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1、专题7 二次函数与幂函数基础知识要夯实1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)5个常见幂函数的图象与性质函数yxyx2yx3yx1定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增在R上单调递增 在(0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式f(x)ax2bxc(a0)，图象的对称轴是x，顶点坐标是顶点式f(x)a(xm)2n(a0)，
2、图象的对称轴是xm，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是方程ax2bxc0的两根，图象的对称轴是x(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数.()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数.()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故y不是幂函数，(1)错.(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x，当小于a或大于b时，最
3、值不是，故(4)错.2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.4.(2020衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)x22x1 B.f(x)x21C.f(x)2x D.f(x)2x1【答案】A【解析】由存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x0.只有选项A中，f(x)x22x1关于x1对称.3.(必修1P44A9改编)
4、若函数f(x)4x2kx8在1，2上是单调函数，则实数k的取值范围是_.【答案】(，816，)【解析】由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x，所以要使f(x)在1，2上是单调函数，则有1或2，即k8或k16.5.(2020成都诊断)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为_.【答案】1【解析】由题意知，解得m1.核心素养要做实考点一幂函数的图象与性质1与函数y1的图象关于x轴对称的图象大致是()【答案】B【解析】y的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y1的图象可看作由y的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y1的图象关于
5、x轴对称后即为选项B.2.(2020银川一中模拟)幂函数 (mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1B0C1 D2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1m3.又从图象看，函数是偶函数，故m22m3为负偶数，将m0,1,2分别代入，可知当m1时，m22m34，满足要求3若a ，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbca Dba0)是增函数，ab .y是减函数，ac ，ba32a0或32aa10或a1032a，解得a0)，又f(0)0，得a1，所以f(x)(x1)21x22x.【思维升华】求二次函数解析式的方法考点三二次函数的图象与
6、性质(综合之翼巧贯通)考法(一)二次函数的图象及应用例1(1)(2020九江一中模拟)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()(2)(2020武威模拟)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的结论是()ABC D【答案】(1)A(2)B【解析】(1)若0a1，则ylogax在(0，)上是增函数，y(a1)x2x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足(2)二次函数yax2bxc的图象与x轴交于两点，b24ac0，
7、即b24ac，正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即1,2ab0，错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为直线x1知，b2a，又函数的图象开口向下，a0，5a2a，即5a0)对任意实数x都有f(2x)f(2x)，则()Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)0知f(x)minf(2)，由2142，得f(1)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(，1)【解析】f(x)2xm等价于x2x12xm，即mx23x1在1,1上恒成立，因此只需m0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0 Db0)，已知f(
8、m)0 Df(m1)0，所以f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0，所以f(m1)f(0)0.3设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由题意得a对1x0，解得m1.2二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且函数的最大值是5，则该函数的解析式是()Af(x)2x28x11 Bf(x)2x28x1Cf(x)2x24x3 Df(x)2x24x3【答案】D【解析】二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，则图象的对称轴为x1，又由函数的最大值是5，可设f(x)a(x1)25(a0)，于是3a5，解得a2，故f(x)2(x
9、1)252x24x3.故选D.3(2020洛阳一中检测)已知函数f(x)ax2bxc，若abc且abc0，则它的图象可能是()【答案】D【解析】由abc且abc0，得a0，c0，所以函数图象开口向上，排除A、C.又f(0)c0，所以排除B，故选D.4幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数【答案】C【解析】设f(x)xa，将点(3，)代入f(x)xa，解得a，所以f(x)，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，)上是增函数，故选C.5逻辑推理若幂函数
10、yx|m1|与y (mZ)在(0，)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为()A0 B1和2C2 D0和3【答案】C【解析】由题意可得,解得m2，故选C.6数学抽象、逻辑推理已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()A0，) B(，0C0,4 D(，04，)【答案】C【解析】由f(2x)f(2x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x2，又函数f(x)在0,2上单调递增，所以由f(a)f(0)可得0a4，故选C.7数学运算已知点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf(ln )，cf，则a，b，c的大
11、小关系为()Aacb BabcCbca Dbac【答案】A【解析】因为点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，所以8(m1)mn，且m11，解得m2，n3.所以f(x)x3，且f(x)是增函数因为1ln ，所以fff(ln )，即acb，故选A.8多选题由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数yax2bxc的图象过点(1,0)，求证：这个二次函数的图象关于直线x2对称根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是()A在x轴上截得的线段的长度是2B与y轴交于点(0,3)C顶点是(2，2)D过点(3,0)【答案】ABD【解析】由已知得,解得b4a，c3a，所以二次函数为y
12、a(x24x3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(2，2)，故选A、B、D.9多选题已知函数f(x)|x22axb|(xR)，给出下列命题，其中是真命题的是()A若a2b0，则f(x)在区间a，)上是增函数B存在aR，使得f(x)为偶函数C若f(0)f(2)，则f(x)的图象关于x1对称D若a2b20，则函数h(x)f(x)2有2个零点【答案】AB【解析】对于选项A，若a2b0，则f(x)|(xa)2ba2|(xa)2ba2在区间a，)上是增函数，故A正确；对于选项B，当a0时，f(x)|x2b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a0，b2，函数f(x)|x22axb|化为f(x)|
13、x22|，满足f(0)f(2)，但f(x)的图象关于x1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2b20，即a2b2，则h(x)|(xa)2ba2|2有4个零点，故D错误10已知f(x)x2，g(x)，h(x)x2，当0xg(x)f(x)【解析】分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，可知h(x)g(x)f(x)11若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则实数a的取值范围是_【答案】(0,1【解析】因为f(x)x22ax在1,2上是减函数，所以a1，又因为g(x)在1,2上是减函数，所以a0，所以00，且14ab0，所以4ab1，且b0.故a4b22，当且仅当a4b
14、，即a1，b时等号成立所以a4b的取值范围是2，)13逻辑推理、直观想象已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足解得m0.14是否存在实数a2,1，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由【解析】f(x)(xa)2aa2，当2a1时，f(x)在1,1上为增函数，由,得a1(舍去)；当1a0时，由,得a1；当0a1时，由，得a不存在；综上可得，存在实数a满足题目条件，a1.15(2020马鞍山期末)已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)，求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围【解析】(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由a1，c0，得f(x)x2bx，从而|f(x)|1在区间(0,1上恒成立等价于1x2bx1在区间(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又x的最小值为0，x的最大值为2.所以2b0.故b的取值范围是2,0