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1、金融工程学 第五章 合成与复制1 第六章 无套利动态过程2第七章 风险中性3第二篇 原理与方法本章学习目标：理解风险中性假设的涵义；认识风险中性定价原理的渊源；领会风险中性定价的基本思路；掌握风险中性定价的一般方法；理解风险中性定价方法与无套利均衡分析的一致性。第七章 风险中性 18世纪著名数学家伯努利在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博可能输掉的钱看得比可能赢到的钱要重。例如有一个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的，出现正反两面的概率相等，如果正面朝上可以赢得2 000元，反面朝上则一无所获。那么，入局费（要下的赌注）应当是多大，才能使这一赌局成为一场公平的赌博呢？第一节 风险中性假设 但是
2、，并不是所有的人都愿意花1 000元来参加这一公平的赌局，因为赌博是存在风险的。有人也许只愿意花300元来入局，有人甚至只愿意花100元来入局，他们实际上是分别要求有700元甚至900元的预期收益作为承受风险的补偿，我们称这些人是风险厌恶的（risk averse），在没有风险补偿时，风险厌恶型的人拒绝公平的赌博。第一节 风险中性假设 如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，则这样的人被认为是风险中性的（risk neutral），风险中性者对风险采取无所谓的态度。第一节 风险中性假设 假如有这样一个赌局：硬币正面朝上可以赢得3 000元，反面朝上则还要赔1 000元，入局费也是1 000元。由于
3、其预期结果与入局资金相等，因此这也是一场公平的赌博，但风险中性者会无条件地参加。虽然这一赌局的风险显然比上一个赌局要大。如果我们把购置未来收益不确定的资产的投资活动看作赌博的话，风险中性的投资者对所有资产所要求的预期收益率都是一样的，不管资产的风险如何，他们并不要求对风险进行补偿。这就是说，风险中性的投资者投资于任何资产所要求的收益率就是无风险收益率。第一节 风险中性假设 在现代金融理论中，假设理性的市场参与者是风险厌恶型的，要他们接受风险就应当给予相应的风险补偿，因此在风险资产的预期收益率中，都包含了反映风险补偿的部分，对风险的厌恶程度越强烈，要求的风险补偿就越大。假如对一个金融问题的分析过
4、程与市场参与者的风险偏好无关，那么其结果也就不存在风险补偿的问题，这就引出了风险中性假设。第一节 风险中性假设 风险中性假设（risk-neutrality assumption）是指在一个假想的风险中性的世界里，市场参与者对金融资产的风险并不关心，所有的资产不论是否有风险也不论风险大小，其预期收益率都等于无风险收益率。考虑到货币的时间价值，所有资产的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值用无风险利率折现后得到的现值。第一节 风险中性假设第二节 风险中性定价原理考虑一个投资组合，该投资组合包含一个股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。取多少，可以使得投资组合无风险呢？如果股票价格从20元上升
5、到22元，投资组合价值为，如果股票价格从20元下降到18元，投资组合价值为。该组合要无风险，就要使股票价格上升和下降两种情况下的价值相等。所以 应满足解出这个无风险证券组合是：多头：0.25股股票；空头：一份期权合约。第二节 风险中性定价原理考虑一个无红利支付的股票，股票价格为，基于该股票的某个衍生证券的价格为。在此条件下，可将例7.1的结论推广到一般情形。假设当前时刻为0时刻，在衍生证券有效期内，股票价格有两种运行方式，或者从 向上运动到一个新的水平，或者从 向下运动到一个新的水平（），即股票价格上升的比率为，股票价格下降的比率为。假设衍生证券对应于股票价格上升和下降的收益分别为，如图7.2
6、所示。第二节 风险中性定价原理第二节 风险中性定价原理从式（7.2）可以看出，在衍生证券到期时刻，是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。如果用 来表示无风险利率，则该组合的现值一定是，构造该组合的成本是，因此将（7.2）式代入，得到其中第二节 风险中性定价原理在利用无套利定价原理推导（7.4）式的过程中，没有用到股票上升和下降的概率。从直观感觉来说，如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值相应增加，看跌期权价值相应减少，因此可以认为，根据股票的价格估计期权的价值，股票价格未来上升和下降的概率已经包含在股票价格的运行中了。第二节 风险中性定价原理例7.2 假设一种不支付红利股票目前的
7、市价为10元，3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设当前的无风险年利率等于5。现在要找出一份3个月期、协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。第二节 风险中性定价原理为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。在风险中性的世界中，假定该股票价格上升的概率为，下跌的概率为，这就是风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率参数所决定：解出这样，根据风险
8、中性定价原理，可以求出该期权的价值：第二节 风险中性定价原理为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。在风险中性的世界中，假定该股票价格上升的概率为，下跌的概率为，这就是风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率参数所决定：解出这样，根据风险中性定价原理，可以求出该期权的价值：第三节 风险中性原理的应用一、风险中性原理的思想渊源 基于这一结果，对期权进行定价时就可以使用任何一种风险偏好，包括风险中性的假定。在风险中性的世界里，投资者不要求为承担风险而获得报酬，所有金融资产的预期收益率都是无风险收益率。第三节 风险中性原理的应
9、用一、风险中性原理的思想渊源 由此可见，风险中性定价理论有两个最基本的假设：（1）在一个投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率均为无风险收益率；（2）投资者的投资成果体现为用无风险利率贴现收益现金流得到的现值。第三节 风险中性原理的应用一、风险中性原理的思想渊源风险中性假设大大简化了衍生证券的分析。按照现代金融理论，理性的市场参与者都是厌恶风险的，现实中风险因素形成的不确定性将使问题变得非常复杂，风险中性的假设则可以剔除这个不确定因素，使问题的分析过程变得简单。第三节 风险中性原理的应用二、风险中性定价的一般方法总结起来得到：（1）对于真实世界中的标的资产，若其价值 服从的分布函数为
10、，其中 为分布参数，则由该分布函数可确定概率空间。（2）当标的资产在风险中性的世界中运动时，服从的分布函数类型与真实世界的分布类型相同，但分布的参数由 变为，即 的分布函数变为，概率空间变为，这就是风险中性假设下标的资产 在时刻确定的概率空间。第三节 风险中性原理的应用二、风险中性定价的一般方法采用风险中性假设和风险中性概率对衍生证券进行定价的步骤：（1）对真实世界里标的资产的价格 的分布作出假设，从而获得概率空间；（2）由风险中性世界中成立的等式 以及 在风险中性世界与在真实世界分布之间的关系来获得风险中性概率空间，其中 表示时间；（3）利用式为依赖于该标的资产的衍生证券定价，式中 表示衍生
11、证券在时刻的价值。第三节 风险中性原理的应用二、风险中性定价的一般方法解：因为 的两点分布，所以可假设在风险中性世界里也服从两点分布，在这里 的概率分布 完全由确定。由风险中性假设有所以得到第三节 风险中性原理的应用二、风险中性定价的一般方法令 表示 时刻该看涨期权的价值，则由期权的定义有从而可得衍生证券在0时刻的价值为第三节 风险中性原理的应用三、风险中性定价与无套利均衡分析风险中性假设是和无套利均衡分析紧密联系在一起的。当无风险的套利机会出现时，所有的市场参与者都会进行套利活动，而不管其对风险的厌恶程度如何。由此出发，就可以得到这样一个合乎逻辑的结果：无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者
12、的风险偏好无关。本章小结1.风险中性者对风险采取无所谓的态度，不要求对风险进行补偿，对所有资产所要求的预期收益率相同，即无风险收益率。本章小结2.风险中性假设是现代金融理论中极为重要的理论假设，它的出现对金融资产的定价具有深刻的影响。根据风险中性假设，在对金融资产定价时可以假定所有投资者都是风险中性的，不需要通过额外的收益来吸引投资者承担持有资产的风险，资产价格是其现金流通过无风险利率进行贴现求得的现值。本章小结3.利用风险中性假设对金融产品进行定价，其核心环节是构造出风险中性概率。本章小结4.风险中性假设与无套利均衡分析具有紧密的联系，由两种理论得到的资产定价的结果是等价的。习题1.简要阐述
13、风险中性假设的涵义。2.试述并比较风险中性定价与无套利均衡定价的基本思想。3.用二叉树图说明无套利分析和风险中性方法如何为欧式期权定价。4.某个股票的现价是40元，已知3个月后，股价将变为45元或35元，无风险利率为8%（连续复利）。计算执行价格为48元，有效期为6个月的欧式看涨期权的价值，并证明风险中性定价原理与无套利原理得出的答案相同。习题1.简要阐述风险中性假设的涵义。2.试述并比较风险中性定价与无套利均衡定价的基本思想。3.用二叉树图说明无套利分析和风险中性方法如何为欧式期权定价。4.某个股票的现价是40元，已知3个月后，股价将变为45元或35元，无风险利率为8%（连续复利）。计算执行价格为48元，有效期为6个月的欧式看涨期权的价值，并证明风险中性定价原理与无套利原理得出的答案相同。习题5.一只股票现在的价格是30元，该股票一个月后价格是32元或者28元。假如无风险利率是6%。试用风险中性定价方法计算执行价格为29元的一个月期欧式看涨期权的价值，并与第六章习题5的计算结果进行比较。6.假设一种欧式看涨期权的标的资产当前的市价是15元，已知在半年后，该资产的价格要么是18元，要么是13元。假设即期无风险年利率为4，求协议价格为15.5元的该欧式看涨期权的价值。