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1、中考数学专题复习：二次函数与相似三角形存在性问题解题步骤：（1） 找对角（2） 分两类进行讨论例题1如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标2如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为(1)求抛物线的表达式；(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，设四边形的面积为，求的最大值；(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，为顶点的三角形与相
2、似？若存在，请求出点的坐标3如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与y轴交于点C，连接、 (1)求二次函数的函数表达式；(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线的函数表达式以及的值；(3)若点M在线段上（不与A、B重合），点N在线段上（不与B、C重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由4如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线(1)求该二次函数表达式；(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在对
3、称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，已知二次函数的图象与x轴交于和两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M在下方的抛物线上运动，求的面积最大值；(3)如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由6如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C(1)求的面积(2)点M在边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止设运动的时间为
4、t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与相似？(3)如图，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，三点，点P是直线上方抛物线上的一个动点(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大，求此时P点坐标及面积的最大值；(3)在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由8如图1，二次函数经过点和点，与y轴交于点C，点P
5、为抛物线上一动点，直线BP与抛物线的对称轴相交于点D，与y轴相交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)设点A关于直线PB的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，求直线的解析式；(3)如图2，连接，是否在x轴上存在一点Q，使以B，Q，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由9综合与探究如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线(1)求二次函数的解析式(2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积(3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由10如图，
6、二次函数的图象与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，并且，D是抛物线的一个动点，轴于点F，交直线于点E(1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式；(2)在点D运动的过程中，试求使以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标；(3)连接，在点D运动的过程中，抛物线上是否存在点D，使得以点D，C，E为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，请说明理由11已知：二次函数的图像与轴交于，与轴交于点，(1)求该二次函数的关系式；(2)求点的坐标，并判断的形状，说明理由；(3)点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理
7、由12已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线(1)求二次函数的解析式；(2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积；(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由13已知二次函数的图象经过点(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最
8、大值；(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由试卷第7页，共8页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EFy轴交BC于点F，过点D作DGEF于点G，证明DFGBCO，再证EDGCAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最
9、值的性质，即可得到答案；（3）CPD与DEF中，已有CDP=EDF，分两种情况讨论：DPCDEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）；DCPDEF先求tanDCP=tanACO=，过点B作BQCB交CP于点Q，过点Q作QMBO于点M，在RtCBQ中，证明OCBMBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）【详解】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得，解得，二次函数的解析式为：；（2）设BC的函数解析式为：y=mx+n，把点C（0，2）和B（3，0）代入，得，解得，B
10、C的函数解析式为：，过点E作EFy轴交BC于点F，过点D作DGEF于点G，GFD=BCO，BOC=DGF，DFGBCO，ACEP，DGAO，GDE=OAC，COA=EGD=90，EDGCAO，设GF=2k，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），EF=；当时，EF最大=，ED最大=EF=；（3）CPD与DEF中，已有CDP=EDF，分两种情况讨论：DPCDEF，点C与点F对应，PCD=EFD，CPEF，即P与O重合，点P坐标为（0，0）；DCPDEF，点E与点C重合，DEF=PCD，DEF=ACO，DCP=A
11、CO，tanDCP=tanACO=；过点B作BQCB交CP于点Q，过点Q作QMBO于点M，在RtCBQ中，CBO+MBQ=90，CBO+OCB=90，MBQ=OCB，COB=BMQ，OCBMBQ，BM=OC=1，MQ=BO=，点Q坐标为（2，），设CQ的关系为：，解得：，直线CQ的解析式为：，当y=0时，点P坐标为（，0），综上，点P坐标为（0，0）或（，0）；【点睛】本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略，2(1)(2)(3)存在，的坐标为或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由，即可求
12、解；（3）分、三种情况，分别求解即可【详解】（1）解：直线的表达式为，当时，得：，当时，得：，解得：，抛物线交轴于，两点，交轴于点，解得：，抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，设，抛物线交轴于，两点，当时，得：，解得：，又，即抛物线的图像开口向下，当时，有最大值，最大值为（3）存在，理由：，又，如图所示，连接，又，当点的坐标为时，；过点作，交轴与点，为直角三角形，又，即，解得：，；过点作，交轴与点，为直角三角形，又，即，解得：，此时点在轴上，不符合题意，舍去综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，为顶点的三角形与相似【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，
13、相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键3(1)；(2)，；(3)存在，【分析】（1）利用待定系数法，分别将、两点坐标代入二次函数表达式，列方程组求解即可；（2）利用配方法将二次函数一般式化简成顶点式，即可得顶点坐标；连接交轴于点，过点作于点，利用面积法列方程可求的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求的值即可；（3）利用相似三角形的性质可得：是直角三角形，且两条直角边之比为，可分三种情况，即分别假设三个角为直角，进行求解即可【详解】（1）解：将、代入，得二次函数表达式为；（2）由题意得， 二次函数的顶点式为，
14、二次函数的图像的顶点的坐标为设直线解析式为：，将、代入得：，解得：，的解析式为：，设直线与y轴交于E，过点C作点P，当时，点的坐标为，即，点是二次函数与轴的交点，当时，即，在中，解得：，在中，（3）存在与相似，是直角三角形，且，是直角三角形，且两直角边之比为1:2；分情况讨论如下：当时：时，设，则即解得：在中， 即，解方程得：，（舍），过点作轴交轴于点即解得：，点的坐标为；当时，同理可得：，在中， 即，解方程得：，（此时点与点重合，不合题意，故舍去），过点作轴交轴于点即解得：，点的坐标为；当时：过点作轴、轴于点、，由题意可得：设，则，即，解得即，即，解得：点的坐标为当时：由题意得：，即得，点的
15、坐标为此时点在线段之外，故此种情况不满足题意，舍去点N的坐标为：，【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，锐角三角函数以及相似三角形的存在性问题，要注意分类讨论，避免遗漏4(1)yx2x+2(2)存在，点M（0，2）或（0，）(3)存在，（，）或（，）或（，0）或（，2+）或（，2）【分析】（1）分别求出点A，点C的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；（2）以点M、O、B为顶点的三角形与相似，则或，根据正切值求解即可；（3）分、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可【详解】（1）对于，当时，即点，令，则，即点.抛物线的对称轴为直线
16、，则点，抛物线与x轴的另一个交点为设二次函数表达式为：，抛物线过点，则，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）存在，理由：在中，则，以点M、O、B为顶点的三角形与相似，或，或，即或，解得：或2，即点或；（3）存在，理由：根据题意对称轴，设点，由点A、C、P的坐标得：，当时，则，解得：，即点P的坐标为：或；当时，则，解得：，即点；当时，则，解得：，即点P的坐标为：或综上，点P的坐标为：或或或或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键5(1)；(2)27；(3)存在，点P的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的
17、解析式；（2）先利用待定系数法求出直线，进而得到，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，求出，进而求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点G的坐标，最后根据，即可求出的面积最大值；（3）过点E作轴，证明，根据点E坐标即可得到点P坐标；过点E作交轴于点P，证明，得到，再根据坐标的距离公式求出、的长，得到的长，进而得出的长，即可得到点P坐标【详解】（1）设抛物线解析式为，二次函数的图象经过、，解得：，抛物线解析式为（2）解：直线经过点，直线，直线与抛物线交于点E，联立，解得：或（舍），为定值，点M到直线决定的面积
18、，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，由平移的性质可知，直线，联立，整理得：，直线与抛物线仅有一个交点，解得：，解得：，当时，此时的面积最大，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，设直线与轴交于点G，令，则，解得：，的面积最大值为27；（3）解：存在，由（2）可知，直线的解析式为，当时， 如图，过点E作轴于点P，；如图，过点E作交轴于点P，综上所述，存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求
19、函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定和性质，坐标的距离公式等知识，解题过程注意分类讨论，题目难度较大6(1)6(2)或(3)存在，【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得、的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据相似三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得或；根据，可得点坐标；根据，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标【详解】（1）解：当时，即，当时，解得，即，；（2）若，如图1，即，解得；若时，如图2，即，
20、解得；综上所述：或；（3）如图3，若为对角线，即，；若为边，即，设，即，化简，得解得或当时，即；当时，即；综上所述：，【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出、的坐标是解题关键；（2）利用相似三角形的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用平行四边形的对边相等得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏7(1)(2)当P点坐标为时，的最大面积为8；(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线解析式，设，利用三角形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可；（3）设，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质
21、求解即可【详解】（1）解：，则设抛物线解析式为，把A、B两点坐标代入可得，解得：，抛物线解析式为；（2）解：点P在抛物线上，可设，过P作轴于点E，交直线于点F，如图，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为，当时，最大值为8，此时，当P点坐标为时，的最大面积为8；（3）解：设，分和两种情况，当时，即，解得，点的坐标为或；当时，即，解得，点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是方程思想的应用8(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）设与交于点M，根据对称的性质求出点
22、的坐标，可得M的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；（3）可得，以B，Q，P为顶点的三角形与相似分三种情况：当时；当时；当时，根据相似三角形的性质求解即可【详解】（1）解：二次函数经过点和点， ，解得 ，抛物线的解析式为：；（2）设与BP交于点M，连接，点A关于直线PB的对称点为，点和点，对称轴为直线，设的坐标为，点落在抛物线的对称轴上，设直线BM的解析式为y=kx+m，解得 ，直线的解析式为；（3）抛物线的解析式为：与y轴交于点C，点、点，C是等腰三角形，以B，Q，P为顶点的三角形与相似分三种情况：当P时，点P为抛物线上一动点，点Q在x轴上，点P与点C重合，点Q与点A重合，点P的坐标为
23、；当时，由抛物线的对称性得、交于对称轴上一点N，点C、P关于对称轴对称，点P的坐标为；当时，由抛物线的对称性得、交于对称轴上一点N，点C、P关于对称轴对称，点P的坐标为；综上所述，P的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用对称的性质求出点的坐标；（3）分当时；当时；当时三种情况，利用相似三角形的性质求解9(1)(2)；菱形的面积为(3)存在，点坐标为或，理由见详解【分析】（1）根据二次函数的对称轴，点，运用待定系数法即可求解；（2）如图所示（见详解），根据菱形的性质，可得
24、，根据对角线相互平分，可求出交点的坐标，由此可知点的横坐标，根据点在二次函数图像上，即可求解；（3）根据相似三角形的判定方法，分类讨论，当点与点重合时；当点不与点重合，由此即可求解【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，则，图像经过轴上的点，解得，则，二次函数的解析式为（2）解：二次函数的解析式为，如图所示，连接交轴于，平行四边形为菱形，且，的横坐标为，且点E位于抛物线第四象限内的图像上， 当时，即，点在第一象限，点的坐标为，即，即菱形的面积为（3）解：根据题意得，且，则，当点与点重合时，如图所示，；当点不与点重合时，如图所示，即，过点作轴，则，且是直角三角形，点在第一象限，点的坐标为，综上
25、所述，使得与相似，点坐标为或【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键10(1)，(2)D的坐标为或或；(3)存在，或【分析】（1）先求得，推出，利用待定系数法可求得二次函数的解析式，再利用待定系数法即可求得所在直线的解析式；（2）只要，此时以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，设点D的横坐标为t，则，得到，解方程即可求解；（3）分两种情况，当或时，以点D，C，E为顶点的三角形与相似，利用相似三角形的性质得到方程，解方程即可求解【详解】（1）解：令，则，由题意，将，代入，得，解得，二次函数的表达式为， 设线段所在直
26、线的表达式为，解得，所在直线的表达式为；（2）解：轴，只要，此时以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形设点D的横坐标为t，则，由，或，解之，得，当时，当时，当时，D的坐标为或或；（3）解：，只有当或时，以点D，C，E为顶点的三角形与相似，设，则，当时，如图，解得，此时，D点坐标为，；当时，如图，解得，此时，D点坐标为，综上，当以点D，C，E为顶点的三角形与相似时，点D的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式
27、，熟记二次函数的性质是解题的关键11(1)(2)是直角三角形，理由见解析(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）根据题中条件，利用待定系数法确定函数关系式，解二元一次方程组即可得到答案；（2）由（1）中所得函数表达式，令，解一元二次方程得到，再利用勾股定理的逆定理直接即可判定是直角三角形；（3）根据题意，分类讨论，利用相似三角形性质，根据平面直角坐标系中线段长成比例列方程求解即可得到答案【详解】（1）解：（1）二次函数的图像经过点、点，解得：，二次函数的关系式为；（2）解：是直角三角形理由如下：令，得，解得：，点的坐标为，是直角三角形；（3）解：点在第一象限，如图1所示：若，则有，设，则，点的坐
28、标为，把点代入，得：，解得：（舍去），点的坐标为，即；若，则，设，则，点的坐标为，把点代入，得：，解得：（舍去），点的坐标为，即；点在第二象限，如图2所示：若，则，设，则，点的坐标为，把点代入，得：，解得：（舍去），（舍去）；若，则，设，则，点的坐标为，把点代入，得：，解得：（舍去），（舍去）；综上所述：符合题意的点的坐标为或【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理的逆定理判定直角三角形、二次函数与相似三角形综合，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键12(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线具有对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解析式
29、即可（2）根据以及圆的相关性质，可知为等腰直角三角形，从而得出与的数量关系，列式求解即可（3）分4种情况画出图形，利用相似三角形的判定与性质求解即可【详解】（1）解：，对称轴为直线，由题意可知，解得，抛物线的解析式为（2）解：，又，为圆的直径，点坐标为，又平分，为等腰直角三角形，连接，则，D的坐标为，如图1，设与y轴交于点F，过D作垂直于y轴，（3）解：，由（2）知，如图2，当点P在点C的上方时，若，显然，和中不存在两个相等的角，即不可能相似；如图3，中不存在的角，所以和中不存在两个相等的角，即不可能相似；如图4，当点P在点C下方，时，；如图5，当点P在点C下方，时，；综上可知，P点坐标为或【
30、点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，数形结合是解题关键13(1)(2)存在，当时，面积的最大值为(3)的值为或【分析】把点代入解析式，求出的值，即可得到解析式；过点作于点，利用表示出的高，然后表示出的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；由，知与相似只需为直角三角形，分两种情况：当时，是等腰直角三角形，有，解得；当时，解得【详解】（1）把点代入得：，解得：，二次函数的表达式为：（2）过作于，如图： 在中，令得，令得，设运动时间为，则，即，当时，面积的最大值为（3）在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：，与相似只需为直角三角形，当时，如图： ，是等腰直角三角形，解得；当时，如图： 同理可知，解得，综上所述，的值为或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用答案第45页，共38页