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1、矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）李志慧（陕西师范大学数学与信息科学学院副教授博士西安710062）5、求标准正交基通常的Schmidt方法，使我们可以从欧氏空间的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交基下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间的任意一个基求标准正交基的方法3设是的任意一个基，以为列向量构成矩阵，则是一个阶正定矩阵，必与单位矩阵合同，即存在阶可逆矩阵，使得 5即 65式说明，对矩阵施行一系列的初等变换（相应的初等矩阵的乘积）及一系列的行初等变换（
2、相应的初等矩阵的乘积为）可变成单位矩阵6式表明，的列向量组是的一个标准正交基可以通过对矩阵施行与对矩阵所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求再与相乘得到于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法：的列向量组即为所求例7把，变成单位正交的向量组解：令，则，所以所求单位正交的向量组为，需指出的是，的行向量组，正是的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式的行向量即为所求如果需要求出，则由可知，对单位短阵施行同样的列初等变换得到，即由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间的一组标准正交基，比较简单而且操作方便四、小结本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊
3、作用特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用，并给出了部分例子可以看出，利用矩阵初等变换在处理相应问题问题时具有简单、快速、易于操作等特点值得注意的是，矩阵的初等变换共有六种，当我们处理不同的问题时，可能使用初等变换的种类会不一样如在本文中我们发现：在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型，而求矩阵的初等变换时却可以用六种初等变换，因此，我们在具体使用时要灵活应用实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求矩阵的逆、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法当然，我们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等变换来解决有关问题
4、的典型例子，这也是值得我们进一步探讨的一个问题参考文献1.北京大学数学系几何与代数小组，高等代数，高教出版社，1988年3月 2张小红，蔡秉徒，高等代数专题研究选编，陕西科学技术出版社，西安，19923Werner Greub， Linear Algebra, Springer-Verlag New York Heidelberg, Berlin,1982.矩阵考试内容：矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价，分块矩阵及其运算。考试要求：理解矩阵的概念，了解单位矩阵数量矩阵
5、、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及他们的性质。掌握矩阵的线性运算、矩阵的乘法转置以及他们的运算规律，了解方阵的幂与乘积的行列式的性质。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。理解初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵秩的方法。了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。一 内容概要1 矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，才有意义，但是；此外当A是长方形矩
6、阵时没有意义。2矩阵的运算及其运算律（1） 矩阵的相等；（2） 矩阵的线性运算：a) 矩阵的和：A+B 注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b) 矩阵的数乘（或称数乘矩阵） ；c) 一般地，若有意义，称为矩阵的一个线性运算；3矩阵的转置将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵，称为矩阵A的转置。4 矩阵的乘法矩阵乘法的定义：注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而5关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1） 一般地原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如；c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=
7、BA，则称A与B是可以交换的。例如2） 矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若3） 若3 几种特殊类型的矩阵（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5） 对称矩阵：若；（6） 反对称矩阵：若；关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则;(7) 正交矩阵：若，则称A是正交矩阵。关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：；（8） 阶梯形矩阵若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变
8、换化为阶梯形矩阵；（9） 分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10） 初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1） 分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；（2） 分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1） 初等矩阵的定
9、义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2） 初等变换初等行变换、初等列变换；（3） 初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。举例说明(4) 矩阵A与B等价如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：是初等矩阵每一个矩阵A都与矩阵等价，其中r是矩阵A的秩，即存在6 关于n阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得AB=E或BA=E则
10、称矩阵A是可逆的；（2） n阶方阵A可逆的充要条件1） 用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得 AB=E或BA=E(即定义）；2） 用A的行列式;3） 用矩阵的秩来描述：4） 用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5） 用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；6） 用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3） 逆矩阵的性质1） 若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2） 若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且;3） ;4）（4） 逆矩阵的求法1） 具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求
11、逆矩阵的方法：2） 对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；3） 如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5） 关于伴随矩阵1) 伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2) 伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A均有此伴随矩阵当对于一般地方阵A，其伴随矩阵的秩为：当。（6） 关于矩阵的秩1） 矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。2） 矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A实
12、行初等变换其秩不变3） 矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A的秩其一般方法是4） 有关矩阵秩的重要结论若P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则若A为矩阵，B为矩阵，且AB=0，则：此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查例 设A,B,C为n阶方阵，若AB=BA,AC=CA,则ABC等于（a) ACB; (b)CBA; (c)BCA; (d) CAB.例2 已知A,B是n阶矩阵，且证明：由条件易得到：AB+BA=0 (1)对（1）式左乘以一个A，由条件得到：;对（1）式右乘以一个A则得到：；由上面的结果立即可得
13、：AB=BA.故结论成立。例 3 若对任意的从而：A=0或者：因为。在本题中，我们要充分注意条件中AX=0里X的任意性。例4 已知A是对称矩阵，则当A可逆时，是反对称矩阵时，当A是可逆阵时，也是反对称矩阵。这里我们要充分注意对称矩阵、反对称矩阵以及逆矩阵的性质。（具体证明略）。例5 选择已知ABC=E，则必有(1)CBA=E,(2)BCA=E;(3)BAC=E;(4)ACB=E.在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用来进行。题型二 矩阵可逆的计算与证明（1） 对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（2） 如果给定了抽象的条件，要求，此时注意将条件
14、转化为AB=E，或BA=E,此时的B就是要求的。在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。例1 设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知且,求。方法一 将条件转化为（A+2E)C=E或C(A+2E)=E，则此时的。由条件可得：方法二 易知故。从而。例2 已知n阶方阵A,B满足：AB=A+2B,求证明：，由上面的结果立即可得：例3 已知X,Y是两个n维列向量，且证明：设例 A,B是n阶方阵，证明：方法一 再由条件：方法二 利用方程组AX=0仅有0解的充要条件是A可逆来进行；假若非0解，令是其非0解，则可以得到：又因为；这就是说，是方程组这与矩阵可逆相矛盾
15、。题型三 关于伴随矩阵逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。例1 设矩阵A的伴随矩阵且.解 由，而.，则分块的伴随矩阵为：解 方法1 因为，从而根据此结果，对所给定的四个矩阵直接检验那一个满足与；这里要注意分块矩阵方法2 根据伴随矩阵的性质，求出由条件可得这里充分利用的关系例3 设A为n阶非0的实矩阵，证明：当时，矩阵A可逆。证明：因为方法一 ，这与A是非0的矩阵相矛盾。故矩阵A的行列式，从而矩阵A可逆。方法二 由上面得到，从而A是0矩阵，与条件相矛盾。下同方法一。题型四 有关初等矩阵及其初等变换的问题例1 设A是3阶矩阵
16、，将A的第一列与第2列交换，得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q。解 根据条件可得：；易知注意在上面的矩阵Q中，可以按照矩阵的乘法得到；也可以按照矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来得到。例2 设A为n阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B，求与的关系。解 设P是交换单位矩阵的第1、2行所得到的初等矩阵，则,从而可得到：在上面注意矩阵。由上面的关系式：的第1、2列，即是矩阵。在这里注意对矩阵A左乘以一个初等矩阵、右乘以一个初等矩阵与矩阵A的初等变换之间的关系。题型五 解矩阵方程将所给的条件转化为矩阵方程：的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。对于矩阵方程，则这里的
17、矩阵；或者先求出。对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。例1 设矩阵求X。解 根据条件可得：故所给的条件转化为：例2 设矩阵A满足方程：解 由条件可得：，显然A-E可逆，从而X=A+E。例3 设三阶方阵A,B满足关系式：，求B。其中解 由条件可得：，例4 已知解 注意这里A是三阶矩阵，且4,此外有条件将数值代进去具体计算可得：注意：如果直接计算这不是此题的本意，且计算量较大，这里需要充分利用伴随矩阵的性质来进行。题型5 关于矩阵的秩1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；2 利用矩阵的秩，等于
18、矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。3 注意矩阵秩的有关不等式。例1 设，证明：（1）（2） 若线性相关，则。解 （1） 因为（2） 若从而注意：这里应用性质：例2 已知(1) 当t=6，必有r(P)=1； （2）t=6时，必有r(P)=2；(3) （4）。解 由条件知：,因此可得 易见 当；故当1。例3 设A是。证明 方法一 因为，故方法二 由条件可得：是一个n阶方阵，从而它是可逆的，故必有B=E。例4 设A为矩阵，证明（1） 方程；（2） 方程。证明 只要证明其中之一即可，为此证明第一个问题。充分性：因为r(A)=m，故存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得：令。必要性：由条
19、件可得，故可得。例5 设A为，若AB=E,则：（1）r(A)=m,r(B)=m; （2）r(A)=n,r(B)=m（3）r(A)=m,r(B)=n （4）r(A)=n,r(B)=n 解 由条件可得： 另一方面可知：。题型6 求一个方阵的高次幂当A是一个方阵的时候，才有意义，否则没有意义。例 1已知 解 注意矩阵A各行对应成比例，因此A的秩为1，此时：按照上述的递推结果可得：。一般地在计算时，注意A的秩是否为1，如果是1，就按照上述方法，将A分解成形式，然后进行计算；方法2 直接计算，容易发现。例2 已知求解方法同上；略去。例3 设。例4 设；解 应用上面的方法，直接计算，由此可以得到结论。线性
20、代数第一次讨论课1;要求2;正文3;个人总结丁俊成 00101209第一部分：要求线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。第一次讨论课内容矩阵初等变换及其应用请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐
21、或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。1. 两个矩阵的等价2. 两个矩阵的乘积3. 将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4. 求矩阵的秩5. 求可逆矩阵的逆矩阵6. 求线性方程组的解7. 判断向量组的线性相关性8. 求向量组的秩与极大无关组9. 求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）第二部分：正文矩阵的初等变换及其应用矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。一两个矩阵的等价矩阵等价的定义为：
22、若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质（1）反身性 任一矩阵A与自身等价； （2）对称性 若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性 若A与B等价，B与C等
23、价，则A与C等价；矩阵等价的实现方式在于矩阵的等价转换，即行变换和列变换及其组合，在后面的运用中相当广泛，主要方面就是求矩阵的逆矩阵，将矩阵化为行阶梯型列阶梯型标准型及求矩阵的秩。上述几个问题后文会专门提到，这里需要强调的是他们的最基本原理就是矩阵的等价，等价转换。下面举一个例子来说明矩阵的等价和等价转换：1 显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。矩阵大部分应用中都要用到矩阵的等价，后文大部分例子中都会用到矩阵等价的知识和相关性质，所以不多举例。二两个矩阵的乘积在研究向量的线性变换时，为了方便，引进了矩阵的乘法的运算，其定义如下： 设A=（）是一
24、个m*s的矩阵，B=（）是一个s*n的矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是m*n矩阵C=（），记为C=AB，其中(i=1,2,m;j=1,2,n)有矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。位于左边矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘；其乘积是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积矩阵的第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列的对应元乘积之和。所谓对应元，即第i行的列号与第j列的行号相同的元。矩阵乘法满足如下运算规律：(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+AC;(3)c(AB)=(cA)B=A(cB).其中c是数；(4)矩
25、阵乘法需要注意的是：(1)矩阵乘法一般不满足交换律；特殊的，若AB=BA，则称AB乘法可交换；(2)两个非零矩阵乘积可能是零矩阵；(3)由AB=AC，不能得出B=C；根据定义，矩阵乘积的求解方法十分明显了，需要注意的是分块矩阵也可以进行矩阵的乘法，可以进行矩阵乘法的条件是分块矩阵整块的行列数满足左边列数和右边行数相等，并且对应相乘的小块也满足矩阵可以相乘的条件，可以相乘的矩阵进行释放分块都都是可以进行分块相乘的，分块矩阵相乘可以大大地简化计算。下面是一个矩阵乘法的实际例子，其中包括了矩阵乘法的实际意义及计算方法：一件产品一年上下四个季度的人工人成本和材料成本如下表：一季度二季度三季度四季度每件
26、人工成本12010015090每件材料成本200240180220这个产品两年四个季度产量分别为：第一年第二年一季度10001500二季度12001600三季度900800四季度15001600求每年分别两种成本。解：设 这个矩阵的四个元素即为所求答案。注：这样计算起来似乎没有多大实际意义，但是，运用到实际中时，这种问题若化为矩阵，即可利用计算机进行快速运算，其优势就显得十分明显了。三将矩阵化为行阶梯形、行最简形及标准形将矩阵化为行阶梯形，行最简形及标准形用到的方法就是矩阵的初等变换，矩阵的初等变换三种方式上文都有提到，下面是三种形式的定义：1， 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵（简称阶
27、梯形）。（1） 若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方；（2） 每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。2， 首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为0的行阶梯形称为行最简矩阵，简称最简形。3， 对任何m*n矩阵A，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵我们称N为矩阵A的等价标准形。此标准形是有m，n，r完全确定的，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的个数。求解方法就是进行矩阵的行变换或者列变换，满足最终的条件就是最终结果了。具体例子就是第一个问题的转换过程，第一个问题最终的结果就是B为阶梯形，C为最简形。矩阵这些特殊形式的应用主要就是求矩
28、阵的秩，最简形非零行的个数就是矩阵的秩，求矩阵的秩又有各个方面的应用。四求矩阵的秩矩阵秩的定义： 如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)，并规定零矩阵的秩为0.求矩阵秩的方法主要是将矩阵进行初等转换，根据定理初等变换不改变矩阵的秩，可以将矩阵进行初等变换到阶梯形，通过行阶梯形很容易看出矩阵的秩，其秩就是元矩阵的秩。矩阵的秩主要应用在于判断方程是否有解及根据方程是否有解判断的一些结论。关于矩阵秩的例子，还是就第一个说，原矩阵不容易看出矩阵的秩来，经过初等变换后，很容易看出
29、阶梯形矩阵的秩为3，因此有的原矩阵的秩为3.通过矩阵秩判断方程解的问题，后面有关于判断线性方程组的解的专门讨论。五求可逆矩阵的逆矩阵逆矩阵是矩阵中单独的一个分支，但是其求解等各种方法与矩阵基本方法规律相同。下面是矩阵的逆矩阵的定义： 设A为n方阵，若存在你阶方阵B，使AB=BA=E则称A为可逆矩阵或A是可逆的，并且称B为A的逆矩阵。可逆矩阵具有唯一性，即A若可逆，其可逆矩阵是唯一的。关于可逆矩阵的求法，大致三种方法：(1)特殊的矩阵。1）矩阵为对角阵或者分块都为对角阵，可用特殊的方法求解。若矩阵为对角阵，逆矩阵就是每一个元素分别求倒数放到原来位置。若矩阵分块都为对角阵，可将每个小块分别求逆矩阵
30、，然后将逆矩阵放到原来的位置即可。 2）矩阵为两阶的矩阵，可运用公式求解（公式根据逆矩阵的定义推出）若ad-bc0，则矩阵 可逆，且逆矩阵为(2) 运用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。其原理如下：若A为n阶可逆矩阵，其逆也是n阶可逆矩阵，故A可表示为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。由逆矩阵定义，有即即有若摆放方式不同也可以将A，E竖放在经过初等列变换可得逆矩阵与单位矩阵。与第一个问题相关的是，变换前后两个矩阵等价。（1） 根据公式，可知A的逆矩阵为.这个公式在使用时十分复杂，但是若用于理论及电脑计算就有较大优势。关于实际应用，下面举一个密码方面的例子：将26个英文字母按顺序逐一与数字对应后
31、，“send money”编码为19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接发出编码，很容易被人破译，显然这是不可取的，如何进行加密呢，可将式子表示为一个三阶方阵，乘以一个三阶方阵后密码的破译难度就大多了，问题是如何解密呢？根据式子AB=C，知B=A（-1） C.可知破译方式，即将得到的信息乘以逆矩阵就可以了。明文SEND MONEY对应的9个数值按3列被排成以下矩阵: 矩阵乘积：对应密文编码为： 81,77,93,62,73,79,38,32,44。合法用户用密钥乘上述矩阵即可解密得到明文最后得到的序列对应写出明文即可。 这是实际问题的简化模型，只是阐述了其原理，具体实际上运用需要用
32、到的工具和理论远多于这个。六求线性方程组的解线性方程组可分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组，齐次线性方程组为非齐次线性方程组的一般性情况。判断线性方程组的解可用的工具目前有矩阵和行列式，下面分别阐述：一） 利用行列式求线性方程组的解用行列式求解属于十分方便的方法，缺点是计算量大。是用的方法是克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式D=|A|0，则线性方程组有唯一解且，j=1,2,3,n;其中替换系数矩阵D中的第j列所称的行列式。 显然，判断一个方程组是否有解即使要看系数行列式是否为0,。 对于齐次线性方程组，显然有一组全为零的解，判断齐次线性方程组是否有非零解方法为如下定理： 齐次线性方程组有
33、非零解的充要条件是系数行列式|A|=0. 这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。二） 利用矩阵判断线性方程组的解利用矩阵判断线性方程组的解必须要用到矩阵的秩的概念，上面专门讨论过，就开始讨论如何使用秩的求解。判断线性方程组的解有如下定理： n元线性方程组Ax=b，（1） 有解的充要条件是R（A）= R（B）；（2） 有唯一解的充要条件是R（A）=R（B）=n；（3） 有无穷多解的充要条件是R（A）=R（B）n.（其中B为A的增广矩阵）注意：（1）的你否命题为：线性方程组Ax=b误解的充要条件是R（A）n时，m
34、个n维向量组成的向量组一定线性相关。3） 设有两个向量组：若向量组线性无关，则向量组也线性无关；反之，若向量组线性相关，则向量组也线性相关。判断向量组线性相关性判断方法的定理有下面几个：1） 向量组线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（)的秩小于向量的个数m；向量组线性无关的充要条件是R（A）=m。结合矩阵，上定理有如下两个推论：（1） m个m维向量组线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（）的行列式|A|=0；线性无关的充要条件是|A|0；（2） 设A为m*n矩阵，则1. 矩阵A的列向量线性相关（无关）的充要条件是R（A）n(R(A)=n).2. 矩阵A行向量线性相关（无关）的充要条件是R（A
35、）=2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以有其余几m-1个向量表示。3） 向量组线性无关，而向量组,b线性相关，则b可由线性表示，而且表示式是唯一的。4） 若向量组：可由向量组：线性表示，且mn,则向量组线性相关。该定理有如下两个推论：（1） 若向量组：可由向量组：线性表示，且向量组：线性无关，则m=n.（2） 若两个线性无关组等价，则它们所含的向量个数相等。5） 矩阵A经过初等行变换化为B，则（1） 矩阵A与B对应的列向量构成的列向量具有相同的线性组合关系；（2） 矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。线性相关作为向量间的关系与向量组的内在性质在向量领域应用广泛，是作为基础存在的。
36、其应用与矩阵类似，可用来求解线性方程组等。八求向量组的秩与极大无关组向量组的T的一个部分组满足：（1） 线性无关；（2） 向量组T的每一个向量都可由线性表示。则称是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。关于向量组秩的定义： 向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩，记作R（）规定只含零向量的向量组的秩为0。极大线性无关组具有的性质为：极大性：向量组的极大线性无关组是所有与该向量等价的部分组中韩向量最多的向量组。极小性：向量组的极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向量最少的向量组。关于秩的性质有如下几条：（1） 矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。（2
37、） 若向量组可由向量组表示，则向量组的秩不超过向量组的秩。该性质有如下推论：等价向量组的秩相等。求向量组的秩方法根据性质（1）可知，即把向量组看作以及矩阵求矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。还可以根据性质等价向量组的秩相等，将向量组做等价变换求秩，这个方法实质上和利用矩阵求的方法一样，因此，求向量组的秩的方法归根结底就是将像向量组看作熟悉的矩阵求解。向量组的秩的应用与矩阵的秩在矩阵中间的运用大致相同，是向量组的特征量，可以解决很多向量组的问题。九求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）对角矩阵的定义： 如果n阶方阵的主对角线以外的元全为零，即则称它为对角矩阵，记作.对角线上全
38、为1的矩阵称为单位矩阵。对角矩阵特征如下：1. 对角矩阵都是对称矩阵；2. 对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；3. 零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵；4. 对角矩阵 的行列式为的乘积。对角矩阵的运算：矩阵加法可用下式表示：矩阵乘法可用下式表示：求对角矩阵的逆表示如下： 均不为零，若上述条件成立，则.求对角矩阵的n次方计算也十分简便，有定义有下面公式：对角矩阵的计算十分简单，因此运用也十分的广泛，实际中遇到问题应尽量转化为对角矩阵进行求解，可节省较多的计算工作。下面的问题就是如何将一个矩阵对角化以便利用对角矩阵相应的性质简化计算。所用到的工具有特征值和相似矩阵相关性质。先讨论方阵的特
39、征值的概念：设A是n阶方阵，如果存在常数和n维非零列向量x使Ax=x则称数为矩阵A的一个特征值，非零列向量x称为矩阵A的属于（或对应于）特征值的特征向量。求解方法就是利用特征多项式|E-A|令值为零得到对应的特征方程求解。然后将对应的值代入方程|E-A|x=0求出特征值对应的特征向量。线性组合每一个特征向量可得到全部特征向量。矩阵的特征值有如下有关性质及推论：定理1： 设n阶方阵A=（）的n个特征值为则有：推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数0为矩阵A的特征值。定理2：设是方阵A的一个特征值，x是A的对应的特征值的特征向量。则有：（1） 当A可逆时，的特征值；（2） 当A可逆时，；
40、（3） f(x)是x的一元多项式，则f()是f(A)的一个特征值，并且x是对应矩阵的特征向量。定理3：设是方阵A的n个互不相同的特征值， 依次为与之对应的特征向量，线性无关。定理4：把A的m个互不相同的特征值所对应的m组各自线性无关的特征向量并在一起任是线性无关的。定理5：特征值的代数重数（对应特征方程解的重数）不小于其几何重数（对应特征向量个数）。再讨论相似矩阵：相似矩阵概念：设A,B为n阶矩阵，若存在n阶可逆方阵P，使则称A相似于B，记作AB。对A进行上述运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变到B的相似变换矩阵。相似矩阵有如下性质：（1） 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特
41、征值。（2） 若n阶矩阵A B，有：R(A)=R(B);|A|=|B|;tr(A)=tr(B); ;kA kB,k为任意常数; ，m为任意非负整数;若f(x)是任意多项式，则f(A) f(B).利用以上工具就可以讨论矩阵对角化的问题了。下面是矩阵可对角化的定义：如果n阶方阵A相似于对角矩阵,则称A可对角化。判断对角化有如下定理及推论：(1) n阶方阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。(2) 如果n阶矩阵有n个互不相同的特征值，则A必可对角化。(3) n阶方阵可对角化的充要条件是A的每个r重特征值恰有r个线性无关的特征向量。根据以上知识，判断一个矩阵是否可对角化就十分容易了。下面就是具体步骤：首先求出一个方阵的特征向量和特征值，根据判断是否可对角化的充要条件判断是否可对角化，若可对角化，对应的B即为几个特征值为对角线上元素的对角矩阵，P为对应每个特征值得特征向量，这样就解出了对角化问题。一个简单