勾股定理中考真题汇总二.pdf

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1、勾股定理中考真题精选汇总二一、选择题1.（2 0 0 9 年山西省）如图，在 R t A A B C 中，ZA C B =9 0 B C =3,A C=4,A B 的垂直平分线D E 交 B C 的延长线于点E,则 C E 的长为（）【答案】B2.（2009年达州）图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形 E的面积是A.1 3 B.2 6 C.4 7 D.9 4E【答案】C3.（2 0 0 9 年湖北十堰市）如图，已知 R t A/B C 中，ZA C B=9 0,A C=4,B C=3,以2

2、8 边所在的直线为轴，将A A B C 旋转周，则所得几何体的表面积是（）.A.1 6 8-715B.24/r C.715D.1 2 万A4.（2009年湖州）如图，在正三角形A B C 中，D,E,F 分别是BC,AC,AB上的点,DEAC,EFAB,FDBC,则 DEF的面积与 ABC的面积之比等于（）A.1：3 B.2：3 C.G ：2 D.百：3【答案】A5.（2009年广西钦州）如图，A C A D,B C=B D,则 有（）A.4B垂直平分CDC.AB与 CD互相垂直平分B.CD垂直平分ABD.CD 平分NACB【答案】A6.（2009年衡阳市）如图2 所示，A、B、C 分别表示三

3、个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应 在（）A.A B 中点B.B C 中点C.A C 中点D./C的平分线与A B 的交点【答案】A7 .（湖北省恩施市）如图3,长方体的长为1 5,宽为1 0,高为2 0,点 B离点C的距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）A.5 7 2 1B.2 5C.1 0 7 5+5 D.3 58 .（浙江省丽江市）如图，已知 A B C 中，N A B C=9 01A B=B C,三

4、角形的顶点在相互 平 行 的 三 条 直 线11,h 上,且 3，2 之间的距离为2,加，3 之间的距离为3,则A C 的长是（A ）A.2A/17 B.2V 5 C.4 V 2 D.79 .（2 0 0 9 白银市）如图，。0的弦ZB=6,M是4 B 上任意一点，且。M最小值为4,则。的半径为（）【答案】A1 0.（2 0 0 9 年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间个小正方形拼成的大正方形.如图，是 “赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和 4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边

5、线）的概率是A.B.C._5D.1To24【答案】C11.（2009 白银市）如图，四边形 A B C D 中，A B=B C,/A B C=/C D 4=9 0 ,B E LA D 于点E,且四边形A B C。的面积为8,则 BE=（）A.2B.3C.2 V 2D.2A/3【答案】C1 3.（2009年烟台市）如图，等边 A B C 的边长为3,P 为 B C 上一点，且 B P=1,D为A C 上一点，若/小刃=6 0 ,则 C D 的长为（）A-IB-IC-ID-160【答案】B1 3.(2009年嘉兴市)如图，等腰 A B C 中，底边8 c =a,N A=3 6。，/A B C 的平

6、分线交4 c 于 D,N B C D 的平分线交B O 于 E,设则DE=()A.k2a B.Pa C.二 D.二1,2 .3【答案】A1 4.(2 0 0 9 泰安)如图，A A B C 中，D、E分别是B C、A C 的中点，B F 平分N A B C,交D E 于点F,若 B C =6,则 D F 的长是(A)2 (B)3 (C)-(D)4【答案】Bc15.（2009恩施市）如图，长方体的长为1 5,宽为1 0,高为2 0,点B 离点C 的距离为 5,只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,需要爬行的最短距离是A.5721 B.25C.10/5+5D.35【答案】B16.（2009

7、恩施市）1 6.如图6,。的直径A B 垂直弦CD于 P,且 P 是半径0B的中点，CD=6 cm,则直径AB的长是（）A.25/3cmB.30cm C.40cm D.4V3cm【答案】D17.（2009丽水市）如图，已知ABC中，ZA B C=9 0 B=B C,三角形的顶点在相互平行的三条直线/i，12,，3上，且3 之间的距离为2/2,上之间的距离为3,则AC的长是（）A.2V17 B.2A/5 C.472 D.7CA【答案】A1 8.（2 0 0 9年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.9 0【答案】B1 9.（2 0 0 9年滨州）如图

8、3,已知A B C 中，A B =1 7,A C=1 0,B C 边上的高 A D =8,则边B C的长为（)A.2 1B.1 5C.6D.以上答案都不对【答案】A2 0.(2 0 0 9武汉)9.如图，已知0是四边形A B C D内一点，O A=O B =OC,Z ABC=ZA D C =7 0 ,贝U/A D O+/D C O 的大小是()A.7 0 B.1 1 0 C.1 4 0 D.1 5 0【答案】D提示：Z B A O+Z B C O =Z A B O+Z C B O=Z A B C=7 0 ,所以NBOA+NBOC=360-140=220,所以NAOC=14021.(2009重庆

9、泰江)如图，点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上，且aAPO是等腰三角形，则点P的坐标不可熊是()A.(4,0)B.(1.0)C.(-2V2,0)D.(2,0)【答案】B22.（2009 威海）如图，AB=AC,BD=B C,若NA=40,则NABD 的度数是（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B23.(2009襄樊市)如图，已知直线NOCP=110。,且AE=A/，则N A等于(B)A.30 B.40 C.50 D.70解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识,:AB/CD,Z D C F =110,所以 NEFB=NDCF=110,ZAF=70,AE=A F,Z

10、E =ZAFE=70,ZA=40,故选 B。【答案】B24.（2009年贵州黔东南州）如图,B C=A D,则 NA 等 于（）在aA B C 中，A B=A C,点 D 在 AC上，且 BD=A.30 B.40 C.45 D.36【答案】D25.（2009 年温州）如图，4ABC 中，AB=AC=6,BC=8,AE 平分么 BAC 交 BC 于点 E,点 D 为AB的中点，连结D E,则aB D E 的周长是（）A.7+V5 B.10 C.4+2 M D.12【答案】B26.（2009年温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3c

11、m的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A.第 4 张 B.第 5 张C.第 6 张 D.第 7 张【答案】C27.（2009年云南省）如图，等 腰 的 周 长 为 2 1,底边BC=5,4B 的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则BEC的周长为（）A.13B.14C.15D.16【答案】A28.（2009呼和浩特）在等腰A B C 中，A B A C ,一边上的中线8。将这个三角形的周长分为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）二、A.7B.11C.7 或 11D.7 或 10填空题1.（2009年重庆市江津区）等腰三角形腰上的高与

12、另一腰的夹角为30。，腰长为4c m,则其腰上的高为cm.【答案】2 G2.（2 0 0 9 年泸州）如图1,在边长为1 的等边4 A B C 中，中线A D 与中线B E 相交于点0,则 O A 长度为.【答案】33.（2 0 0 9 年泸州）如图2,已知R t A A B C 中,A C =3,B C=4,过直角顶点C作C A i l A B,垂足为A i，再过A i 作A i C J B C,垂足为C i，过 C i 作 C 1 A 2 J _ A B,垂足为A 2,再过A 2 作A 2 c 2 _ L B C,垂足为C 2,，这样一直做下去，得到了一组12 5【答案】,5 44.（2

13、0 0 9 年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中A 6 =4米，/B A C =3 0 ,N C=9 0 ,因某种活动要求铺设红色地毯，则在段楼梯所铺地毯的长度应为.【答案】（2+2 V J）米.5.（2 0 0 9 年滨州）已知等腰 A 8 C 的周长为1 0,若设腰长为X,则x的取值范围是.【答案】2.5 x 5.6.（2009年四川省内江市）已知RQABC的周长是4 +4 百，斜边上的中线长是2,则 SAABC=_【答案】8（2 0 0 9 年黄冈市）1 1.在A A B C 中，A B A C,的垂直平分线与A C 所在的直线相交所得到锐角为5 0。，则 等 于 度.【答案】7 0

14、。或2 0 7.（2 0 0 9 年安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在 R t Z A B C 中，若直角边A C=6,B C=6,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 O【答案】7 68.(2009年湖南长沙)如图，等腰AB C中，A B A C ,A O是底边上的高，若AB-5cm,BC=6cm,则 A D =cm.【答案】4【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：B D ；B C=；x 6=3(c/n),在直角三角形ABD

15、中，由勾股定理得：A B2=B D2+A D2,所以，A D =A B2-B D2=152-32=4(c?)。9.(2009 襄樊市)在ABC 中，AB=A C =12cm,BC=6 c m,。为 BC 的中点，动点P从8点出发，以每秒1cm的速度沿6 fA f C的方向运动.设运动时间为f,那么当f=秒时，过。、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍.解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，当点 P 在 BA 上 时,BP=t,AP=12-t,2(t+3)=12-t+12+3,解得 t=7；当点 P 在 AC 上时，PC=24-t,t+3=2(2 4-t

16、+3),解得 t=17,故填7或17。【答案】7或1710.(2009年浙江省绍兴市)如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边h.如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为6 5 ,那 么 在 大 量 角 器 上 对 应 的 度 数 为。(只需写出0 90的角度).p【答案】50。11.（2009年娄底）如图6,已 知 是。的直径，PB是。的切线，P 4交。于C,ZB=3cm,PB=4cm,则 BC=.图612【答案】512.（贵州安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在RtaABC中，若直角边AC=6,

17、BC=5,将四个直角三角形中边长为6 的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_76_.13.（2009年浙江省湖州市）如图，已知在R t4A B C 中，ZACB=RtZ,4B=4,分别以AC,为直径作半圆,面积分别记为S,S2,则，+S2的值等于AB【答案】2Z14.（2009年宜宾）已知：如图，以R3ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为.9【答案】鼠15.（2009年长沙）如图，是。的直径，C 是。上一点，N8OC=44,贝 UNA的度数为.答案：22。16.（2009年长沙）如图，等腰A 8C中

18、，ABAC,A。是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,则 40=cm.答案：417.（2009年湖州）如图,已知在R tA B C 中，ZACB=RtZ,AB=4,分别以AC,8 c 为直径作半圆，面 积 分 别 记 为S2,则S+S2的值等于.【答案】2 兀18.（2 0 0 9 临沂）如图，过原点的直线/与反比例函数=-的图象交于M,N两点,X根据图象猜想线段MN的 长 的 最 小 值 是.【答案】2A/219.（2 0 0 9 年漳州）如图，在菱形A 8 C Z）中，ZA =6 0,E、/分别是AB、的中点，若E F=2,则菱形A BC。的边长是.【答案】42 0.（2 0 0 9

19、 年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为3 0,腰长为4 c m,则其腰上的高为 c m.【答案】2也21.（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A与甲、乙楼顶&C 刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是一米._ 乙?米/甲K米j-1米20米22.（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成4 5 角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m.【答案】2（73-V2）23.（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经

20、过4 个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4 个侧面缠绕圈到达点B,那么所用细线最短需要一cm.【答案】10,2V9+16/J2（或 J36+64/）24.（2009年邵阳市）如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2,则这外圆 锥 的 侧 面 积 为 （结果保留”）。【答案】2无25.（2009年云南省逸 图，在RtzMBC中，ZA C B=9 0,/B/C的平分线4 5交BC于点0,D E/A C,C E交A B于点E,M为B E的中点，连结C M.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是.（写出一个即可）【答案】MBD或4M D E或EAD

21、26.（2009辽宁朝阳）如图，AABC是等边三角形，点。是6 c边上任意一点，D E 1 A B于点E,_L A C于点尸.若B C =2,则。E+DF=.【答案】V3BAC三、解答题1.(2009年崇左)如图,在等腰梯形ABCD中，已知ADBC,AB=DC,AD=2,BC=4,延 长BC到E,使CE=AD.(1)证明：ABAD ADCE；(2)如 果A C L B D,求等腰梯形ABCD的 高DF的值.【关键词】在等腰梯形性质进行转化。【答案】(1)证明：/AD/BC,ZCD A=ZDCE.又,:四边形ABC。是等腰梯形，；.ABAD=ZCDA,ZBAD=NDCE.：AB=DC,AD=CE

22、,:.BADmXDCE.(2)-,-ADCE,AO8C,.四边形ACEO是平行四边形,AC/DE.AC I B D,：.DE 1BD.由(1)可知，ABAD/DCE,：.DE=BD.所以，BOE是等腰直角三角形，即NE=45,DF=FE=FC+CE.四边形ABC。是等腰梯形，而4。=2,8c=4,FC=.CE=AD=2：.DF=3.（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC中，ABAC,/8AC=4 0 ,分别以AB,A C为边作两个等腰直角三角形ABO和A C E,使NBA。=NCAE=90.(1)求NDBC的度数;(2)求证：BD=CE.BC【关键词】等腰三角形的性质【答案】(1)A A B

23、 D 是等腰直角三角形，N A 4 O =9 0 ,所以N A B D=4 5 ,A B=A C,所以N A B C =7 0 ,所以N C B D =7 0 0 +4 5 =1 1 5 .(2)A B=A C,Z B 4 O =N C 4 E =9 0,A D=A E,所以 B A D/A C A E,所以B D =C E.2.(2 0 0 9 年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(-8,0),直线B C 经过点8(-8,6),C(0,6),将四边形0 4 B C 绕点。按顺时针方向旋转a度得到四边形O A 5 C ,此时直线O A 、直线8 C 分别与直线B C

24、 相交于点P、Q.(1)四边形。4 B C 的形状是,当a =9 0 时，”的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；B Q如图2,当四边形加 附 的顶点 落在例正半轴时求 募 的值;如图3,当四边形O A B C 的顶点落 在 直 线 上 时，求 0 P 8 的面积.(3)在四边形。4 B C 旋转过程中，当0 a W 1 8 0 时，是否存在这样的点P和点Q,若不存在，请说明理由.【关键词】勾股定理【答案】解：（1）矩 形（长方形）；BP _ 4而 一，(2)：NPOC=NBOA,ZPCO=ZOAB=90,:COPsAAOB.=空，即 二JAB 0A 6 89 7：.CP=,BP=BC

25、-CP=.2 2同理 BCQSAXC。，,CQ BC nil CQ 10-6.-=-，即-=-,CQ BC 6 8CQ=3,BQ=BC+CQ=.BP _ 1在OCP和BAP中，ZOPC=NBPA,/6(不符实际，舍去).1,PC =B C +B P=9 +-4 6 ,2./-9-7 6,6如图2,当点P在点B右侧时,O P=PQ=B Q B P=x,P C=8 x.在R t P C O 中，(8-x)2+62=x2,解得x =.P C =B C-B P =S=-4 4.P 2 c综上可知，存在点1 9 g旗,6),鸟 一；,6),使=3.(2 009 年义乌)如图，在边长为4的正三角形A B

26、C 中,边向右作正三角形A D E。(1)求 A8C的面积S；(2)判断A C、D E 的位置关系，并给出证明。【关键词】正三角形【答案】A D 1 B C 于点D,以A D 为一解：(1)在正 4 5 C 中，A D =4 x =2也,2S BCx A D =x 4 x 2 3 =4y/3.2 2(2)A C.的位置关系：A C D E.在 COR 中，NC0E=9O ZAOE=30,ZCFD=180o-Z C-Z C D =180o-6 0o-3 0o=90,：.AC L D E.4.（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以 雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界

27、级自然保护区星斗山（8）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,4、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、8两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（A P与直线X垂直，垂足为尸），P到4、8的距离之和S1=PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是4,连接B A交直线X于点尸），P到A、B的距离之和其=PA+P 8.（1）求加、$2,并比较它们的大小;（2）请你说明S2=PA+P 8的值为最小;（3）拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，6到直线y的距离为3 0

28、 km,请你在X旁和y旁各修建一服务区P、Q,使、A、8、。组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.【关键词】勾股定理、对称、设计方案【答案】解:图10（1）中过B作BCJLAP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,AAC=30在 RtZsABC 中，AB=50AC=30 ABC=40B P=产 =4。收S i=4 0V 2 +1 0图1 0(2)中，过 B作 B C L A A 垂足为C,则A C =5 0,又 B C=4 0/.B A =V 4 02+5 02=IOA/41由轴对称知：P A=P A.,.S 2 =B A =1 0V 4 1二 S|S2(2 孜口图1 0(2),在公路上

29、任找一点M,连接MA,MB,MA，由轴对称知M A=MA.MB+MA=MB+MA A B.S 2 =B A 为最小(3)过 A作关于X轴的对称点A)过 B作关于丫轴的对称点B,连接A B,交X轴于点P,交丫轴于点Q则 P.Q 即为所求过 A 1、B，分别作X轴、丫轴的平行线交于点GA B =7 1 002+5 02=5 0V 5所求四边形的周长为5 0+5 0 M5.（2 009 年甘肃庆阳）（8分）如图1 4,在平面直角坐标系中，等腰R Q Q 4B 斜边O B 在y轴上，且。8=4.（1）画出 O A B 绕原点。顺时针旋转9 0后得到的三角形；（2）求线段O B 在上述旋转过程中所扫过部

30、分图形的面积（即旋转前后O B 与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）.4 x图 1 4【关键词】平面直角坐标系；旋转【答案】本小题满分8分解：（1）画图正确（如图）；（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是:-9-0-7 ix 4,2-=4”兀.3606.（2 0 0 9 年河南）如图所示，点 0是A。、8 c 的交点，点 E是A B 的中点.试判断O E和A B的位置关系，并给出证明.【关键词】等腰三角形的性质与判定【答案】0E 1A B.证明：在BAC 和 4B0 中,A C=B D,|N B A C=N A B D,A B B A.R 4c 丝ABD.：.ZO B A=ZO A B,：.O

31、A =O B.5L ：A E=B E,：.O E V A B.7.（2 0 0 9 泰安）如图所示，在直角梯形A B C D 中，NABC =9 0 ,ADBC,AB=BC,E 是 A B 的中点，C EBDo（1）求证：BE=A D；（2）求证：A C 是线段E D 的垂直平分线；（3）4 D B C 是等腰三角形吗？并说明理由。(4)【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形【答案】证明：（1）V Z ABC=9 0 ,BD1 EC,与N 3互余，/2与/3互余，.N1 =N2./ABC=NDAB=9 0 ,AB=ACA A B A D A C B EA AD=BE(2)是A B 中点，.

32、,.EB=EA由 AD=BE 得：AE=AD：ADBC，N7=NAC B=45 V Z 6 =45.N6=N7由等腰三角形的性质，得：EM =M D,AM I DEo即，A C 是线段E D 的垂直平分线。（3）A D B C 是等腰三角（C D=BD）理由如下：由 得：C D=C E由（1）得：C E=BD；.C D=BD.DBC 是等腰三角形。8.(2 0 0 9 年新疆)如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a,h,斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图.(2)证明勾股定理.【关键词】勾股定理的验

33、证【答案】方法-解：(1)如图(2)证明：.大正方形的面积表示为(a+匕)2,大正方形的面积也可表示为c2+4x ab,：.(a+b)2=c2+4x ab,a2+b2+2ab=c2+2ab,2 2a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.方法二解：(1)如图(2)证明：.大正方形的面积表示为：又可以表示为：abx4+(b-a)2,ccib x4+(b-ct),c2=2ab+b-2ab+，：.c2a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.9.(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以

34、8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.【关键词】勾股定理的应用【答案】在中，ZACB=90,4C=8,BC=6由勾股定理有：A6=1 0,扩充部分为RtZXACO,扩充成等腰ABA应分以下三种情况:如图1，当A8=A=10时，可求CO=C6=6,得A8D的周长为32m.如图2,当A3=8。=10时，可求CO=4,由勾股定理得：=得A8O的周长为(20+4后)m.如图3,当AB为底时，设AO=8。=x,则C。=x 6,由勾股定理得：X=上，得A3。的周长为吧m.3 3图1图2图310.(2 0 0 9白银市)如图13,A4CB和ECQ都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90

35、,。为AB边上一点，求证：(1)AACEABCD；(2)AD1+DB1 DE2.【关键词】全等三角形的判定、勾股定理【答案】2 7.证明：(1)NACB=4ECD,：.ZACD+ZBCD=ZACD+ZACE.即 ZBCD=ZACE：BC=AC,DC=EC,：.AACEQABCD(2)AAC8是等腰直角三角形，ZB=ZBAC=45.：ACE/BCD,：.ZB=ZCAE=45.ZDAE=ZCAE+ZBAC=45+45=90.AD2+AE2=DE2.由(1)知 AE=DB,11.(2009年衡阳市)如图，ZSABC中，AB=AC,AD、AE分别是NBAC和NBAC和外角的平分线，BEAE.(1)求证

36、：DA1AE；(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论.【关键词】等腰三角形、矩形【答案】解:（1）证明:AD平分NBACn NBAD=NBAC2AE平分NBAFnNBAENBAF.2ZBAC+ZBAF=180=ZBAD+ZBAE=-(ABAC+ZBAF)=-xl80=902 2=ZDAE=90=DA _ L 4E(2)AB=D E,理由是：AB=ACAD平分NBAC=AD 1BC=NAOB=90n 四边形AEB。是 矩 形AB=DEBEL AEV NAEB=90ZDAE=9012.（山东省临沂市）如图，A,B 是公路/（/为东西走向）两旁的两个村庄，4 村到公路/的距离AC=1 k m

37、,1村到公路/的距离8 D=2 k m,1村在4 村的南偏东4距方向上.（1）求出4,B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.解：(1)方法一：设A B与CO的交点为。，根据题意可得NA=NB =4 5。.AC。和8 0。都是等腰直角三角形.：.AO42,BO=2V2.A,6两村的距离为A6 =4。+6。=血+2&=3立 (k m).方法二：过点8作直线/的平行线交A C的延长线于E.易证四边形C O8 E是矩形，CE=BD=2.在R t Z X AEB中，由乙4

38、 =4 5。，可得8 =4 =3.AB=V32+32=3V2(k m)A 3两村的距离为3夜k m.(2)作图正确，痕迹清晰.作法：分别以点A 8为圆心，以 大 于 的 长 为2半径作弧，两弧交于两点M,N,作直线M N ；直线M N 交/于点P,点P 即为所求.13.（四川省泸州市）在某段限速公路B C上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过6 0千米/时（即 三 米/秒）,并在离该公路1 00米处设置了一个监测点A.在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y轴上，（7分测速路段B C 在x 轴上，点 B在 A 的北偏西6 0方向上，点 C在 A 的北偏东4 5 方向上，

39、另外一条高等级公路在y轴上，A O 为其中的一段.（1）求点B和点C的坐标；（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是1 5 秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据：V3 1.7）（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2 倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？解：在 R t AAOB 中，OA=1 00,NB AO=6 0所以 OB =OA t an Z B AO=1 00V3.R t AAOC 中,NC AO=4 5 所以 OC =OA=1 00,所以 B(-1 00V3,

40、0),C (1 00,0)(2)B C =B O+C 0=1 00+I 00,.-.1 0 Q+105 01 8 ,3所以这辆车超速了。(3)高大货车行驶到某一时刻行驶了 x米，则此时小汽四行驶了 2x米，且两车的距离为y =J(1 00 x)2+(1 00-2x)2=,5(x 6 0)2+2000当*=6 0时-，y有 最 小 值 是 亚 丽=20石 米，答：两四相距的最近距离为20石 米.1 4.(2009年里庆)作图，请你在下图中作出一个以线段Z B为一边的等边 A B C.(要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论)I_IA R1 9题图已知：求作：【关键词】等

41、边三角形，尺规作图【答案】解：已知：线段4 3.求作：等边 A8 C.作图如下：（注：每段弧各1 分，连接线段A C、8C各 1 分）15.（2 0 0 9 年电庆）已知：如图，在直角梯形/B C D 中，A D/B C,/4 B C=9 0 ,D E_ U C 于点凡 交 B C 于点G,交A B 的延长线于点E,且A E =A C.（1）求证：B G=FG；（2）若 4 O =O C =2,求 A B 的长.【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法【答案】（1）证明：.NA 8 C =9 0 ,DE上AC于点F,：.Z A B C =Z A F E .：A

42、C =A E,N E A F =N C A B ,：./A B C/A FE：.A B =A F .连接A G,A G=A G,A B=A F,R t A A B G 丝 R t A A F G .B G =F G .解：VAD=DC,DFAC,AF-AC-AE.2 2NE=30.NE40=NE=3O,:.AF=y3.：.AB=AF=/3.16.(2009年广西钦州)已知:如图2,。1与坐标轴交于A(1,0)点，点Oi的纵坐标为右.求。01的半径.【关键词】垂径定理、勾股定理【答案】解：过点a 作。C A B,垂足为C,贝 IJ 有=B C.、B(5,0)两由 A(1,0)、B(5,0),得

43、48=4,.C=2.在RtZXAOC中，：。1的纵坐标为 石，OiC=.二。01 的半径 014=ylotC2+AC2=J(V5)2+22=3.17.（2009年甘肃定西）如图13,ZkACB和ECC都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90 为力B 边上一点，求证：（1）Z A C E/B C D；C2）AD2+DB2 D E2.【关键词】全等三角形、勾股定理【答案】证明：（1）NACB=NECD,：.ZACD+ZBCD=ZACD+ZACE.即 ZBCD =ZACE.：BC=AC,D C=EC,：.4ACE名 ABCD.（2）,/AAC3是等腰直角三角形，ZB=ZBAC=45.：A C E

44、 dB C C,.ZB=ZCAE=45.ZD AE=ZCAE+ABAC=45+45=90.AD2+A E2=D E2.由（1）知 AE=OB,AD2+DB2=DE2.18.（2009年莆田）已知：等边A B C的边长为a.探 究（1）：如 图1,过等边4 5 C的顶点A、B、C依次作A 3、BC、C 4的垂线围成AM N G,求证：/XM NG是等边三角形且MN=6 a；探 究（2）：在等边AABC内取一点。，过点。分别作0D 1 AB.0E 1 BC.0FL C 4,垂足分别为点。、E、F.如 图 2,若点。是ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）

45、：结论 1.OD+OE+OF a；结论 2.AD+BE+CF；如图3,若点。是等边ABC内任意一点，则上述结论1、2是否仍然成立?如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.【关键词】等边三角形证明：如图1,ABC为等边三角形：.ZABC=60：BC 1 MN,BAL MG：.ZCBM=ZBAM=90ZABM=90-ZABC=30同理：NN=NG=60。.MNG为等边三角形.在 中，BMAB a 273-=-=-（Isin M sin 600 3在 RtZBCN 中，BN=-tanNa V3-二 c itan 600 3MN=BM+BN=y/3a(2)：结论1成立.（图2）证明；方法一：如图

46、2,连接AO、BO、CO由 =S&A O B +SGBOC+AAOC=aOD+OE+OF作A L 8C,垂足为H,则 AH=AC sin ZACB=axsin 60=2i i/S.AABKCr =-2B C-AH=2-a2a：.-a(OD+OE+O F -a a2 2 2：.OD+OE+OF a2方法二：如图3,过点。作G BC,分别交48、AC于点G、H,过点H作HM BC于点M,ZDGO=ZB=60,NOHF=NC=60:.AAGH是等边三角形GH=AHOE BC：.OE/HM.四 边形。EM”是矩形HM=OE在 RtAODG 中，OD=OGsin ZDGO=OGsin 60=OG2A在

47、RtaOFH 中，OF=OHsin NOHF=OHsin 60=OH2在 RtAHMC 中，HM=O sin C=O sin 60 HC2OD+OE+OFOD+HM+0F=也 也 拒 0G+HC+0H2 2 2%GH+H*与C当a(2):结论2成立.证明：方法一：如图4,过顶点A、B、。依次作边A3、BC、CA的垂线围成MNG,由(1)得MNG为等边三角形且MN=也a过点0分别作0 D U M N于D Q E 工NG于NG于点E,O F1 M G于点F由结论1得:X v 0D 1AB,AB 1 MG,OF 1 MG：.ZADO=ZDAF=ZOFA=90，四边形AOOF，为矩形OF=AD同理：O

48、D，=BE,OE=CF3AD+BE+CF=OD+OE+OF=-a方法二：（同结论1方法二的辅助线）B E M C（图 3）在中，FH=也。尸tan NOHF 3在RtZs/ZMC 中，HC=-=O EsinC 3：.CF=HC+FH=-O E +OF3 3同理：A D=-O F+OD,5 =OD+AD+BE+CF273 V3 273 G 2A/3 6-O F +OD+!OD+OE+!OE+OF=43(OD+OE+OF)由结论 1 得：OD+OE+OF=a2E C(图5)AD+BE+CF y 3 x-a -a2 2方法三：如图5,连接OA、OB、0 C,根据勾股定理得:BE2+OE2=OB2=B

49、D2+OD2CF2+OF2=OC2=CE2+OE2AD2+OD1=AO2=AF2+OF2+得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2：.BE2+CF2+AD2=(a-AO?+(a-BE),+(a-C F)2=a2-2AD a+AD2+a2-2BE a+BE2+a1-2CF a+CF2整理得：2a+3AD+BE+CF -a 12 分220.(2009年南充)如图8,半圆的直径AB=1 0,点C在半圆上，BC=6.(1)求弦AC的长；(2)若P为4B的中点，PEL 4 3交AC于点E,求尸的长.【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：A8是半圆的直径，点C在半圆上，NAC8=90.

50、在RtZABC1中，AC=yjAB2-BC2=V102-62=8(2)-PEAB,./P E =90.N4C8=90,ZAPE=ZACB.又 NPAE=NCAB,：.AEPABC,PE AP,BC-ACP E610 x-_28P E30 _1519.（2009年湖州）如图，在平面直角坐标系中，直线/:y=-2 x-8分别与x轴，y轴相交于4 8两点，点P（0,左）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作。尸.（1）连结P A,若PA =PB ,试判断。P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当上为何值时，以。P与直线/的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？【关键词】直线与圆的位置