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1、(2 0 23.12.09)经济数学基础学习辅导(二)(文本)顾静相:现在是经济数学基础本学期第二次复习辅导活动，欢迎大家参与！这次活动重要有两项内容，一是对本课程第二部分积分学和第三部分线性代数进行复习辅导，二是给出本课程的综合练习，希望这些内容对大家的学习有些帮助。一、积分学部分复习第1章 不 定 积 分1.理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：(1)什么是原函数？若函数F(x)的导数等于/(x),即F (x)=/(x),则称函数尸(x)是f(x)的原函数。(2)原函数不是唯一的。由于常数的导数是0 ,故F(x)+c都是f(x)的原函数(其中c是任意常数)。(3)什么是不定积分
2、？原 函 数 的 全 体2 x)+c (其 中c是 任 意 常 数)称 为/(x)的 不 定 积 分，记为J/(x)dx=F(x)+c(4)知道不定积分与导数(微分)之间的关系。不定积分与导数(微分)之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它自身;先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即(J f(x)dx)=f(x),d(j/(%)c k)=/(%)dx,J f,ix)dx=f(x)+c,j d/(%)=/(%)+c2.纯熟掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有(1)运用积分基本公式直接进行积分;(2)第一换元积分法(凑微分法)；(3)分部积分法,重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：幕函
3、数与指数函数相乘；幕函数与对数函数相乘；幕函数与正(余)弦函数相乘；第2章 定 积 分1 .了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：若/(x)是奇函数，则有J；f(x)dx=O若/(x)是偶函数，则有J：j(x)dx=2 /(x)dx=2J(x)c k2.纯熟掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有(1 )运用积分基本公式直接进行积分；(2)第一换元积分法(凑微分法)；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值(不要还原成原变量的函数).(3)分部积
4、分法,重要掌握被积函数是以下类型的定积分：基函数与指数函数相乘；塞函数与对数函数相乘；基函数与正(余)弦函数相乘；3.知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分。第3章 积 分 应 用1.掌握用定积分求简朴平面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般环节：（1）画出所围平面图形的草图；（2）求出各有关曲线的交点及边界点，以拟定积分上下限；（3）运用定积分的几何意义（即上述各式），拟定代表所求的定积分。2.纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。3.了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等;掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶
5、线性微分方程的解。邰照波:这些基本规定对这些学员来说只能从书上找到原样的，要应用可就有点难为他们了。顾老师出题时要手下留情呀。顾静相：当然，一般考题是比较容易的,难度不会超过作业。二、线性代数部分复习第1章 行 列 式1.了解或理解一些基本概念（1）了解阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解阶行列式性质，特别是：性 质1行列式D与其转置行列式。丁相等；性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号；性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）相应的元素上，则行列式的值不变.2.掌握行列式的计算
6、方法化三角形法:运用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。降阶法：运用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素,然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。3.知道克拉默法则.第 2 章 矩 阵1.了解或理解一些基本概念(1)了解矩阵和矩阵相等的概念；(2)了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；(3)理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；(4)了解矩阵秩的概念：(5)理解矩阵初等行变换的概念。2.纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；
7、3.纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。第 3 章 线 性 方 程 组1.了解线性方程组的有关概念:n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表达、系数矩阵、增广矩阵、一般解。2.理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理；纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解。三、课程综合练习一、单项选择题1 x1.若函数/(x)=-,g(x)=l+x,贝(2)=().XA.-2 B-l C-1.5 D.I.5对的答案:A2.下列函数中为偶函数的是().A.y=x2-x B.y=eA-exD.y=xsinx对的答案:D3.函数y=-的连续区间是(
8、).In(x-l)A.(1,2)U(2,+8)B.L 2)D(2,+8)C.(L+oo)D.L+co)对的答案:A李蓉:为什么是A,答案B的前面有中括号的定义与答案A区别是？顾静相:答案B左边的是方括号，表达能取到端点，在左端点处函数没故意义。4.曲线y=在点(0,1)处的切线斜率为(Vx+11).1A.-2B-42,(x +l)3对的答案：B5.设J/(x)dx=In r巴二+c,则/()=(X).A.ln|lnIn xB.xC.1-ln x-?-xD.ln 2 x对的答案：C6.下列积分值为0的是().A.xsinxdrJ-7T.X .-x.P e+e,B.J1-drcj：八*八 一“e
9、e,-dxD.f(cos x+x)dx2对的答案:C7.设A=(l2),3=(13),/是单位矩阵，则().A.-2 3-2 5B.-1-236C.-1 3-2 6D.-2 -23 5对的答案:A8.设 A,8 为同阶方阵，则下列命题对的的是().A.若则必有A=O 或 3 =0B.若 A B w O,则必有 AH0,3/0C.若秩(A)声O,秩(B)HO,则秩(A 8)NOD.(A B)T=A T 3 对的答案：B9.当 条 件()成立时，元线性方程组AX=b 有解.A.r(A)n B.r(A)=C.r(A)=D.b=O对的答案：D蒋玉兰：关于这题，上午我们一些辅导教师还在说难了点。由于按常
10、规思维学生就理解成了非齐次线性方程组了，所以容易错选成B。10.设线性方程组AX=人有惟一解，则相应的齐次方程组AX=O().A.无解 B.只有。解 C.有非。解 D.解不能拟定对的答案：B二、填空题1 .函数y=A/4-X2+厂1-j的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.k+i|应当填写：2,1)U(1,22 .假如函数y=/(x)对任意x i,小，当 xi/(X2)3.已知/(x)=l-理，当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，/(X)为无穷小量.X应当填写：x -04.过曲线y=e-2x上的一点(0,
11、1)的切线方程为.应当填写:y=2x+l5.若 J/(x)dv=F(x)+c,贝ij JeT/X e-)dr=.应当填写：一 P(eT)+c6.fe3AdA=_.J 0 0应当填写31 0 2 7.设A=a 0 3，当a=时,A是对称矩阵.2 3-1应当填写:08.设AB,C,均 为n阶 矩 阵，其 中B,C可 逆，则 矩 阵 方 程A+BXC=。的解x=.应当填写:8T(O A)CT9.设齐次线性方程组A,*,Xw=O的，且r(A)=，则其一般解中的自由未知量的个数等于.应 当 填 写:-r10.线性方程组AX=6的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为 1 2 0 1 0彳f0 4 2-1 10 0
12、 0 0 d+则当d=时，方 程 组 有 无 穷 多 解.应当填写：-1三 计算题1 .设 y=1 +3 1一 立,求 y (0).-x解：由于y=(ifl n(l -x)(1-X)2所以y (0)=I n(l-O)(i-o)22 .设 y =c o s V x -e-,求 d y.解:由于 y =-U s i n x+2xet2 5 y x所以,z s i n V x?，dy=(-7=-+2 x e )d x2yjX3 J(I n X +s i n 2%)d r.解：J(l n x +s i n 2 x)d x =x l n x-jd r +-J s i n 2 x d(2 x)=x(M x
13、-l)-g c o s 2 x +Cfe2 1 4 .f dxJ o x V l +l n xfe2 1 fe2 1解：.dx=/d(l +l n x)J1 x jl +I n x J l +l n xe2=2 jl +l n x =2(V 3-1)-1 2A1 0 25.设矩阵A=,B=01 -2 01 21 0 ,C=0 2-62-412 ,计算 r(8 A+C).22解：由 于B AT+C=001 2 Fl1 0 00 2 21-20-6 12 2-4 26 0=0-24 0-6 12 2-4 20 12 00 2且0BAT+C=201 20-02J|_00I0即所以 r(BA7+C)=
14、216.设矩阵A=-12-1解:由于 一121 -1-0 10 0所以-122-122013013100B010001,求A一 切.100-11401311-20 O-1 00 10 11 1-1-60 ol p1 0-0-4 1 01 0 0-4-3 1010-5-310 0 1 6 4-1-4 -3A-1=-5-36 4-4-3A-B-5-36 4苞11-11 T f1 2-15-5=-69+2七 0-1 0 1 0 01 0-5 -3 10 1 6 4-17.求线性方程组-再+尤2 -3%+2%=0的一般解.2%-x2+5X3-3X4=0解:由于系数矩阵1 0A=-1 12-12-11
15、p-3 2-0015-3J|_0-12-11-11-11 0 2-0 1-10 0 0-110所以一般解为x.-2 x,+x.3 4（其 中 与，5是自由未知量）x2=x3-x48 .当4取何值时，线性方程组X,+x2+x3=12xt+x2-4X3=A有解?并求一般解.解 由 于 增 广 矩 阵 一网+5 x3=112-11101-451211001-11166-122所以，当;1=0时，线性方程组有无穷多解,且一般解为:；二二2 5是 自由未知量)四 应用题1 .某厂天天生产某种产品q件的成本函数为C(g)=0.5 q 2+3 6 q +9 8 0 0 (元).为使平均成本最低,天天产量应为
16、多少?此时，每件产品平均成本为多少？解：由于 幻=辿=0.5 4+3 6 +幽2 0)q qc(q)=(0.5 q +3 6 +-)=0.5 j-q q令C(g)=0,即=0,得0 =1 40 ,%=-1 4 0(舍去).%=1 40是 亍)在其定义域内的唯一驻点,且该问题的确存在最小值.所以d=1 40是平均成本函数e )的最小值点，即为使平均成本最低,天天产量应为140件.此时的平均成本为C(1 40)=0.5 x l 40 +3 6 +=l 7 6 (元/件)1 402 .已知某产品的销售价格p (单位：元/件)是销量q(单位:件)的函数“=40 0 而总成本为C(q)=1 0 0(7
17、+1 5 0 0 (单位：元)，假设生产的产品所有售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？2解：由已知条件可得收入函数 R =pq=4 0 0 q-g2利润函数 L(q)=R(q)-Cq=40 0-(1 0 0(/+1 5 0 0)2=3 0 0 g _ 券 _ 1 5 0 0求导得 Z/(q)=3 0 0-q令U(q)=0得q =3 0 0 ,它是唯一的极大值点，因此是最大值点.3 0 02此时最大利润为 L(3 0 0)=3 0 0 x 3 0 0-1 5 0 0 =43 5 0 02即产量为3 0 0件时利润最大.最大利润是43 5 0 0元.3 .生产某产品的边际成本为C(x)
18、=8 x(万 元/百 台)，边际收入为R(x)=10 0-2x(万元/百台)，其中x为产量，若固定成本为10万元，问(1)产量为多少时，利润最大？(2)从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解(1)边际利润L(x)=R (x)C (x)=(10 0 -2x)8x =10 0 10 x o令Z/(x)=O，得 x =10(百台)又x =10是L(x)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(x)存在最大值，故x =10是 )的最大值点，即当产量为10(百台)时，利润最大。(2)利润的变化 L =L(x)dx=|J(100-1 0 x)d x.。=(1 0 0 x-5号 代=-2 0即从利润
19、最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20万元。张丹丹：经济数学基础与会计有什么关系？顾静相:经济数学基础是会计学科的基础课程。李小琴：请教一下老师这道题怎么做?求解下列微分方程的初值问题y,=e2X-y,y(0)=0顾静相:请问方程中e2X是指数函数吗，这是一个一阶线性非齐次方程,可以用教材中的公式求之。谭秀清：计算题以哪方面为主？顾静相：您可以看教学辅导栏目中的模拟试题。刘赛新：关于考试范围一一请问老师：今年的经济数学基础1 2 考试的应用题是考哪种类型的题？顾静相：教材、作业册、期末复习指导和这几年的模拟试题中的应用题。刘赛新：谢谢老师。几年考的应用题都是同一类型的题，并且都是20分顾静
20、相:是2 0 分。刘赛新:今年数学考试难吗？老师：您好!我觉得数学学习起来很吃力，老师能否告知今年的考试题型及所占分数比例，我想重点复习占分比较多的部分。顾静相:关于考试的具体情况请您看本课程的考核说明和近两年的模拟试题吧，您能知道题型和难度了。何静：数学有很多题目都不是很会，考试题目难度会不会很大？顾静相:还可以吧，建议您到教学辅导栏目中看近两年的模拟试题，您就会知道了。何静:今年考试的应用题重要是求哪方面的内容？顾静相:教材、作业册、期末复习指导和这几年的模拟试题中的应用题岑荣康:顾老师您好！请教考试复习问题一一期末考试的题型和考试重点与上学期有什么变化没有?如有，请您说明一下，可以吗?是
21、否还会有模拟试题？顾静相:题型和重点与上学期基本同样，模拟试题已经挂在教学辅导栏目中。岑荣康：谢谢您！顾静相:不客气。刘赛新：顾老师您好!请问今年的考试范围及题型，是不是很难？我个人觉得数学很难！顾静相:您可以看本课程的考核说明和近两年的模拟试题吧，能知道题型和难度了。邰照波:你好，顾老师。今年考试有微分方程的计算题吗？顾静相:没有微分方程的计算题。邰照波：非常感谢。顾静相:不客气。岑荣康：顾老师您好!应用题还是考利润最大和平均成本最低吗？其他考试点有何变化？顾静相:这不好说，您可以看近几年的模拟试题，再归纳一下。您就知道考试的重点了。刘赛新:谢谢老师,最近两年的我都看了，也试着做了一些题目，
22、觉得难度偏上。顾静相：那您的基础是比较差的，由于这两年的及格率是比较高的，您要好好复习，加油！刘赛新：谢谢老师的鼓励，我尽力加油！顾静相:祝您取得好成绩。刘赛新：老师:难道今年的考题和最近两年的考题大同小异？顾静相:题型和难度是基本同样的。何静:老师好！今年考试的范围重要是哪些，跟近两年的题目会有很大的区别吗？顾静相:重点可以看期末复习指导，题型和难度应当基本同样。唐敏：顾老师您好!请教问题!设y=lg 2 x d y=?顾静相:先求该函数的导数，再写出它的微分d y。刘慧芳:顾老师您好！请问今年计算题的范围是哪些？“不定积分”吗？顾静相：计算题有导数、积分、矩阵和方程组求解四种。刘慧芳：谢谢
23、顾老师！顾静相：不客气。邰照波：顾老师，今年考试，微积分计算题本期是否只考导数和积分，没有考极限和微分方程？顾静相：是的。刘赛新：用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。老师,这样的题型出考题时请尽量考虑我们基础比较差的同学，请手下留情。谢谢老师!！!顾静相：请不要太紧张，您只要把作业和模拟试题中的应用提做会了应当就可以了。刘赛新:多谢老师提醒。谢谢老师，您辛劳啦!学生心中有数啦。邰照波:顾老师,我们提问最多的就是关于考试的问题了。线性代数计算题往年只考了 2 个题，求逆矩阵和解线性方程组，今年也是这样吗？顾静相:是的，一般不会变的，按照作业和这两年的模拟试题复习吧。
24、刘田：请问顾老师!今年考试的题型有哪些？顾静相:与上一届同样，您可以看模拟试题。张启林：顾老师好!今天的文本挂网上吗？有模拟题吗？顾静相:张老师，您好！活动结束后一两天就会挂在网上，模拟试题已经挂在网上。艾慧：老师今年考试的题型会和往年的同样吗?我觉得经济数学这门课程比较难学，有什么更好的方法去学习它吗？顾静相：同样的。建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。瞿炜：顾老师，各位老师下午好。顾静相:瞿老师，您好!最近忙吗？江枫:经济数学基础学习辅导（二）顾静相：现在是活动的时间,欢迎您参与！杨先林
25、:顾老师好！顾静相:杨老师,您好!谢谢您这么关心我们的教学活动。周定:顾老师你好！请问顾老师今年的应用题考试范围是哪一块？顾静相：微分和积分的都有也许的，复习要全面。王惠书:顾老师下午好。顾静相：王老师您好！杨先林：考试题型与往届相同吧？顾静相:是的。易丹:请问老师，应用题会考什么样的题型呢?谢谢顾静相：考试题型与往年同样。杨先林:行考作业题目占期末考试题目70%吗？顾静相:仿佛不是吧，但作业一定要重视。宋琼:请问老师，为什么上课的时候我都懂，回家单独做就晕了？顾静相:您应当听完课立即复习，并及时做作业，巩固学到的知识。宋琼：谢谢老师，不管如何我会努力的。蒋玉兰：顾老师:您好!宁波电大前来报到
26、。不知什么因素，我自己的电脑一直进不去。折腾了半天，现在借同事的电脑上线。顾静相：蒋老师，辛劳了。蒋玉兰:今天上午，我们召开了全大市该课程的研讨会。各教学点辅导教师就本课程教学安排和实行进行了交流，对教学过程中存在的问题也进行了讨论，届时我整理一下，向顾老师报告。顾静相:太好了，请您务必发给我，谢谢。胡晶：顾老师好!本学期课程考试有没有新情况？顾静相:胡老师，您好!没有什么新变化，由于学校实行是卷库,这次的试卷以前就出好了。王惠书:顾老师你好，隐函数求导数或微分期末考试中出题吗？顾静相：现在一般不会考的。王惠书：谢谢顾老师。刘田：请问老师!今年的考试应用题，计算题所占的比例大约是多少？会有填空
27、题和选择吗?希望老师手下留情噢，作业本上好多题不会做。顾静相:关于考试题型您可以看模拟试题。胡晶：顾老师好!本学期考试有变化吗？王惠书:胡老师好。本学期考试没有变化王惠书：积分的几何应用掌握到什么限度？顾静相:按大纲规定吧。宋琼：老师,您好，刚学完微积分，这会要学线性代数了，好困难，基础差，怎么办?顾静相:建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。蔡美香:老师好,请问：考好多分及格？顾静相：6 0 分及格。罗莎：请问顾老师，我们立即就要考试了，重要考哪些方面的内容？一共有这么多书，有很多都还不是很
28、懂。顾静相：您看了考核说明了吗？请看一下就知道考试的范围了。王惠书：顾老师你的邮箱？我们写了一篇关于电大专科数学课程设立的设想，给您发过去，请您提意见。顾静相：罗莎：请问顾老师，考试重要有些什么样的题型？顾静相：请您看模拟试题吧。何静：老师，我觉得数学有点难度，出题目的时候请手下留情噢。顾静相:请您好好复习，要把作业的题都会做，考试不会太难的。尤观连：老师下午好!请问老师期未复习指导书的题考试会占5 0%吗？谢谢！顾静相：不能这么说吧，您可以把重点放在作业，模拟试题和期末复习指导上。黄华：请问顾老师，我们考试时有应用题吗?是跟第四次作业后面同样的吗？顾静相:有应用题题型，您可以看模拟试题。蔡美
29、香：老师好请问:选择题占好多分？顾静相：1 5 分。尤观连:老师：请问应用题是考利润最大还是最低平均成本?谢谢!顾静相:都有也许，都要复习。邓美兰：老师，下午好！一学期快要结束了！顾静相：您好！刘赛新：老师，刚才的题目还没讲完吧?请老师再辛劳一下！顾静相:没有时间了，过几天您从网上下载吧。付佑慧:顾老师,您好!我是黑龙江电大付佑慧。刚才我们参与了黑龙江电大宋有校长的离任审计会议，所以才来参与网教。顾静相:付老师,您好！李蓉:老师，你好!请问我们学了那么多的公式中,导数、极限、积分、不定积分和微分用的最多的公式是？顾静相:都很有用，应当都要掌握。王晓丹:请教老师一一不知道怎么输入公式，所以用附件方式传上来1 已 知f(x)=2 sinx2,求 y顾静相：用导数的乘法运算法则求解。王晓丹：请教老师计篝JM xcos时。顾静相:用分部积分法来求。彭宏：如何学懂数学？顾静相:建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。张玉婷:学的行微积分不明白，要怎么才干明白一下呀？顾静相:建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。顾静相：今天的活动到此结束，谢谢大家的参与。再见！