矩阵运算(完整版)实用资料.doc

《矩阵运算(完整版)实用资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵运算(完整版)实用资料.doc（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、矩阵运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）实验1 矩阵运算一 实验目的熟悉MATLAB软件中关于矩阵初等变换的方法以及矩阵运算的各种命令。二 实验内容与要求1. 启动与退出 双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口，即可输入命令，开始运算。单击File菜单中的Exit，或使用MATLAB命令退出。（1） 数的输入 a=5回车：a =5输入复数25i:b = 2.0000 - 5.0000i问题1.1：输入“a=5;”,回车后与上面有什么区别？在行尾加“；”，该行结果不显示；在行尾加“，”或加“，”或不加标点，该行结果显示。注意，在MATLAB中，标点符号

2、一定要在英文状态下输入！（2） 数组的输入 b=1,3,5,7,9,11 c=1:2:11 d=linspace(1,11,6)问题1.2：体会以上输入放有什么区别和联系。若b为在02pi之间均匀分布的22个数据c=（1.3，2.5，7.6，2，-3），d=(23,20,17,14,11,8,5,2),各用何种方法输入比较简单？(3) 矩阵的输入 A=2,3,5;1,3,5;6,9,4%行之间要用分号隔开A =2 3 5 1 3 56 9 4等待键盘输入命令格式为：m=input(请输入初始量，m=);请输入初始量，m=问题1.3：输入A（2，3），结果如何？输入A（7）又如何？体会以上输入的

3、结果，注意，数和数组可作为矩阵的特。注意： 变量名开头必须是英文字母，后面的字符可以是英文，数字和下划线，但不包含空格和标点；6.5版变量名最长可包含63个字符，以前的版本最多为31个字符；变量名，函数名对字母大小写是区分的。3矩阵的大小的测试和定位A=3，5，6；2，5，8；3，5，9；3，7，9；d=numel(A) %测试定矩阵A的元素，5.x版本没有此命令n,m=size(A) %测试A的行（n）,列（m）数结果为：d=12n=4m=3I,j=find(A3);%找出A中大于3的元素的行数注意： “%”后面是注释句，被忽略而不执行；对一个数组可用n=length(A),A若是矩阵，ng

4、 3出A的行，列数的最大值。4矩阵的块的操作A=(2,:); %取出A的第2行的所有元素A=(1,3,:); %取出A的第1，3行的所有元素A=(2:3,1:2) %取出A的2，3行与1，2列交叉的元素ans=2 53 5A（1，3，：）=A（3，1，：）；%将A的1行和3行互换问题1.4：如何将A的2，3列互换？A=(2,:)=4; %将A的第2行的所有元素用4取代A(find(A=3)=-3; %将A中等于3的所有的元素换为-3A=(2,:)= %删除A的第2行ans=4 5 63 5 93 7 9reshape(A,2,6) %返回以A的元素重新构造的26维矩阵 自找个例子，熟悉数和数组

5、的各种运算，以及它们的各种函数值。 自找个例子，熟悉矩阵的加减乘除及其他运算，注意和点运算的区别。 输入一个矩阵，取出的第行第列的元素；取出的第，列的所有元素；让的第列和第列互换；删除的第列。 产生维的矩阵，产生维的随机矩阵，产生维的单位矩阵。 将的第行元素扩大倍，再增加后作为的第行元素。 输入任意矩阵，（它们的元素个数相等），命令（:）和（:）=会产生什么结果？ ，；，；，；，；，:，体会命令，所产生的结果，学习由小矩阵生成大矩阵的方法。四提高内容 1.多维数组的创建格式：cat(n,A1,A2,Am).说明：n=1和n=2时分别构造的1:2和1:2，都是二维数组，而n=3时都可以构造出三维

6、数组。【例1.2】 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A2-A1; A4=cat(3,A1,A2,A3)或用另一种原始方式定义A4(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A4(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 A4(:,:,3) = 0 2 4 -2 0 2-4 -2 02.张量积格式：kron(A,B)%A为mn矩阵，为pq矩阵，则为mpnq矩阵。说明：与的张量积定义为 C=AB=其中，AB与BA均为mpnq矩阵，但一般ABBA。【例 1.3 】 A=，B=，求AB。 A=1 2;3 4;B=1 2 3;4 5 6;7 8 9;

7、C=kron(A,B)C = 1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 363. 矩阵的范数格式：n=norm(A) %求矩阵A的普范数，等于A的最大奇异值。 n=norm(A,1) %求A的列范数（1范数），等于A的最大列之和。 n=norm(A,2) %求A的2范数，和norm(A)相同。 n=norm(A,inf) %求行范数（无穷大范数），等于A的最大数之和。 n=norm(A,for) %求矩阵A的Frobenius范数，AF =4.LU分解矩阵的三角分

8、解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，将A=LU。格式： L，U=lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X，L，U，P=lu (X) %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行边换满足LU=PX。【例1.4】 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; L,U=lu(A)L = 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0U = 7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000 L,U,P=lu(A)L = 1.0000 0

9、0 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000U= 7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000P=0 0 1 1 0 0 0 1 05. QR分解将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。格式：Q，R=qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。 Q，R，E=qr(A) % 求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式， R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。例15A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12;Q,R=qr(A)Q=-0.0776 -0.8331

10、 0.5456 -0.0478-0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704-0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975-0.7762 0.3124 0.3994 0.3748R=-12.8841 -14.5916 -16.29920 -1.0413 -2.08260 0 0ans=3 2 3 3 5 55 7 6 8 9 9A(4,5)=3;%扩大A的维数，A成为45矩阵，未定义元素为0 A(1:3、2:3),A(2:4、1:2);A,A(:、2) %由小矩阵构造大矩阵，注意行列维数的搭配 ans = 2 3 4 3 3 6 6 5 5 3 2 5 1 2 3

11、 2 4 3 6 3 6 5 3 5 2 5 0 5 diag(A、k); %抽取矩阵A的第k条对角线元素向量tril(A、k)； %抽取矩阵A的第k条对角线下面的部分triu(A、k)； %抽取矩阵A的第k条对角线上面的部分注意：“：”表示“全部”.5矩阵的翻转操作flipud(A); %A进行上下翻转fliplr(A); %A进行左右翻转rot90(A); %A逆时针旋转90o问题1.5：rot90(A,2)和rot90(A,-2)结果有区别吗？6.特殊矩阵的产生A=eye(n); %产生n维单位矩阵A=ones(n、m)；%产生nm维1矩阵A=zeros(n、m)；%产生nm维0矩阵A=

12、rand(n、m)； %产生nm维随机矩阵（元素在91之间）问题1.6：产生一个在区间10，20内均匀分布的4阶随机矩阵.randn(m、n)； %产生mn正态分布随机矩阵randperm(n); %产生1n之间整数的随机排列【例1.1】randperm(6)ans=3 2 1 5 4 6logspace(a、b、n)； %在（10a、10b）之间产生n个对数等分量diag(a、b、n); %产生以a、b、c、d、为对角线元素的矩阵hilb(n); %返回n阶hilbert矩阵，其元素为H（i、j）=1/（i+j-1） magic(n); %产生n阶魔方矩阵7.数的运算4+2;4*2;4/2;

13、 %右除2，等于24/2; %4左除2，等于0.543; %4的3次方sqrt(4); %4的算术平方根exp(3); %e的3次方，不能输成e3log(4); %4的自然对数，log10(4)是以10为底，log2(4)是以2为底8.矩阵的运算A，； %A的转置det(A); %A的行列式，A必须是方阵reank(A); %A的秩inv(A); %A的逆eig(A); %A的本征值 X,D=eig(A); %A的本征矢量X及本征值Dtrace(A); %A的迹，等于A的对角线元素之和3*A; %常数与矩阵相乘A+B; %A，B必须是同维矩阵，和3+A进行比较A-B; %A，B必须是同维矩阵，

14、和3-A进行比较A*B; %和A.*B进行比较 A/B; %（和A./B进行比较）AB; %（和A.B进行比较）A2; %A2相当于A*A（和A.2进行比较）注意：矩阵的加减乘除按相关规则运算，否则给出警告信息；“.*”，“./”，“.”，“.”称为点运算（或称数组运算，又称元素群运算），点运算是前后矩阵对应元素之间的运算。问题1.7：求出A的本征矢量和本征值，比较24（A必须是方阵）和2.A的区别.矩阵的其他运算和函数见表1.3.9.变量的存储与调用（1）存储save data a b c %将变量a,b,c存到data.mat文件中（2）调用 load data %data.mat文件中所

15、有变量加载到工作空间10列出工作空间所有变量whos %列出工作空间所有变量的变量名、大小、字节数、数组维数11.联机求助help sqrt %将显示出平方根sqrt命令的功能和使用方式五、练习和思考 熟悉MATLAB的启动和退出.表1。1基本的数学函数函数名 含义 函数名 含义sin/cos正弦/余弦函数asin/acos反正弦/反余弦函数tan/cot正切/余切函数atan/acos反正切/反余切函数sec/csc正割/余割函数aec/acec反正割/反余割函数sinh/cosh双曲正弦/双曲余弦函数asinh/acosh反双曲正弦/反双曲余弦函数tanh/coth双曲正切/双曲余切函数a

16、tanh/acosh反双曲正切/反双曲余函数sech/csch双曲正割/双曲余割函数asech/acsch反双曲正割/反双曲余割函数exp指数函数sqrt平方根函数log对数函数log10常用对数函数abs绝对值函数angle角相位函数imag复数虚部函数real复数实部函数conj共轭复数函数sign正负符号函数fix朝零方向取整ceil朝正无穷方向取整round四舍五入取整floor朝无穷方向取整rem求余函数mod求余函数（带符号）gcd最大公约数lcm最小公倍数perms排列nchoosek组合表1.2特殊变量与函数 函数名 含义 函数名 含义ans默认返回变量eps默认相对浮点精度n

17、argin函数输入变量个数nargout函数输出变量个数yarargin函数中输入的可选参数varargout函数中输出的可选参数i虚数单位pi圆周率inf无穷值nan不定值flnps浮点运算次数inputname输入参数名表1.3矩阵边换和矩阵函数 函数名 含义 函数名 含义flipud矩阵上下翻转fliplr矩阵左右翻转rot90矩阵旋转90diag产生或提取对角阵tril产生或提取下三角阵triu产生或提取上三角阵eye产生单位矩阵rand产生随机矩阵ones产生1矩阵zeros产生零矩阵linespace构造线性分布向量logspace构造对数分布向量det行列式的值eig矩阵的特征值

18、trice矩阵的迹inv矩阵的逆rref化行最简形null零空间矩阵及基本运算 ( 杜丽英 )l 教学目标与要求使学生理解矩阵的概念。熟练掌握矩阵加法、数乘、乘法转置及可逆矩阵的定义及它们满足的运算算律。l 教学重点与难点教学重点：矩阵的乘法运算；可逆矩阵定义。教学难点：矩阵的乘法。从变量线性变换的乘法引入矩阵乘法的定义。l 教学方法与建议在引入矩阵的概念时，通过几个引例说明矩阵在生产实践和日常生活中有广泛的应用。在讲矩阵的基本运算时使学生看到，有些运算与数的运算类似，有些则不然。特别是矩阵乘法不满足交换律，消去律等。用学生熟悉的变量线性变换引入矩阵的乘法会使其定义更直观，便于学生理解，对于矩

19、阵乘法不满足交换律、消去律除举例说明外，还需进一步说明有些幂指算律不成立，有零因子等。l 教学过程设计1. 矩阵概念的引入引例1：线性方程组的解取决于系数和常数项，线性方程组的系数和常数按原位置可排为一个数表引例2：某航空公司在A，B，C，D四个城市之间开辟了若干条航线，如图所示表示了四个城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接AB，从A指向B。某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有ABCDA0110B1010C1001D0100四个城市间的航班图情况也可用表格来表示，其中1表示有航班，0表示没有航班。某航空公司在A,

20、B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,引例3：甲、乙两人玩石头、剪子、布游戏，下面的表格反映甲的赢得情况，其中甲胜得1；甲输得 1；两人相同为0。乙石头剪子布石头01-1剪子-101布1-10甲2. 矩阵的定义(1)定义1：由个数排成行列的数表 用小括号或中括号将其括起来, 称为矩阵, 并用一个大写字母表示, 即 , 简记为. 称为的行列元素 称为方阵 称为实矩阵 称为行矩阵或行向量 称为复矩阵 称为列矩阵或列向量 (2)几个特殊矩阵 零矩阵：所有元素都是0 的矩阵. 即单位矩阵 ；数量矩阵对角矩阵 上三角形矩阵；下三角形矩阵例1： 设变量可由变量表示为 称之为

21、由变量到变量的线性变换, 它与矩阵 是一一对应的3. 矩阵的基本运算定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵 矩阵相等：设, 若 , 称.（1）线性运算：, 加法： 数乘： 负矩阵： 减法：算律：设为同阶矩阵, 为常数, 则有 例2 设, 满足, 求 解 （2） 矩阵乘法：引入：设有两个线性变换 （）（） 若想求出从到的线性变换，需将（）代入（），整理得 （）分别比较（）、（）、（）式的矩阵，线性变换（）称为线性变换（）与（）的乘积，相应的矩阵C称为矩阵A与B的乘积，即C=AB，或=定义：设 , 其中元素注 的列数 = 的行数。的行数 = 的行数；的列数 = 的列数 与的

22、先后次序不能改变例3 设 , 则 例4 , , 注 无意义 例5 , , 注 ；, , 但是算律： 结合律: 分配律: , 应用：设, , , 线性方程组的矩阵形式 线性变换的矩阵形式 （3）方阵的幂： , 为正整数，, 算律： 注 一般例6 , 求解： 可以利用数学归纳法证得：（4）逆矩阵定义：对于, 若有满足, 则称为可逆矩阵, 并把称为的逆矩阵。(或性质： 若为可逆矩阵, 则的逆矩阵唯一并且记的逆为 , 则 与都可逆，则可逆, 且 一般有规定：可逆, 定义, , 则有 , (,为整数) 例7 验证：与互为逆矩阵解： 由于 那么与互为逆矩阵。例8 求解方程组 ，其中解：由例7知，于是即方程

23、组的解为例9 设方阵与满足 ，试证 可逆。证：由，有，即 或 于是 则 可逆，且例10 证明当时，可逆，并且证： 因，令那么，同理，因此可逆，并且应用： (1) 阶线性方程组求解。 设， 若可逆，则 (2) 求线性变换的逆变换。 设， 若可逆， (3) 矩阵方程求解。 设可逆, 可逆, 且已知, 则 实验1 矩阵运算一 实验目的熟悉MATLAB软件中关于矩阵初等变换的方法以及矩阵运算的各种命令。二 实验内容与要求1. 启动与退出 双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口，即可输入命令，开始运算。单击File菜单中的Exit，或使用MATLAB命令退出。（3） 数的输入 a=5回车：a =

24、5输入复数25i:b = 2.0000 - 5.0000i问题1.1：输入“a=5;”,回车后与上面有什么区别？在行尾加“；”，该行结果不显示；在行尾加“，”或加“，”或不加标点，该行结果显示。注意，在MATLAB中，标点符号一定要在英文状态下输入！（4） 数组的输入 b=1,3,5,7,9,11 c=1:2:11 d=linspace(1,11,6)问题1.2：体会以上输入放有什么区别和联系。若b为在02pi之间均匀分布的22个数据c=（1.3，2.5，7.6，2，-3），d=(23,20,17,14,11,8,5,2),各用何种方法输入比较简单？(3) 矩阵的输入 A=2,3,5;1,3,

25、5;6,9,4%行之间要用分号隔开A =2 3 5 1 3 56 9 4等待键盘输入命令格式为：m=input(请输入初始量，m=);请输入初始量，m=问题1.3：输入A（2，3），结果如何？输入A（7）又如何？体会以上输入的结果，注意，数和数组可作为矩阵的特。注意： 变量名开头必须是英文字母，后面的字符可以是英文，数字和下划线，但不包含空格和标点；6.5版变量名最长可包含63个字符，以前的版本最多为31个字符；变量名，函数名对字母大小写是区分的。3矩阵的大小的测试和定位A=3，5，6；2，5，8；3，5，9；3，7，9；d=numel(A) %测试定矩阵A的元素，5.x版本没有此命令n,m=

26、size(A) %测试A的行（n）,列（m）数结果为：d=12n=4m=3I,j=find(A3);%找出A中大于3的元素的行数注意： “%”后面是注释句，被忽略而不执行；对一个数组可用n=length(A),A若是矩阵，ng 3出A的行，列数的最大值。4矩阵的块的操作A=(2,:); %取出A的第2行的所有元素A=(1,3,:); %取出A的第1，3行的所有元素A=(2:3,1:2) %取出A的2，3行与1，2列交叉的元素ans=5 56 5A（1，3，：）=A（3，1，：）；%将A的1行和3行互换问题1.4：如何将A的2，3列互换？A=(2,:)=4; %将A的第2行的所有元素用4取代A(

27、find(A=3)=-3; %将A中等于3的所有的元素换为-3A=(2,:)= %删除A的第2行ans=7 5 64 5 94 7 9reshape(A,2,6) %返回以A的元素重新构造的26维矩阵 自找个例子，熟悉数和数组的各种运算，以及它们的各种函数值。 自找个例子，熟悉矩阵的加减乘除及其他运算，注意和点运算的区别。 输入一个矩阵，取出的第行第列的元素；取出的第，列的所有元素；让的第列和第列互换；删除的第列。 产生维的矩阵，产生维的随机矩阵，产生维的单位矩阵。 将的第行元素扩大倍，再增加后作为的第行元素。 输入任意矩阵，（它们的元素个数相等），命令（:）和（:）=会产生什么结果？ ，；，

28、；，；，；，:，体会命令，所产生的结果，学习由小矩阵生成大矩阵的方法。四提高内容 1.多维数组的创建格式：cat(n,A1,A2,Am).说明：n=1和n=2时分别构造的1:2和1:2，都是二维数组，而n=3时都可以构造出三维数组。【例1.2】 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A2-A1; A4=cat(3,A1,A2,A3)或用另一种原始方式定义A4(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A4(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 A4(:,:,3) = 0 2 4 -2 0 2-4 -2 02.张量积格式：kron(A,B)%A为

29、mn矩阵，为pq矩阵，则为mpnq矩阵。说明：与的张量积定义为 C=AB=其中，AB与BA均为mpnq矩阵，但一般ABBA。【例 1.3 】 A=，B=，求AB。 A=1 2;3 4;B=1 2 3;4 5 6;7 8 9; C=kron(A,B)C = 1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 363. 矩阵的范数格式：n=norm(A) %求矩阵A的普范数，等于A的最大奇异值。 n=norm(A,1) %求A的列范数（1范数），等于A的最大列之和。 n=nor

30、m(A,2) %求A的2范数，和norm(A)相同。 n=norm(A,inf) %求行范数（无穷大范数），等于A的最大数之和。 n=norm(A,for) %求矩阵A的Frobenius范数，AF =4.LU分解矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，将A=LU。格式： L，U=lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X，L，U，P=lu (X) %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行边换满足LU=PX。【例1.4】 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; L,U=lu(A)L = 0.1429 1.0

31、000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0U = 7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000 L,U,P=lu(A)L = 1.0000 0 0 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000U= 7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000P=0 0 1 1 0 0 0 1 05. QR分解将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。格式：Q，R=qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。 Q，R，E=qr(

32、A) % 求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式， R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。例15A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12;Q,R=qr(A)Q=-0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478-0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704-0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975-0.7762 0.3124 0.3994 0.3748R=-12.8841 -14.5916 -16.29920 -1.0413 -2.08260 0 0ans=3 2 3 3 5 55 7 6 8 9 9A(4,5)=

33、3;%扩大A的维数，A成为45矩阵，未定义元素为0 A(1:3、2:3),A(2:4、1:2);A,A(:、2) %由小矩阵构造大矩阵，注意行列维数的搭配 ans = 2 3 4 3 3 6 6 5 5 3 2 5 1 2 3 2 4 3 6 3 6 5 3 5 2 5 0 5 diag(A、k); %抽取矩阵A的第k条对角线元素向量tril(A、k)； %抽取矩阵A的第k条对角线下面的部分triu(A、k)； %抽取矩阵A的第k条对角线上面的部分注意：“：”表示“全部”.5矩阵的翻转操作flipud(A); %A进行上下翻转fliplr(A); %A进行左右翻转rot90(A); %A逆时针旋转90o问题1.5：rot90(A,2)和rot90(A,-2)结果有区别吗？6.特殊矩阵的产生A=eye(n); %产生n维单位矩阵A=ones(n、m)；%产生nm维1矩阵A=zeros(n、m)；%产生nm维0矩阵A=rand(n、m)； %产生nm维随机矩阵（元素在91之间）问题1.6：产生一个在区间10，20内均匀分布的4阶随机矩阵.randn(m、n)； %产