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1、 . . . . 2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如的函数叫二次函数；形如 的方程叫一元二次方程；形如的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数 当a0时，图像是：判别式，函数图像和x轴相交（如图3），有两个交点，设交点是， , 由图像可知，当自变量时，函数值零；当时，函数值零；当时，函数值零.对于一元二次方程有两个不相等的实数解是：;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：的解集是：判别式，函数图像和x轴相切（如图4），有一个切点，设切点是，由图像可知，当自变量时，函数值零；当时，函数值零;对于任意实数，函数值都不会零.对于一元二次方程有两个相等的实数解是：;对于一
2、元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：的解集是： 判别式，函数图像在x轴上方（如图5），由图像可知，当自变量时，函数值均零；即对于任意实数，函数值都不可能零.对于一元二次方程无实数解;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小解集要么为两根之外，要么为两根之具体地：设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为：或（两根之外）设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为： （两根之）注意：若不等式中，a,可在不等式两边乘转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述进行解一元二次不等式要结合二
3、次函数的图象，突出配方法和因式分解法基础练习一、解以下不等式1、3x2+5x-20 2、9x2-6x+103、x2-4x+50 4、-x2+x+10二、设A，B分别是不等式3x2+619x与不等式-2x2+3x+50的解集，试求AB,AB.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a0 2、9x2-6x+103、x2-4x+50 4、-x2+x+10二、设A，B分别是不等式3x2+619x与不等式-2x2+3x+50的解集，试求AB,AB.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a
4、0.基础自测1.以下结论正确的是（ C ）A.不等式x24的解集为x|x2B.不等式x2-90的解集为x|x3C.不等式(x-1)22的解集为x|1-x1+D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2,则不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx22.不等式0的解集是（ D ）A.（-,-1）B.C.（-,-1） D.3.已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是(C )A.B.C.D.4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)1对任意实数x成立,则( C )A.-1a1 B.0a2C.a D.-a5.A=x|(x-1)23x-7
5、，则AZ的元素的个数为0.例题讲解例1 解不等式(x2-9)-3x.解 原不等式可化为-x2+x2-3x, 即2x2-3x-70.解方程2x2-3x-7=0,得x=. 所以原不等式的解集为.例2 已知不等式ax2+bx+c0的解集为(,),且0,求不等式cx2+bx+a0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为(,)可得a0,，为方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可得a0,由得c0,则cx2+bx+a0可化为x2+0, 得=-0,由得=0, 、为方程x2+x+=0的两根.0, 不等式cx2+bx+a0的解集为.方法二 由已知不等式解集为(,),得a0,且，是ax2+bx+c=0的
6、两根， +=-,=,cx2+bx+a0x2+x+10()x2-(+)x+10(x-1)(x-1)00.0,x或x,cx2+bx+a0的解集为.例3 已知不等式0 (aR).(1)解这个关于x的不等式;(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值围.解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0.当a=0时,由-(x+1)0,得x-1;当a0时,不等式化为(x+1)0,解得x-1或x;当a0时,不等式化为(x+1)0;若-1,即-1a0,则x-1;若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若-1,即a-1,则-1x.综上所述,a-1时,解集为;a=-1时,原不等式无解;-1a0时,解集为;a=0时
7、,解集为x|x-1;a0时,解集为.(2)x=-a时不等式成立,0,即-a+10,a1,即a的取值围为a1.例4已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1，+）时，f(x)a恒成立，求a的取值围.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a, 当a(-,-1)时，结合图象知, f(x)在-1，+）上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina,即2a+3a,解得a-3,又a-1,-3a-1; 当a-1，+）时，f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2a,解得-2a1,又a-1,-1a1.综上所述，所求a的取值围
8、为-3a1. 方法二 由已知得x2-2ax+2-a0在-1，+）上恒成立， 即=4a2-4(2-a)0或, 解得-3a1. 变式练习1.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)0的解集为，求关于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)0的解集.解(a+b)x+(2a-3b)0的解集是,于是a=2b0,b0,不等式(a-3b)x+(b-2a)0,即为-bx-3b0,亦即-bx3b,x-3.故所求不等式的解集为x|x-3.2.解关于x的不等式0 （aR）.解0(x-a)(x-a2)0,当a=0或a=1时，原不等式的解集为；当a0或a1时，aa2，此时axa2;当0a1时，aa2，此时a2xa.
9、综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa;当a=0或a=1时，原不等式的解集为.3.函数f(x)=x2+ax+3.(1)当xR时,f(x)a恒成立,求a的围;(2)当x-2,2时,f(x)a恒成立,求a的围.解 (1)xR时,有x2+ax+3-a0恒成立,须=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120,所以-6a2.(2)当x-2,2时,设g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三种情况讨论(如下图):如图(1),当g(x)的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有=a2-4(3-a)0,即-6a2.如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x-2
10、,+)时,g(x)0,即即解之得a.如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0,即即-7a-6综合得a-7，2.练习作业一、选择题1.函数y=的定义域是（ A ）A.-,-1）（1，B.-,-1（1，）C.-2,-1）（1，2D.（-2,-1）（1，2）2.不等式0的解集是（ C ）A.（-2,1）B.（2，+） C.(-2,1)(2,+)D.(-,-2)(1,+)3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0对任何实数x恒成立，则实数m的取值围是( C )A.m1B.m-1 C.m-D.m1或m-4.若关于x的不等式：x2-ax-6a0有解且解的区间长不超过5个
11、单位，则a的取值围是( D )A.-25a1B.a-25或a1 C.-25a0或1a24D.-25a-24或0a15. （10年全国高考（第2套试题第5题）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）6.不等式组的解集为（ C ）A.x|-1x1 B.x|0x3 C.x|0x1 D.x|-1x3二、填空题7.若不等式2xx2+a对于任意的x-2，3恒成立，则实数a的取值围为.答案 (-,-8)8.已知x|ax2-ax+10=,则实数a的取值围为.答案 0a4三、解答题9.解关于x的不等式56x2+ax-a20.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0,即0.当-,即a0时,-x;当-=,即a
12、=0时,原不等式解集为;当-,即a0时, x-.综上知:当a0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为.10.已知x2+px+q0的解集为，求不等式qx2+px+10的解集.解x2+px+q0的解集为,-,是方程x2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得,不等式qx2+px+10可化为-,即x2-x-60,-2x3,不等式qx2+px+10的解集为x|-2x3.11.若不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的所有m都成立，求x的取值围.解 方法一 原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)0.令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2m2).则
13、解得x.方法二 求已知不等式视为关于m的不等式，（1）若x2-1=0，即x=1时，不等式变为2x-10,即x,x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x2-10时，使m对一切|m|2恒成立的充要条件是2,1x.(3)当x2-10时，使m对一切|m|2恒成立的充要条件是-2.x1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为.12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x(-2,6)时，其值为正，而当x(-,-2)(6,+）时，其值为负.（1）数a,b的值与函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，,f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k0时，若F(x)的值恒为负值，则有,解得k-2.17 / 17