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1、中考数学高频考点突破圆与相似三角形综合1如图1，在中，点在边上（点与点不重合），以点为圆心，为半径作交边于另一点，交边于点（1）求证：；（2）若，求关于的函数关系式并写出定义域；（3）延长交的延长线于点，联结，若与相似，求线段的长2如图，ABC内接于O，AB为O的直径，D为的中点，过D作DFAB于点E，交O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF（1）求证：BFGDCG；（2）若AC10，BE8，求BF的长；（3）在（2）的条件下，P为O上一点，连接BP，CP，弦CP交直径AB于点H，若BPH与CPB相似，求CP的长3如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4OA8），以O为圆心
2、，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作O的切线交边BC于N（1）图中是否存在与ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明（2）设DMx，OAR，求R关于x 的函数关系式；是否存在整数R，使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥底面周长为？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，CMN的周长如何变化？说明理由4如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作P交边AB于另一点D，EDDP，交边BC于点E（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD
3、=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若BDP与DAF相似，求线段AD的长5如图，在RtABC中，C90，O为斜边AB上一点，以O为圆心、OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE（1）请找出图中与ADE相似的三角形，并说明理由；（2）若AC3，AE4，试求图中阴影部分的面积；（3）小明在解题过程中思考这样一个问题：如图中的O的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在如图中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心O，并写出你的作图方法6如图，中，动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AC和射线BC的方向均以每秒1个单位的速度运动
4、，连接EF，以EF为直径作交射线BC于点M，连接EM，设运动的时间为_，_直接写出答案当点E在线段AC上时，用关于t的代数式表示CE，CM在整个运动过程中，当t为何值时，以点E、F、M为顶点的三角形与以点A、B、C为顶点的三角形相似7如图，二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边且OAOB),交y轴于点C，且经过点（m，9m）,E过A、B、C三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）求点E的坐标；（3）过抛物线上一点P（点P不与B、C重合）作PQx轴于点Q，是否存在这样的点P使PBQ和BOC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由8已知O是坐标原点，以
5、P(1，1)为圆心的P与x轴、y轴分别相切于点M和点N点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PEPF交y轴于点E设点F运动的时间是t秒（t0）（1）求点E的坐标（用t表示）；（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值（3）当t1时，作点F关于点M的对称点F点Q是线段MF的中点，连结QE在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得QOE与PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由9如图，已知AB是O的弦，OB=2，B=30，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD（1）AB= ；（2）当D=20时，求BO
6、D的度数（3）若ACD与BCO相似，求AC的长10如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限.（1）求点A、B两点的坐标.（2）当抛物线的对称轴与M相切时, 求此时抛物线的解析式.（3）连结AE、AC、CE，若求点E坐标；在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），以AB为直径在x轴的上方作半圆O，点C是
7、该半圆上第一象限内的一个动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使BC=CD，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、线段AC于点E、F，E为垂足，连结OF（1）当CAB=30时，求弧BC的长；（2）当AE=6时，求弦BC的长；（3）在点C运动的过程中，是否存在以点O、E、F为顶点的三角形与DEB相似？若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由12如图，在平面直角坐标系xoy中，以点M(1,-1)为圆心，以为半径作圆，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，二次函数的图象经过点A、B、C，顶点为E.（1）求此二次函数的表达式；（2）设DBCa，CBEb，求sin（ab）的值；（3）坐标轴上
8、是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由13已知，如图(a)，抛物线经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，2)，其顶点为D以AB为直径的M交y轴于点E、F，过点E作M的切线交x轴于点NONE=30，（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得ABP与ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AHAQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由14如图，AE切O于点E
9、，AT交O于点M，N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT=30，AE=，MN=（1）求COB的度数；（2）求O的半径R；（3）点F在O上（是劣弧），且EF=5，把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比15如图是一个量角器和一个含30角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE（1）求证：DECF；（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与ABC相似
10、，求OB的长；（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离16如图，BD为O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4（1）判断ABE与ADB是否相似，并说明理由；（2）求AB的长（3）求的正切值；17如图1，D是O的直径BC上的一点，过D作DEBC交O于E、N，F是O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，CP（1）求证：PA是O的切线；（2）若A30，O的半径为4，DM1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、
11、D、C为顶点的三角形与BFM相似，求DH的长度18如图，在平面直角坐标系中，点，以为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结，并延长至点D，使，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线于点E、F，点E为垂足，连结（1）当时，求弧的长度；（2）当时，求线段的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由试卷第7页，共8页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1（1）证明见解析；（2）；（3）或【分析】（1）首先得出BDE+PDA=90，进而得出B+A=90，利用PD=PA得出PDA=A进而
12、得出答案；（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y过点E作EHBD垂足为点H，构造RtEHB，所以，通过解RtABC知：，易得答案；（3）需要分类讨论：当DBP=ADF时即；当DBP=F时，即，借助于方程求得AD的长度即可【解析】解：（1）证明：EDDP，EDP=90，BDE+PDA=90，又ACB=90，B+PAD=90，PD=PA，PDA=PAD，BDE=B，BE=DE；（2）过点E作EHBD垂足为点H，由（1）知BE=DE，AD=y，BD=BA-AD=5-y，在RtEHB中，EHB=90，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，（3）如图，设PD=a，则，在等腰
13、PDA中，易得：，则在RtPDF中，PDF=90，当DBP=ADF时，即；解得a=3，此时，当DBP=F时，即，解得，此时，综上所述，若BDP与DAF相似，线段AD的长为或【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键2（1）见解析；（2）BF4；（3）PC17【分析】（1）证明BFCD，而BFGDCG，BGFDGC，则BFGDCG（AAS）；（2）证明OM是ABC的中位线，进而在RtBEF中，利用勾股定理求解即可；（3）证明ACPBCP45，在RtCBN中，CNBNBC12，而CABCPB，则tanCABtanCPB，即
14、可求解【解析】（1）D是的中点，则=,AB为O的直径，DFAB，=，=，BFCD，又BFGDCG，BGFDGC，BFGDCG（AAS）；（2）如图1，连接OD交BC于点M，D为的中点，ODBC，BMCM，OAOB，OM是ABC的中位线，OMAC5，=，=，OEOM5，ODOBOE+BE5+813，EFDE12，BF4；（3）如图2，弦CP交AB于点H，则点P与点C在直径的两侧，则CBPHBP，又CPBBPH，ACPBCP，AB是直径，则ACBAPB90，ACPBCP45，过点B作BNPC于点N，由（2）得AB26，在RtCBN中，CNBNBC12，CABCPB，tanCABtanCPB，即=，
15、故PN5，PCCN+PN5+1217【点评】此题属于圆的综合题，涉及了全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来3（1）见解析；（2）DM、；（3）在点O的运动过程中，CMN的周长始终为16，是一个定值【分析】（1）可以选择证明ODMMCN；（2）先利用勾股定理求出R关于x的表达式，再由R的取值范围，分别讨论求解；（3）根据ODMMCN，利用对应边成比例得出CN，同理得出MN，表示出CMN的周长，即可作出判断【解析】（1）MN切O于点M，OMN90，OMD+CMN90，CMN+CNM90，OMD
16、MNC，又DC90，ODMMCN（2）在RtODM中，DMx，设OAOMR，ODADOA8R，由勾股定理得：（8R）2+x2R2，6416R+R2+x2R2，4OA8，即4R8，当R5时，MOA超过1800，不符合，舍去，当R6时，MOA160，x0，同理当R7时，x（3）CMCDDM8x，且有ODMMCN，代入得到，同理，代入得到MN，CMN的周长为P（8x）+（x+8）16，在点O的运动过程中，CMN的周长始终为16，是一个定值【点评】考查了圆的综合，涉及了勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，综合的知识点较多，此类题目对学生的综合能力要求较高，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想的
17、运用4（1）见解析；（2）（3）若BDPDAF，线段AD的长为或【分析】（1）首先得出BDE+PDA=90，进而得出B+A=90，利用PD=PA得出PDA=A进而得出答案；（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y过点E作EHBD垂足为点H，构造RtEHB，所以，通过解RtABC知：易得答案；（3）需要分类讨论：当DBP=ADF时，即；当DBP=F时，即，借助于方程求得AD的长度即可【解析】（1）证明：EDDP，EDP=90BDE+PDA=90又ACB=90，B+PAD=90PD=PA，PDA=PADBDE=BBE=DE（2）在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4AB=5AD=y
18、，BD=BA-AD=5-y过点E作EHBD垂足为点H，由（1）知BE=DE，在RtEHB中，EHB=90，（3）设PD=a，则，在等腰PDA中，易得在RtPDF中，PDF=90，若BDPDAF又BDP=DAF当DBP=ADF时，即，解得a=3，此时当DBP=F时，即，解得，此时综上所述，若BDPDAF，线段AD的长为或【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键5(1)见解析;(2);(3)见解析.【分析】（1）BC为圆O的切线，连接OD，可推出EAD=ODA=DAC，由EDA=DCA=90，可推出AEDADC（2）根据
19、AEDADC，可得出AD的长度，再根据AED的三边比例关系，可推出AOD=120，再利用扇形面积减三角形的面积即可得到阴影部分面积（3）作BAC的角平分线交BC边于点D，过点D作BC的垂线交AB于点O（注：方法不唯一）【解析】解：（1）ACD与ADE相似，如图（1）所示，连接OD，O恰好与BC相切于点D，ODB=90，又C=90，ODAC，ODA=DAC，OD=OA，ODA=OAD，OAD=DAC，AE为O的直径，ADE=90，ADE=C，ACDADE（2）ACDADE，AD=2，AC=3，根据勾股定理得CD=，sinDAC=，DAC=EAD=ODA=30，AOD=120，SOAD=OA2=，
20、S=（3）如图2所示，作图方法：以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点H，以H、C为圆心，大于CH长为半径画弧，交于点G，连接AG，AG即为BAC的角平分线，AG与BC的交点即为点D以D为圆心，DC长为半径画弧，交BD于点C，以C、C为圆心，大于CC为半径画弧，分别交于点E、F，连接EF，EF即为CC的垂直平分线，EF与AB的交点即为点O【点评】本题考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径，以及相似三角形的性质及判定，发现相似三角形为解题关键6（1）10，；（2），；（3）当，10s或时，以点 E、F、M 为顶点的三角形与以点 A、B、C 为顶点的三角形相似【分析】先利用勾股定理计算出B
21、C，然后根据余弦的定义求的值；当点 E 在线段 AC 上时，根据题意，可知 ，则 ，利用圆周角定理得则可证得，利用相似比可表示出CM；讨论：当E点在线段 AC 上，先由，利用相似比可表示出，则，若时，利用相似比可求出舍去；若时，利用相似比可求得；当E点在线段AC的延长线上，若点F运动到C点时，易得；若点F移动到BC的延长线上，且，如图3，由，利用相似比可表示出，当，则，则当时，于是利用相似比可求出；当，则，则当时，利用相似比求得舍去，综上所述，当，10s或时，以点 E、F、M 为顶点的三角形与以点 A、B、C 为顶点的三角形相似【解析】，；故答案为10，；当点E在线段AC上时，根据题意，可知，
22、则，为直径，即，；，即，解得，当E点在线段 AC 上，若时，即，解得舍去；若时，即，解得；当E点在线段AC的延长线上，若点F运动到C点时，此时；若点F移动到BC的延长线上，且，如图3，即，当，则，若时，则，即，解得；当，则，若时，则，即，解得舍去，综上所述，当，10s或时，以点 E、F、M 为顶点的三角形与以点 A、B、C 为顶点的三角形相似【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质；会运用相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；会运用分类讨论的思想数学解决问题7（1）y=x2+2x-8（2）（-1，-）（3）（-8，40），（-，-），（-，-）【解析】分析：
23、（1）把代入解析式，得：，解这个方程可求出m的值；（2）分别令y=0和x=0，求出OA，OB，OC及AB的长，过点作轴于点,轴于点,连接，AE,设OF=GE=a,根据 ，列方过程求出a的值，从而求出点E的坐标；（3）设点P(a, a2+2a-8)， 则，然后分时和时两种情况，列比例式求出a的值，从而求出点P的坐标.解析：（1）把代入解析式，得： 解得：（舍去） （2）由（1）可得：，当时，;点A在点B的左边 ，当时，过点作轴于点,轴于点,连接，,则 ，设，则，在中，在中， ， ，解得： ， ； （3）设点，则，a.当时，即，解得：（舍去）；（舍去）； ， ；b.当时，即，解得：（舍去），； ，
24、；综上所述，点的坐标为：， 点评：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.8（1）E（0，1t）；（2）或；（3）存在：当t，t，t2+时，使得QOE与PMF相似【解析】试题分析：（1）连接PM、PN，由已知条件易证PMFPNE，由此可得NE=MF=t，则可得OE=t-1，结合点E在y轴的负半轴即可得到点E的坐标了；（2）在RtPFM中，易得PF=，结合OE=即可得到方程，解此方程即可求得对应的t的值；（3）由F(1t，0)，F和F关于点M对称可得F
25、(1t，0)，结合点Q是线段MF的中点可得Q(1t，0)，然后在1t2时，分OEQMPF和OEQMFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值；在当t2时，分OEQ MPF和OEQ MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值.试题解析：（1）如下图，连结PM，PN以P(1，1)为圆心的P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，PNE=PMF=MPN=90，NPE+EPM=EPM+MPF=90，NPE=MPF，又PM=PN，PMFPNE，NEMF=t，OE=t-1，E（0，1t）；（2）在直角PMF中，由PF=2OE得，解得或 （3）存在，理由如下；F(1t，0)，F和F关于点M对称，F(1t，0)，点Q是M
26、F的中点，Q(1t，0)，当1t2时，如图，有OQ1t，由（1）得NEMFt，OEt1当OEQMPF时， ， ，解得，t或t (舍去)；当OEQMFP时， ，解得，t或t (舍去)；当t2时，如图，有OQt1，由（1）得NEMFt，OEt1，当OEQ MPF， ，无解；当OEQ MFP时，； ，解得或（舍去）综上所述，当t，t，时，使得QOE与PMF相似点评：在解本题第3小题时，需注意：（1）要分（此时点Q点O的右侧）和（此时点Q在点O的左侧）两种情况分析讨论；（2）在上述两种情况中，又要分点Q对应点F和点Q对应点F两种情况分析讨论；即本体存在4种情况，解题时，不要忽略了其中任何一种情况.9(
27、1)2；（2）100；（3）.【解析】试题分析：（1）过点O作OEAB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得BAO=B，DAO=D，则可求得DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得DOB的度数；（3）由BCO=A+D，可得要使ACD与BCO相似，只能DCA=BCO=90，然后由相似三角形的性质即可求得答案试题解析：解：（1）过点O作OEAB于E，则AE=BE=AB，OEB=90OB=2，B=30，BE=OBcosB=2=，AB=故答案为（2）连接OAOA=OB，OA= OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D又B=
28、30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100；（3）BCO=A+D，BCOA，BCOD，要使ACD与BCO相似，只能DCA=BCO=90，此时BOC=60，BOD=120，DAC=60，DACBOCBCO=90，即OCAB，AC= AB=，若ACD与BCO相似，AC的长度为点评：本题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用10（1）（-4，0）、（4，0）（2）（3）；【解析】试题分析：(1)、连接AM，根据题意得出AM=5，OM=3，则OA=0B=4，求出点坐标；(2)、设出函数解析式，根据题意得c=8，将点B的坐标
29、代入找出b和a的关系式，求出直线的对称轴；根据切线的性质得出对称轴为x=5，求出a和b的值；(3)、根据ACO和CAE的正切值得出两个角相等，根据点A在对称轴上，则可得出对对称轴为直线x=4，求出a的值，然后求出顶点坐标.试题解析：(1)、连结M A，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，点A、点B的坐标分别是（-4，0）、（4，0）（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a0），c=8,0=16a+4b+8，b=-4a-2； 此时，y=ax2+（-4a-2）x+8（a0），它的对称轴是直线：x=；又抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与M相切，
30、则=-5，a=，b=，抛物线的解析式为(3)、在RtAOC中 tanACO=，而tanCAE=CAE=ACO，所以AECO，即点A在抛物线的对称轴上又y=ax2+（-4a-2）x+8，a=；E在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和ACE相似，点P的坐标为考点：(1)、二次函数的性质；(2)、圆的性质.11（1） ;（2） ；（3） E（,）【解析】试题分析：（1）直接根据A、B两点的坐标求出AB的长，连接OC，再根据CAB=30求出BOC的度数，由弧长公式即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出ABCDBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）设E（x，
31、y），由（2）知，2BC2=ABBE，BD=2BC，再分OEFDEB与FEODEB两种情况讨论即可试题解析：（1）点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），AB=10连接OC，CAB=30，BOC=60，（2）DEAB，DEB=AEF=90AB是O的直径，AC=90，DEB=ACB=AEFAFE=CFD，FAE=EDB，ABCDBE，BC=CD，解得BC=；（3）设E（x，y），2BC2=ABBE，即BC=，BD=2BC=2当OEFDEB时，OFE=DBE，AFE+EFC=180，DBE+EFC=180，AFE=DBE，OFE=AFE，AFEOFE，此种情况不成立；当FEODEB时，OFE
32、=BDE=FAE，FAEOFEBDE，则，即，y2=x2+5x，联立得，E（,）考点：圆的综合题12(1)；（2）；（3）P1（0，0），P2（0，），P3（9，0）.【解析】试题分析：（1）由M（1，-1）为圆心，半径为可求出A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1），把A、B、C三点代入二次函数解析式求出a、b、c的值即可；（2）在RtBCE中与RtBOD中可求出CBEOBDb，故sin（ab）sin（DBCOBD）sinOBC=；（3）存在，RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP2 RtBCE，得P2（0，），过C作CP3
33、AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），.试题解析：（1）M（1，-1）为圆心，半径为OA=1，OB=3，OC=3，OD=1，A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1）把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入二次函数y=ax2+bx+c解得：a=1，b=-2，c=-3 二次函数表达式为（2）过点E作EFy轴于点F可得点E为二次函数的顶点点E的坐标为OCB=ECF=45BCE=90在RtBCE中与RtBOD中，CBEOBDb， sin（ab）sin（DBCOBD）sinOBC（3
34、）显然 RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP2 RtBCE，得P2（0，）过C作CP3AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似考点:1.二次函数解析式；2.相似三角形的判定与性质13解：（1）圆的半径，连接EM，NE是M的切线，MENE在RtMNE中，ONE=30，MA=ME=4，EMN=60，MN=8OM=2OA=2，OB=6点A、B的坐标分别为（2，0），（6，0）抛物线经过点A、B两点，设抛物线的解析式为
35、，又抛物线经过点C(0，2)，解得抛物线的解析式为，即，抛物线顶点D的坐标为（2，）（2）如图，由抛物线的对称性可知：AD=BD，DAB=DBA若在抛物线对称性的右侧图象上存在点P，使ABP与ADB相似，必须有BAP=BPA=BPD设AP交抛物线的对称轴于D点，则D（2，）直线AP的解析式为 由解得：（舍去）P（10，8）过P作PGx轴于点G，在RtBGP中，BG=4，PG=8，由勾股定理，得PB=PA=8，PAPBBAPBPAABP与ADB不相似同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点在该抛物线上不存在点P，使得ABP与ADB相似（3）连接AF、QF，在AQF和AFH中，由垂径
36、定理易知：，AQF=AFH又QAF=HAF，AQFAFH，在RtAOF中，AHAQ16，即：AHAQ为定值【解析】试题分析：（1）由切线的性质和含30度角直角三角形的性质，求出点A、B的坐标，从而应用待定系数法求出抛物线的解析式，化为顶点式即可得到抛物线的顶点D的坐标（2）应用反证法分抛物线对称性的右侧和抛物线对称性的左侧两种情况说明在该抛物线上不存在点P，使得ABP与ADB相似（3）由垂径定理和相似三角形的判定和性质，可得，在RtAOF中，应用勾股定理可得，从而得出AHAQ为定值的结论14（1）30；（2）5；（3）6个，5：1【解析】试题分析：（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE
37、与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A相等，由A的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OEOC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的
38、值；（3）把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合，在EF的同一侧，这样的三角形共有3个延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由FDE为30，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比试题解析：（1）AE切O于点E，AECE，又OBAT，AEC=CBO=90，又BCO=ACE，AECOBC，又A=30，COB=A=30；（2）AE=，A=30，在RtA
39、EC中，tanA=tan30=，即EC=AEtan30=3，OBMN，B为MN的中点，又MN=，MB=MN=，连接OM，在MOB中，OM=R，MB=，OB=，在COB中，BOC=30，cosBOC=cos30=，BO=OC，OC=OB=，又OC+EC=OM=R，R=+3，整理得：，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5，则R=5；（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：EF=5，直径ED=10，可得出FDE=30，FD=，则CEFD=5+10+=15+，由（2）可得CCOB=，CE
40、FD：CCOB=（）：（）=5：1EF=5，直径FG=10，可得出FGE=30，EG=，则CEFG=5+10+=15+，CEFG：CCOB=（）：（）=5：1考点：1切线的性质；2含30度角的直角三角形；3勾股定理；4垂径定理；5平移的性质；6旋转的性质；7相似三角形的判定与性质15（1）证明见解析（2）或4（3）3【解析】试题分析：（1）先作辅助线，连接OF，证明四边形OBCF是平行四边形，得出DECF；（2）利用相似比求OB的长，（3）由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离（1）证明：连接OF，AB切半圆O于点F，OF是半径，OFB=90，ABC=90，OFB=ABC，O
41、FBC，BC=OE，OE=OF，BC=OF，四边形OBCF是平行四边形，DECF；（2）解：若OBFACB，=，OB=，A=30，ABC=90，BC=OE=2，AC=4，AB=2又OF=OE=2，OB=；若BOFACB，=，OB=，OB=4；综上，OB=或4；（3）解：画出移动过程中的两个极值图，由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，A=30，ABO=30，BO=4，BE=2，点B移动的最大距离是线段BE的长为2考点：切线的性质；平行线的判定；相似三角形的判定与性质16（1）相似 （2） （3）【解析】试题分析：（1）根据条件证明ABC=D，又有公共角BAE=EAB，然后可证明ABEADB；（2）利用ABEADB得到对应边成比例，代入数值计算即可得出AB的值；（3）根据C=D，在RtADB求出