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1、信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-1页电子教案电子教案第七章 系统函数 7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图二、系统函数与时域响应三、系统函数收敛域与极点的关系四、系统函数与频率响应7.2 系统的稳定性7.3 信号流图7.4 系统模拟一、直接实现二、级联实现三、并联实现点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-2页电子教案电子教案第七章 系统函数7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(.)的极点；B
2、(.)=0的根1，2，m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-3页电子教案电子教案例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有7.1 系统函数与系统特性信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-4页电子教案电子教案7.1 系统函数与系统特性二、系统函数H()与时域响应h()冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统H(s
3、)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面(a)若系统函数有负实单极点p=(0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke-t(t)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-5页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-6页电子教案电子教案7.1 系统函数与系统特性（3）在右半开平面：均为递增函数。综合结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为
4、稳态分量。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-7页电子教案电子教案7.1 系统函数与系统特性2离散因果系统H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z与s的对应关系，有结论：H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于0。H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均趋于。信号与系统信号与系统 西安电子科
5、技大学电路与系统教研中心第7-8页电子教案电子教案7.1 系统函数与系统特性三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义，H()收敛域不能含H()的极点。例：某离散系统的系统函数(1)若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k);(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解(1)|z|3，h(k)=(-0.5)k+(3)k(k)(2)|z|0.5，h(k)=-(-0.5)k-(3)k(-k-1)(3)0.5|z|3，h(k)=(-0.5)k(k)-(3)k(-k-1)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-9页
6、电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-10页电子教案电子教案7.1 系统函数与系统特性（2）最小相移函数右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。解释见p3362、离散因果系统若系统函数H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上(|z|=1)也收敛，有H(ej)=H(z)|z=ej，式中=Ts，为角频率，Ts为取样周期。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-11页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性7.2 系统的稳定性一、因果系统因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会出现于f(.)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是
7、：冲激响应h(t)=0,t0离散因果系统的充分必要条件是：单位响应h(k)=0,k0信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-12页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-13页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性（2）离散系统稳定的充分必要条件是若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。例1y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。(2)若为稳定系统，求h(k).解(1)为因果系统，故收敛域为|z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。(2
8、)若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-14页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-15页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/(s+1)(s+2)解：设加法器的输出信号X(s)X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=KG(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=
9、1/(s2+3s+2-k)H(s)的极点为为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k(3/2)2,k2，即当k2，系统稳定。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-16页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性例2：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围解：设加法器输出信号X(z)X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z)Y(z)=(2+z-1)X(z)=(2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)=(2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，故|a|1信号与系统信号与系统 西安电
10、子科技大学电路与系统教研中心第7-17页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-18页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性2、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列罗斯阵列第1行anan-2an-4第2行an-1an-3an-5第3行cn-1cn-3cn-5它由第1，2行，按下列规则计算得到：第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-19
11、页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性特例：对于二阶系统A(s)=a2s2+a1s+a0，若a20，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：212218028.502第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-20页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性例2已知某因果系统函数为使系统稳定，k应满足什么条件？解列罗斯阵列 1 32
12、31+k(8-k)/31+k所以，1k8，系统稳定。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-21页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性四、离散因果系统稳定性判断准则朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。朱里列表：第1行anan-1an-2a2a1a0第2行a0a1a2an-2an-1an第3行cn-1cn-2cn-3c1c0第4行c0c1c2cn-2cn-1第5行dn-2dn-3dn-4d0第6行d0d1d2dn-2第2n-3行r2r1r0信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系
13、统教研中心第7-22页电子教案电子教案7.2 系统的稳定性第3行按下列规则计算：一直到第2n-3行，该行有3个元素。朱里准则指出，A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)0(2)(-1)nA(-1)0(3)an|a0|cn-1|c0|dn-2|d0|r2|r0|奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)0A(-1)0a2|a0|信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-23页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-24页电子教案电子教案7.3
14、 信号流图7.3 信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。一、信号流图 1、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。2、信号流图中常用术语信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-25页电子教案电子教案7.3 信号流图(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有
15、向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。(3)源点与汇点，混合结点：仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。有入有出的结点为混合结点信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-26页电子教案电子教案7.3 信号流图沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路
16、称为自回路。(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-27页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-28页电子教案电子教案7.3 信号流图4、方框图流图注意：加法器前引入增益为1的支路5、流图简化的基本规则：（1）支路串联：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=
17、(H1+H2)X1信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-29页电子教案电子教案7.3 信号流图（3）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-30页电子教案电子教案信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-31页电子教案电子教案7.3 信号流图例：化简下列流图。注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。解：消x3消x2消x4消自环信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-32页电子教案电子教案7.3 信号流图二、梅森公式 上述化简求
18、H复杂。利用Mason公式方便。系统函数H(.)记为H。梅森公式为：称为信号流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；为所有两两不接触回路的增益乘积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和；i表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号Pi是由源点到汇点的第i条前向通路增益；i称为第i条前向通路特征行列式的余因子。消去接触回路信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-33页电子教案电子教案7.3 信号流图例求下列信号流图的系统函数解(1)首先找出所有回路：L1=H3GL2=2H1H2H3H5L3=H1H4H5(2)求特征行列式=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H
19、3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子：1=1，2=1-GH3(3)然后找出所有的前向通路：p1=2H1H2H3p2=H1H4信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-34页电子教案电子教案7.4 系统模拟7.4 系统模拟对框图也可利用梅森公式求系统函数。Mason公式是由流图H(s)或H(z)下面讨论，由H(s)或H(z)流图或方框图一、直接实现-利用Mason公式来实现例分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-35页电子教案电子教案7.4 系统模拟二、级联实现将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即H=H1H2Hn一、二阶子系统函数三、并联实现将H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-36页电子教案电子教案7.4 系统模拟例 H(s)=信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-37页电子教案电子教案7.4 系统模拟信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-38页电子教案电子教案7.4 系统模拟