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1、矩阵的等价（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）矩阵的等价、相似与合同1、相似和合同都可以得到等价2、对正交矩阵而言，合同与相似等价。3、 相似矩阵的秩也是相等的， 相似矩阵的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵p 使p-1ap=b就说a,b相似 相互合同的矩阵的秩也相同。 矩阵间合同的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵c 使：cTac=b就主a,b合同 相似和合同都可以得到等价14、1. 矩阵的等价：经过六个初等变换的矩阵之间具有等价关系，主要是指型和秩相同。2。矩阵的相似：主要指存在可逆矩阵，能够变换它为对角矩阵。15、相似，等价，合同均为矩阵与矩阵之间关系。设有矩阵A
2、和B如果说A与B等价则仅须A,B形状相同，秩相等。A,B相似则指存在可逆阵c，使得A=CBC(-1)，如智轩老师所暗含得，相似关系主要应用于给定一个（相似于对角）矩阵，让你求辅助矩阵使其对角化。A,B合同指存在可逆阵p，使得A=pBp细心得学生可以看出，等价是合同或者相似得必要条件。注意：凡是出现“关系”字眼得地方，均要涉及2或者2个以上得对象，而关系自然就是这些对象之间的联系。相似关系，等价关系，合同关系都是矩阵之间的基本联系。所以，一定要弄清2矩阵间有这样的关系，需要符合什么样的条件。事实上，正是一步步检验这些条件的过程被命制成为5花8门的题型。16、4、chen8281矩阵等价、对应矩阵
3、列相两组等价、矩阵相似、矩阵合同 （都对应于n阶方阵） 1.矩阵A、B等价 存在可逆矩阵P、Q，存在A=PBQ，秩相同。 2.对应矩阵A、B列向量两组等价 存在可逆矩阵P，使AP=B，秩相同。 4.矩阵AB合同，存在可逆Q，B=QAQ，A、B秩相同。 1.2之间、2.3之间的相互推导，是否同。本人认为是不等价的。 3.4之间的常常看到用正交对角化（施密特正交法）联系一起。 里面还有很多关系，我们都可以细细体会。 以后都为个人体会，如感觉有意见的可以指出，原受指教。由于上面都是方阵考虑，大家可以适当的扩大范围考虑。 本人只是感觉之间有类似的感觉，正好可以总结下本身之间的关系，感觉越到这个时候总结
4、自成体系必不可少，两个月之前没这个感觉，最近这个想法越来越强，当然我也希望大家能一起探讨，分析数学之间的相互关系，有益于我们各自的进步。 如果可以，大家可以分章总结大家对于一章知识点的把握和串联，然后是整个数学之间的联系，这个是必不可少了。 5、相似矩阵并且是对称矩阵,则合同6、 7、合同的冲要条件：同型的两个对称方阵，正负惯性指数相等，也就是特征值里边正负个数一样相似的冲要条件哪本书上也没有，超纲了，不要求的，因为本身就比较复杂，书上只有必要条件，有那么六七个等价的冲要条件：同型矩阵之间，秩相等，也就是通过一系列行列初等变换，两个能互相变化得到合同和相似都可以=等价；相似+对称方阵=合同；合
5、同+特征值的具体数值相等=相似。这三个总体上相似要求最高，合同次之，等价最低。但合同要求对称是相似不要求的，其他合同有的特点相似都有。（好像某处有些错误）8、两个矩阵如果可以用初等变换互相转化，等就称他们等价。矩阵等价的充要条件是它们类型相同，并且秩相等9、实对称矩阵合同的充要条件是他们有相同的正负惯性指数矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元
6、素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A)例如下列矩阵的秩分别为2、3、4、例题求矩阵秩及秩()解所以，秩(A)=3所以，可以证明：对于任意矩阵A，；矩阵的秩是唯一的。问题：矩阵：的秩等于4？对否，为什么？满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）设A是n阶矩阵，若秩(A)=n，则称A为满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）重要定理二定理9.2任何满秩矩阵都
7、能经过初等行变换化成单位矩阵。例3阶矩阵A的秩：秩(A)=3，所以A是满秩矩阵。练习P329,练习9.54.设解：对A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行
8、遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与A是等价的.iji （下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“ ， ”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“ + k”. ， 例如，矩阵 A = k +k （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位
9、阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即( A , I )( I , ) 例1 设矩阵 A = 求逆矩阵 . 解 因为+(-1)+(-2)A , I = +(-1)+(-1) + (1/2)+ 所以 = 所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确. 对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵 A , I 进行初等行变换的过程中，如果 A , I 中的
10、左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果 A , I 中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的. 例2 设矩阵 A = ，问A是否可逆？ 解 因为 A , I = A , I 中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆. （下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.） 例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B = 解 思路 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘，可得AX = B， X = B 因此，先用初等
11、行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X . 因为 A , I = 所以 A可逆，且 = X = B = = 三、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一矩阵的秩来判别方阵A的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.
12、 例4 设矩阵 A=取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式 称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式. 定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A ) . 规定：零矩阵O的秩为零，即= 0. 例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 = 2 . 例5 设A为n阶非奇异矩阵，求. 解 由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故 = n . 例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若= n，则A必为非奇异的. 因此n阶方阵A为非奇异的等价于= n. 称= n的n阶
13、方阵为满秩矩阵. 用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的. 定理2.10 设A为矩阵，则= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵. 例如，阶梯阵A =， B =因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即= 2，= 3. 那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点. 定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材） 定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩. 例6 设矩阵A =， B = 求，. 解 因为 A = 所以 = 2 因为 B = 所以 = 3 因为 AB = = AB = 所以 = 2 由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩，即 . 例7 设矩阵 A =求和. 解 因为 A = 所以 =3同理可得 =3 由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性. 定理2.11 设A为mn矩阵，则 (1) ； (2) =