式乘以矩阵的某一行（列）2） 用一个多项式乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行（列）上3） 交换矩阵的两行（列）的位置矩阵的初等变换有很多好处，如何可以用来求可逆矩阵的逆矩阵，解某些矩阵方程，求两
5、个基的过度矩阵等。本文主要讨论矩阵的初等变换在求解若干个正整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式中的应用。设是整数，用表示它们的最大公因数，设 表示 它们的最大公因式。3、预备定律:引理1、设，则存在，有。引理 2、设，则存在，使得。定理1、若可逆矩阵P左乘以A能得到B，则一定可以对A施行行初等变换得到B。证明：因为矩阵P可逆，所以存在初等矩阵使得P，所以PA=A=B，也就是说对A施行行初等变换能得到B.定理2、若可逆矩阵P右乘以A能得到B，则一定可以对A施行列初等变换得到B。证明：因为矩阵P可逆，所以存在初等矩阵使得P，所以AP=B，也就是说对A施行列初等变换能得到B。定理3、设，则一定
6、可以对矩阵，施行列初等变换化为：，其中，X表示矩阵中元素。证明：由引理1知存在使得 ，所以=d构造一线性方程则显然该方程的解空间为n-1维，人取其 n-1个解：，取，构造矩阵P=，则是线性方程组的解。其中，那么P=是一个可逆矩阵。且有=所以根据定理2知，一定可以对矩阵 施行初等变换化为，其中，X表示矩阵中元素。定理4、设则一定可以对矩阵施行列初等变换化为其中，x表示矩阵中元素。 该定理的证明方法与定理3的证明方法完全类似，这里在不做进一步的证明。4、应用：例1、设，解不定方程解： 可通过列初等变换来解该方程 所以根据定理3可知：x=2, y=-11例2、令F是有理数域，求的多项式 与 的最大公
7、因式。解：因为所以根据定理3可知 由以上例子可以看出，利用矩阵的初等变换能方便快捷求若干个整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式。参考文献：【1】 张禾瑞，郝炳新，高等代数（第四版）M 北京：高等教育出版社 1999，2122；4243【2】 牟俊霖，李青吉，2005年版洞穿考研数学M，北京：航空工业出版社，2005，376377【3】 同济大学应用数学系，工程数学线性代数（第四版）M北京：高等教育出版社，2005，5960【4】 张小红 ，高等代数专题研究选编M 西安：陕西科学技术出版社，1992，213214【5】 刘仲奎，高等代数（第三版）北京：高等教育出版社习 题 4-11 利用初
8、等变换求下列矩阵的秩； .2取怎样的数值时，线性方程组有解，并求它的一般解. 3取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出它的一般解. 4. 证明：含有2个未知量3个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式.这个条件是充分的吗？请分析.5.设、都为矩阵，证明，秩秩的充分且必要条件是经过初等变换得到（这时我们称与等价）. 6.设是一个阶矩阵，证明，在初等变换下有标准形的充分且必要条件是. 7若， ，.证明：秩秩+秩.8证明，线性方程组有解的充分必要条件是. 这个命题能否推广到个未知量个方程的情形？9证明：若 与 同时有解，则. 10解齐次线性方程组(1) （2)
9、 11分别求使以下齐次线性方程组有非零解. (1) (2) 12设 (1)证明：若(1)有解，则又，逆命题是否成立？习 题4-21 求下列齐次线性方程组的基础解系. (1) (2) 2. 证明：如果齐次线性方程组的系数矩阵为，是矩阵中划去第列所得的矩阵的行列式，证明：(1)是方程组的一个解；(2)如果这个线性方程组的系数矩阵的秩为，那么方程组的解全是的倍数. 3. 给出平面上个点共线的充分必要条件. 4. 给出平面上条直线共点的充分必要条件. 5. 写出通过三点（1，2），（1，-2），（0，-1）的圆方程. 6. 给出平面上不在一直线上的四点位于同一圆周上的充分必要条件. 7. 证明：的任意
10、一个子空间都是某一个含未知量的齐次线性方程组的解空间. 8. 证明：的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交. 9. 求以下非齐次线性方程组的通解(1) (2) (3) 10. 设是非齐次线性方程组的任意个解， ，证明：当且仅当时，也是这个非齐次线性方程组的解. 11. 设是非齐次线性方程组的一个解，是它的导出组的基础解系. 证明：(1) 线性无关；(2) 也线性无关；(3) 如果是这个非齐次线性方程组的任意解， 则线性无关；(4)中向量是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在个数,，使得 .矩阵的初等变换与应用09金融2班 王启会 2021241078 一、矩阵概念线性方程组 系数的解
11、取决于 系 数 常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义 由mn个数 排成的m行n列的数表 称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵。记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数 为（i,j）元的矩阵可记作 或 ，mn矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵 A 也记作只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵 称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式
12、中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1 ；.（换行或换列）(2 ；（数）（倍行或倍列）(3 ；.（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成. 记作.（1）等价的性质：反身性 ；对称性 若，则；传递性 若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即即存在有限个初等矩阵, 使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯
13、线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1 求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. （行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.或 均对应初等方阵:或 均对应初等矩阵:或 均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质 .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，
14、且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵; , ;.(4初等矩阵的转置也是初等矩阵.; , ;.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵. 【性质2】 方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则存在阶可逆矩阵,使.存在阶可逆矩阵,使.分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法若可逆,则也可逆,于是存在初等矩阵,使，又 即，所以, 用分块矩阵运算表示为 .用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即 .(2解线性方程组，其
15、中可逆.则，即 .(3解矩阵方程，其中可逆，则即 .【定理6】 矩阵方程 有解的充要条件是 .例2设，求线性方程组 的解.解 设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：在矩阵中，任取行与列，位于这些行列相交处的个元素，按原相对位置构成的阶行列式.（）.的阶子式共有个.例3 矩阵的阶子式：(1 1阶子式如：,共有个.(2 2阶子式如：,共有个.(3 3阶子式如：,共有个.(4 （2）定义矩阵的秩设矩阵中有一个非零的阶子式,而且所有阶子式(如果存在的话值全为，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩,记作,即.注：零矩阵的秩规定为.的最高阶非
16、零子式称为矩阵的秩子式.例4 显然矩阵的秩为；.(3矩阵秩的性质.（结论显然成立） 若可逆,则（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时.若不可逆,，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）.此时有(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的.初等变换不改变矩阵的秩,即，其中 为初等矩阵.若均可逆,则.若,则.若,则.结论：将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改变秩子式的行位置.二、例题1、解方程 .解 因为，且，故方程的解为 .2、设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（
17、）（）. （）. （） （）. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而 ，则有.故应选（）.3、设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵， ，其中的逆矩阵为B，则a=_.【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有=,于是有 ，即 ，解得 由于.4、设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有( .(A 或. (B 或.(C ab且. (D ab且. 【分析】 的伴随矩阵的秩为1, 说明的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】 根据与其伴随矩阵*秩之间的关系知，故有，即有或.当时，显然, 故必
18、有且. 应选(C.5、设阶矩阵与等价, 则必有( (A 当时, . (B 当时, .(C 当时, . (D 当时, . 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D. 矩阵的初等变换与应用09金融2班 王启会 2021241078 一、矩阵概念线性方程组 系数的解取决于 系 数 常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义 由mn个数 排成的m行n列的数表 称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵。记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数 为（i,j）元的矩阵可记作 或 ，mn矩阵A也
19、记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵 A 也记作只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵 称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的
20、初等变换(1 ；.（换行或换列）(2 ；（数）（倍行或倍列）(3 ；.（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成. 记作.（1）等价的性质：反身性 ；对称性 若，则；传递性 若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即即存在有限个初等矩阵, 使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最
21、简形矩阵.例1 求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. （行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.或 均对应初等方阵:或 均对应初等矩阵:或 均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质 .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵; , ;.(4初等矩阵的转置也是初等矩阵.; , ;.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵. 【性质2】 方阵可逆的充要条件是存在有
22、限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则存在阶可逆矩阵,使.存在阶可逆矩阵,使.分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法若可逆,则也可逆,于是存在初等矩阵,使，又 即，所以, 用分块矩阵运算表示为 .用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即 .(2解线性方程组，其中可逆.则，即 .(3解矩阵方程，其中可逆，则即 .【定理6】 矩阵方程 有解的充要条件是 .例2设，求线性方程组 的解.解 设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：在矩阵中，任取行与列，位于这些行列相交处的个元素，按
23、原相对位置构成的阶行列式.（）.的阶子式共有个.例3 矩阵的阶子式：(1 1阶子式如：,共有个.(2 2阶子式如：,共有个.(3 3阶子式如：,共有个.(4 （2）定义矩阵的秩设矩阵中有一个非零的阶子式,而且所有阶子式(如果存在的话值全为，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩,记作,即.注：零矩阵的秩规定为.的最高阶非零子式称为矩阵的秩子式.例4 显然矩阵的秩为；.(3矩阵秩的性质.（结论显然成立） 若可逆,则（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时.若不可逆,，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）.此时有(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的.初等变换不改变矩阵的秩,即，其中 为初等矩阵.若均
24、可逆,则.若,则.若,则.结论：将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改变秩子式的行位置.二、例题1、解方程 .解 因为，且，故方程的解为 .2、设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（ ）（）. （）. （） （）. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而 ，则有.故应选（）.3、设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵， ，其中的逆矩阵为B，则a=_.【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用
25、乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有=,于是有 ，即 ，解得 由于.4、设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有( .(A 或. (B 或.(C ab且. (D ab且. 【分析】 的伴随矩阵的秩为1, 说明的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】 根据与其伴随矩阵*秩之间的关系知，故有，即有或.当时，显然, 故必有且. 应选(C.5、设阶矩阵与等价, 则必有( (A 当时, . (B 当时, .(C 当时, . (D 当时, . 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D. 矩阵初等变换的一个应用马盼云（甘肃庆阳 74
26、5000）摘 要：本文是在学习了初等矩阵后，灵活运用了矩阵的初等变换来求若干个正整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式，在理论研究的基础上并通过具体的实例来说明用高级数学的方法解决初等数学问题，可以带来意想不到的方便和简捷。（正确和合理是没有问题的，所以就改为方便两字，可以通过。）关键词：矩阵；初等变换；多项式；最大公因数；最大公因式预备知识:在线性代数和高等代数中矩阵的初等变换指的是在一般的数域F里以下三种变换：（1） 用一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）;（2） 用一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行（列）上;（3） 交换矩阵的两行（列）的位置。1、环和数域的简单介绍、数环设
27、S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数来说，都是S中的数，那么S就是一个数环。、设F是一个数环，如果1 F含有一个不等于零的数；2 如果 a,bF，且b,则F那么就称F是一个数域2、多项式环里的矩阵的初等变换在整数环Z 里矩阵的初等变换和在数域F里一样的，而对于多项式环里的矩阵A=，的初等变换指：1） 用一个非零的多项式乘以矩阵的某一行（列）2） 用一个多项式乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行（列）上3） 交换矩阵的两行（列）的位置矩阵的初等变换有很多好处，如何可以用来求可逆矩阵的逆矩阵，解某些矩阵方程，求两个基的过度矩阵等。本文主要讨论矩阵的初等变换在求解若干个正整数的最大
28、公因数和若干个多项式的最大公因式中的应用。设是整数，用表示它们的最大公因数，设 表示 它们的最大公因式。3、预备定律:引理1、设，则存在，有。引理 2、设，则存在，使得。定理1、若可逆矩阵P左乘以A能得到B，则一定可以对A施行行初等变换得到B。证明：因为矩阵P可逆，所以存在初等矩阵使得P，所以PA=A=B，也就是说对A施行行初等变换能得到B.定理2、若可逆矩阵P右乘以A能得到B，则一定可以对A施行列初等变换得到B。证明：因为矩阵P可逆，所以存在初等矩阵使得P，所以AP=B，也就是说对A施行列初等变换能得到B。定理3、设，则一定可以对矩阵，施行列初等变换化为：，其中，X表示矩阵中元素。证明：由引
29、理1知存在使得 ，所以=d构造一线性方程则显然该方程的解空间为n-1维，人取其 n-1个解：，取，构造矩阵P=，则是线性方程组的解。其中，那么P=是一个可逆矩阵。且有=所以根据定理2知，一定可以对矩阵 施行初等变换化为，其中，X表示矩阵中元素。定理4、设则一定可以对矩阵施行列初等变换化为其中，x表示矩阵中元素。 该定理的证明方法与定理3的证明方法完全类似，这里在不做进一步的证明。4、应用：例1、设，解不定方程解： 可通过列初等变换来解该方程 所以根据定理3可知：x=2, y=-11例2、令F是有理数域，求的多项式 与 的最大公因式。解：因为所以根据定理3可知 由以上例子可以看出，利用矩阵的初等
30、变换能方便快捷求若干个整数的最大公因数和若干个多项式的最大公因式。参考文献：【1】 张禾瑞，郝炳新，高等代数（第四版）M 北京：高等教育出版社 1999，2122；4243【2】 牟俊霖，李青吉，2005年版洞穿考研数学M，北京：航空工业出版社，2005，376377【3】 同济大学应用数学系，工程数学线性代数（第四版）M北京：高等教育出版社，2005，5960【4】 张小红 ，高等代数专题研究选编M 西安：陕西科学技术出版社，1992，213214【5】 刘仲奎，高等代数（第三版）北京：高等教育出版社习 题 4-12 利用初等变换求下列矩阵的秩； .2取怎样的数值时，线性方程组有解，并求它的
31、一般解. 3取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出它的一般解. 5. 证明：含有2个未知量3个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式.这个条件是充分的吗？请分析.5.设、都为矩阵，证明，秩秩的充分且必要条件是经过初等变换得到（这时我们称与等价）. 6.设是一个阶矩阵，证明，在初等变换下有标准形的充分且必要条件是. 7若， ，.证明：秩秩+秩.8证明，线性方程组有解的充分必要条件是. 这个命题能否推广到个未知量个方程的情形？9证明：若 与 同时有解，则. 10解齐次线性方程组(1) （2) 11分别求使以下齐次线性方程组有非零解. (1) (2) 12设
32、(1)证明：若(1)有解，则又，逆命题是否成立？习 题4-22 求下列齐次线性方程组的基础解系. (1) (2) 2. 证明：如果齐次线性方程组的系数矩阵为，是矩阵中划去第列所得的矩阵的行列式，证明：(1)是方程组的一个解；(2)如果这个线性方程组的系数矩阵的秩为，那么方程组的解全是的倍数. 3. 给出平面上个点共线的充分必要条件. 4. 给出平面上条直线共点的充分必要条件. 5. 写出通过三点（1，2），（1，-2），（0，-1）的圆方程. 6. 给出平面上不在一直线上的四点位于同一圆周上的充分必要条件. 7. 证明：的任意一个子空间都是某一个含未知量的齐次线性方程组的解空间. 8. 证明：
33、的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交. 9. 求以下非齐次线性方程组的通解(1) (2) (3) 10. 设是非齐次线性方程组的任意个解， ，证明：当且仅当时，也是这个非齐次线性方程组的解. 11. 设是非齐次线性方程组的一个解，是它的导出组的基础解系. 证明：(1) 线性无关；(2) 也线性无关；(3) 如果是这个非齐次线性方程组的任意解， 则线性无关；(4)中向量是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在个数,，使得 .矩阵的初等变换与应用09金融2班 王启会 2021241078 一、矩阵概念线性方程组 系数的解取决于 系 数 常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩
34、阵。矩阵的定义 由mn个数 排成的m行n列的数表 称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵。记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数 为（i,j）元的矩阵可记作 或 ，mn矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵 A 也记作只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵 称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为
35、同型矩阵。如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1 ；.（换行或换列）(2 ；（数）（倍行或倍列）(3 ；.（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成. 记作.（1）等价的性质：反身性 ；对称性 若，则；传递性 若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即即存在有限个初等矩阵, 使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的
36、竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1 求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. （行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.或 均对应初等方阵:或 均对应初等矩阵:或 均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质 .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵; , ;.(4初等矩阵
37、的转置也是初等矩阵.; , ;.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵. 【性质2】 方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则存在阶可逆矩阵,使.存在阶可逆矩阵,使.分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法若可逆,则也可逆,于是存在初等矩阵,使，又 即，所以, 用分块矩阵运算表示为 .用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即 .(2解线性方程组，其中可逆.则，即 .(3解矩阵方程，其中可逆，则即 .【定理6】 矩阵
38、方程 有解的充要条件是 .例2设，求线性方程组 的解.解 设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：在矩阵中，任取行与列，位于这些行列相交处的个元素，按原相对位置构成的阶行列式.（）.的阶子式共有个.例3 矩阵的阶子式：(1 1阶子式如：,共有个.(2 2阶子式如：,共有个.(3 3阶子式如：,共有个.(4 （2）定义矩阵的秩设矩阵中有一个非零的阶子式,而且所有阶子式(如果存在的话值全为，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩,记作,即.注：零矩阵的秩规定为.的最高阶非零子式称为矩阵的秩子式.例4 显然矩阵的秩为；.(3矩阵秩的性质.（
39、结论显然成立） 若可逆,则（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时.若不可逆,，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）.此时有(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的.初等变换不改变矩阵的秩,即，其中 为初等矩阵.若均可逆,则.若,则.若,则.结论：将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改变秩子式的行位置.二、例题1、解方程 .解 因为，且，故方程的解为 .2、设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（ ）（）. （）. （） （）. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵
40、的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而 ，则有.故应选（）.3、设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵， ，其中的逆矩阵为B，则a=_.【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有=,于是有 ，即 ，解得 由于.4、设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有( .(A 或. (B 或.(C ab且. (D ab且. 【分析】 的伴随矩阵的秩为1, 说明的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】 根据与其伴随矩阵*秩之间的关系知，故有，即有或.当时，显然, 故必有且. 应选(C.5、设阶矩阵与等价, 则必有( (A 当时, .
41、(B 当时, .(C 当时, . (D 当时, . 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D. 矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）李志慧（陕西师范大学数学与信息科学学院副教授博士西安710062）5、求标准正交基通常的Schmidt方法，使我们可以从欧氏空间的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交基下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间的任意一个基求标准正交基的方法3设是的任意一个基，以为列向量构成矩阵，则是一个阶正定矩阵，必与单位矩阵合同，即存在阶可逆矩阵，使得 5即 65式说明，对矩阵施行一系列
42、的初等变换（相应的初等矩阵的乘积）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为）可变成单位矩阵6式表明，的列向量组是的一个标准正交基可以通过对矩阵施行与对矩阵所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求再与相乘得到于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法：的列向量组即为所求例7把，变成单位正交的向量组解：令，则，所以所求单位正交的向量组为，需指出的是，的行向量组，正是的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式的行向量即为所求如果需要求出，则由可知，对单位短阵施行同样的列初等变换得到，即由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间的一组标准正交基，比较简单而且操作方便四、小结本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无