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1、课时跟踪检测(五十)空间向量的应用(分、卷，共2页)第卷：夯基保分卷1(2013石家庄模拟)如图，已知三棱柱ABC A1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.(1)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由2(2014浙江联考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1.(1)求证：平面DAF平面C
2、BF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60？3(2014福州质检)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCCF，AD，EF2，BE3，CF4.(1)求证：EF平面DCE；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60.第卷：提能增分卷1(2013荆州模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB3，AD6，BD是对角线，过点A作AEBD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB.(1)求证：PO平面ABCE；(2)求二面角EAPB的余弦值2(2014武汉模
3、拟)如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin 的最大值3(2014北京西城二模)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由答 案第卷：夯基保
4、分卷1解：(1)证明：连接AC1，BC1，则AC1A1CN，ANNC1，因为AMMB，所以MNBC1.又BC1平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O点，连接AO，因为平面BCC1B1底面ABC，所以B1O平面ABC，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0，)由，可求出A1(1，)，C1(2,0，)，设点P(x，y，z)，.则P，(1,0，)设平面B1CP的法向量为n1(x1，y1，z1)，由，令z11，解得n1.同理可求出平面ACC1A1的法向量n2(，1，1)由平面B1CP平面ACC1A1，得n1
5、n20，即310，解得3，所以A1C13A1P，从而C1PPA12.2解：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，又BFCBB，AF平面CBF.AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF，FB为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H.已知AB2，EF1，则AH.在RtAFB中，根据射影定理得AF2AHAB，AF1，sinABF，ABF30.直线AB与平面CBF所成
6、角的大小为30.(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)设ADt(t0)，则点D的坐标为(1,0，t)，C(1,0，t)，又A(1,0,0)，B(1,0,0)，F，(2,0,0)，设平面DCF的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10.即，令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知AF平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2，依题意，n1与n2的夹角为60.cos 60，即，解得t.因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60.3解：(1)证明：在BCE中，BCBE，BCAD，BE3，EC2，在
7、FCE中，CF2EF2CE2，EFCE.由已知条件知，DC平面EFCB，DCEF，又DC与EC相交于C，EF平面DCE.(2)如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C xyz.设ABa(a0)，则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，3,0)，F(0,4,0)，从而(，1,0)，(0,3，a)设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得取x1，则y，z，即n.不妨设平面EFCB的法向量为(0,0，a)，由条件得|cosn，|，解得a.所以当AB时，二面角AEFC的大小为60.第卷：提能增分卷1解：(1)证明：由已知得
8、AB3，AD6，BD9.在矩形ABCD中，AEBD，RtAODRtBAD，DO4，BO5.在POB中，PB，PO4，BO5，PO2BO2PB2，POOB.又POAE，AEOBO，PO平面ABCE.(2)BO5，AO2.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，A(2，0,0)，B(0,5,0)(2，0，4)，(0,5，4)，设n1(x，y，z)为平面APB的法向量则即取x2得n1(2，4,5)，又n2(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，cosn1，n2，故二面角EAPB的余弦值为.2解：(1)证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2
9、,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)则(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则即令z1，则x2，y1，于是n(2，1,1)n0，n.又AM平面SCD，AM平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，则|cos |，即cos .平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.(3)设N(x,2x2,0)(x1,2)，则(x,2x3，1)又平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)，sin .当，即x时，(sin )max.3.解：(1)证明：取AB的中
10、点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.因为EODO0.所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin |cos，|，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：由，F，所以，(1,1,0)设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则有所以取a1，得v(1,1,2)因为v(1,1，1)(1,1,2)0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD，即点F满足时，有EC平面FBD.8